Indukcja matematyczna

1. Indukcja matematyczna 2014-09-05 Jarosław Kowalski

2. Zasadę indukcji matematycznej objaśnimy na przykładzie nieskończonego ciągu stacji telekomunikacyjnych. • - Oznaczmy kolejne stacje jako: T0 T1 T2 T3.... Tn... T3 T2 T1 T0

3. Oznaczenie • Zapis W(n) oznacza, że stacja o numerze n, czyli stacja T nadała sygnał W. Tn

4. Co oznacza zapis W(0)? Stacja o numerze 0 nadała sygnał W. T0

5. Co oznacza zapis W(1)? Stacja o numerze 1 nadała sygnał W. T1

6. Co oznacza zapis W(5)? Stacja o numerze 5 nadała sygnał W. T5

7. Prawo przekazywania • Zakładamy, ze stacje zbudowane są zgodnie z prawem przekazywania sygnałów: „Jeżeli jakaś stacja nada sygnał, to stacja, która występuje bezpośrednio po niej musi automatycznie też nadać ten sygnał.” Symboliczny zapis prawa przekazywania:

8. Doświadczenia Zakładamy, że w poniższych doświadczeniach zachodzi prawo przekazywania oraz: Doświadczenie 1: W(0) Doświadczenie 2: W(1) Doświadczenie 3: W(5) Wniosek ogólny z doświadczeń

9. Doświadczenie 1 T0 T1

10. Doświadczenie 1 - ciąg dalszy T1 T2

11. Doświadczenie 1- ciąg dalszy T2 T3

12. Doświadczenie 1-podsumowanie T0 T1 T2 T3 itd T4 T5 T6 T7

13. Wynik doświadczenia 1 • Zaobserwowaliśmy, że sygnał W nadały wszystkie stacje. • Słuszne jest stwierdzenie: Po kliknięciu możesz wrócić do slajdu z rodzajem doświadczeń.

14. Doświadczenie 2 T1 T2

15. Doświadczenie 2- ciąg dalszy T2 T3

16. Doświadczenie 2 - ciąg dalszy T3 T4

17. Doświadczenie 2-podsumowanie T1 T2 T3 T4 itd T5 T6 T7 T8

18. Wynik doświadczenia 2 • Zaobserwowaliśmy, że sygnał W nadały wszystkie stacje o numerach większych lub równych 1. • Słuszne jest stwierdzenie: Po kliknięciu możesz wrócić do slajdu z rodzajem doświadczeń.

19. Doświadczenie 3 T5 T6

20. Doświadczenie 3- ciąg dalszy T6 T7

21. Doświadczenie 3-podsumowanie T5 T6 T7 T8 itd T9 T10 T11 T12

22. Wynik doświadczenia 3 • Zaobserwowaliśmy, że sygnał W nadały wszystkie stacje o numerach większych lub równych 5. • Słuszne jest stwierdzenie: Po kliknięciu możesz wrócić do slajdu z rodzajem doświadczeń.

23. ü W(p) ï Ù ï Þ W(n) ý Þ + W(k) W(k 1) ï Î Ù ³ n N n p ï þ Î Ù ³ k N k p Wniosek ogólny z doświadczeń • Jeżeli stacja o numerze p nada sygnał W i zachodzi prawo przekazywania to wszystkie stacje o numerach większych lub równych p też go nadadzą, co możemy zapisać: Po kliknięciu możesz wrócić do slajdu z rodzajem doświadczeń.

24. Jeżeli zamiast stacji telekomunikacyjnych będziemy rozpatrywać ciąg liczb naturalnych, a W(n) będzie oznaczało,że liczba naturalna n spełnia pewną własność (twierdzenie) W, to symbolicznie zapisany poprzedni wniosek jest symbolicznym zapisem zasady indukcji matematycznej (zupełnej).

25. Treść zasady indukcji matematycznej • Jeżeli jakieś twierdzenie dotyczące liczb naturalnych jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej p i z założenia, że jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej k (kp) wynika, że jest prawdziwe dla liczby naturalnej k+1 to twierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n większych lub równych p.

26. Indukcja matematyczna Wykorzystana literatura: Z. Krygowska „Zarys Dydaktyki Matematyki”