数学课堂教学中 — 数学本质的揭示

1. 数学课堂教学中—数学本质的揭示 华东师范大学数学系 张奠宙 2005. 7. 22 福州 ！ 4

2. 教育数学是数学的教育形态： • 数学的原始形态： 繁复曲折的数学思考。 • 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。 • 教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。 4

3. 数学教育中的“去数学化”倾向 • 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 • “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。 4

4. 结实数学本质， 才能提高效率 • 教育不等于认识论。 • 数学教学是要在很短的时间里， 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值 • 一万年以后怎么办？ 老是探究， 自己发现，还有效率可谈吗？ 没有效率的教学理论是走不远的！ 4

5. 第一部分 关于数学本质的把握与呈现 4

6. 数学教学成功的标志 • 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握； 数学能力的形成。 教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？用计算机？ 探究？……游离于数学本身） • 奇谈怪论： • 结果不是最重要的， 重要的在于参与； • 知识不是最重要的， 重要的在于过程。 4

7. 4

8. 数学知识的储备：一个比喻 • 一缸水和一杯水 • 一桶水和一杯水 • 一杯水和一杯水 • 没有水可以打井取水 • 教师的作用：鱼， 渔 • 数学本质的把握需要数学修养 4

9. “数学本质”的内涵： 1。数学知识的内在联系； 2。 数学规律的形成过程； 3。 数学思想方法的提炼； 4。 数学理性精神的体验。 形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情” 4

10. 数学本质被两种活动所掩盖： 1。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。 4

11. 例一。 乘法交换律： ab =ba • 某杂志刊登的特优教案这样设计： • 学生交换位置 （没有说人数不变）； • 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。 （没有谈不变性） • 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水。（只有交换， 没有不变的规律）。 交换律的数学本质： 交换后乘积不变。 4

12. 例二。三角形内角和问题 • 姜伯驹院士在政协的提案指出 • “三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？” • 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 • 李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了” 4

13. 三角形内角和定理的价值 • 没有实际价值， 超越日常经验。 • 当初古希腊学者不是“量”出来的。 • 价值在于理性思维， 从公理出发的演绎推理。 • 建议：要么作公理， 要么进行推理。 • 例如：所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为180度  任意三角形内角和为180度 4

14. 例三。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计）例三。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计） • 请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？ • （学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习） 4

15. 根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？ 4

16. 正弦定理是量出来的吗？ • 分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。 • 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。 • 正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。 • 三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。 4

17. 例四。 Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质） • 比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ • 黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有价值， 有意义） 4

18. 例五。坐标活动（长宁） • 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； • 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； • 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来； • 换一个同学做坐标原点。 • 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质。 4

19. 例六：美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计 为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)”由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run. 评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每个rise和run 都有斜率的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?) 4

20. 另一个美国数学教育故事 • 一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”. Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是: • “因为那里有平方”.？！ 数学的本质完全被曲解了。 • Cindy继续提问, 希望他们能意识到问题所在, 结果惹得众人很不愉快. 事后, 那个学区的教师间接告诉Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了. 我们不欢迎她!” 4

21. 例7 方程概念 外在的逻辑形式： 含有未知数的等式叫方程。 • 内在的数学本质： 方程是为了寻求未知数， 在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。 • “方程”思想的本质在于建立关系 • 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。 4

22. 方程思想（三根电线的长度） • 上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。 如何测知他们的电阻？ • 袁枚（清）： “学如箭镞， 才如弓弩； 识以领之， 方能中鹄”。 4

23. 例8 复数的定义 • 一对有序的实数（x,y)， 称做复数。前者成为实部， 后者成为虚部。（错） • 但是，向量也是一对实数！ 复数的本质在于它的乘法： (a,b) · (c,d) = (ac –bd, ad+bc) 4

24. 例9 “圆的认识”这样说， 对吗？ • 1．用甩动系在细绳上的小球形成圆，是传统的灌输方法。让小朋友排成圆形公平玩套花游戏，是好的结合学生实践的方法。 • 2．用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心，则是探究的好方法。 • 3．用圆规划圆在认识圆之后，是传统的灌输的。在认识圆之前使用圆规划圆，是“过程性“的好方法。 • 我的看法是， 凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的， 有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径， 有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。 4

25. 例10。 勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计 • 用各种方法发现：方格纸上3，4，5 的计算等。 6张工作单：发现猜想 a2 + b2 = c2 • 换一种思维：将勾股定理直接告诉学生， 用各种美丽的画面， 讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。 把重点放在如何证明上。 多种证明。 最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n>3)。 哪一种更能体现数学本质？ 4

26. 例11。文字代表数的本质： 符号运算（只代表， 不运算， 没有价值） • 项武义教授：“文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。 • 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上没有讲为什么可以这样做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解变换  根 数学家之所以有饭吃， 在于能够运用符号获得结果 （复旦 张荫南） 4

27. 数学符号是一种语言 • 语文靠想象， 将符号（方块字）用语法表示出来。 说话写下来就是文章。 • 数学靠理性， 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是人为构造的语言。 语文、数学、诗词、定理， 都是符号运作 • 语文是“饭”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 • 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 • 诗词是“酒”， 酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。 4

28. 例12一个例子怎能概括出负负得正？？ 探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开， 12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12点之后之前为时间的正负。 问10点时火车在什么位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160 • 于是概括得出数的运算的规律负负得正。 （先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律……） 数学不允许这样的概括。 有意义的接受（先做后说） 。先有规则， 后有解释。先执行， 然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。 先举例是探究， 后举例说明是有意义接受。 4

29. 例13。函数的两个定义： 宏观与微观 • 人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子； 艺术上的写意与工笔 … • 初中的函数从大局发展着眼， 宏观地观察数量之间彼此依存的关系， 看总体发展趋势。 宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。 • 高中函数定义讲究微观地、静态地观察， 用两个数集之间的对应来描述。 微观函数概念的本质在于精确化的对应。 两种定义互有短长，并非高级与低级之分。 4

30. 函数定义中 “唯一”重要吗？ • 唯一不是本质。 • 不唯一成多值函数而已。 • 多值函数单值化即可。 • 描写圆的函数， 上半圆和下半圆。 • 反三角函数 4

31. 例14。 函数的单调性 • 单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察， 画图，数列等 • 但是，单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势；呈现的方式对“任意”两个自变量 x1 < x2 ,都有 f(x1)< f(x2) • 将直观的自然语言表述为严格的数学语言， 才能获得数学本质的认识 4

32. 例15 数学归纳法的比喻 • 1。通常借喻 多米诺骨牌效应 • 2。 火车头带火车。 第一节重要（火车头） ， 然后， 各节车厢一节节地连接好。 • 3。 排队。 第一个是 X学校学生， 然后保证后面一个和我同校，X学校学生的队伍排好。 • 数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。 • 相比之下， 多米诺骨牌好些。 4

33. 例16。小学数学课程 • 1，1，2，1，1，2 , ___, ___, ___ 应该 是什么？ • 乘数、 被乘数。 3个5相加，可以写成 5X3， 也可以写成3X5。对吗？ • 12 x 4 读做12 乘以4， 读12 乘 4 为错。 4

34. 例17 概念教学: 淡化形式, 注重实质. 下列是问题是否妥当? • 判断下列各例是否正确？1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形2。 含有未知数的（等）式子叫方程3. （平面上）不相交的两条直线叫平行 线 • 平行四边形也是梯形， 有何不可？x - x =0; 0x=0; 是方程吗？ 也许还要加上“在欧氏空间中”？ 4

35. 例18施琅收复台湾丢银币说谎？ • 50银币都朝上， 好兆头， 出兵胜利。 • 《小学数学教师》2004。9月文章说： • 我们做个实验： 原来丢50个银币不是都朝上。 • 结论： 说明施琅将军占卦是说谎。 • 学生没有机械地记忆与模仿， 完全是一个自主探究主动发展的过程。不 4

36. 例19。糖水浓度 • a -- 溶液（糖水）； b –溶质（糖） b/a -- 浓度（甜度） • 现在向糖水中再放糖 m>0， 糖水变甜； b/a < (b+m) / (a+m) 如果 b/a < d/c 是两杯不一样甜的糖水倒再一起， 甜度会怎样？ b/a < (b+d)/(a+c) < d/c • 这不是证明， 却把握了数学过程的本质 4

37. 20。 放烟火 （Interactive Mathematics Project) 主题教学 • 一元二次函数的单元模型。 • 高楼上放烟火， 形成的曲线。 • 顶点 • 落地点 • 与物理的关系： 抛物线。 • 大模型， 不是一节课的引入问题 4

38. 例21。三角函数。 单摆，电磁波 • y = ASin(ωt +φ) • 周期性。这是基本概念。 举例（波动， 简谐运动， 课程表， 潮汐…… 和谐性。 这是三角函数的特征。 音乐， 单摆，电磁波。 • 相位性。理解三角函数变换的难点。 • 原始性。 不定元 X 可以构造多项式， 分式、无理式； sinx 可以构造各种三角函数，用来逼近其他函数。 三角恒等变换只是工具而已 4

39. 例22.余弦定理与三点距离问题-- 表示培养能力 • （荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里？ • 训练学生的数学表示能力。 • 甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。 校 乙 甲 乙‘ 坐标。参数。复数。空间 4

40. 例23。四维空间的4-方体（苏联中学数学教材的一道空间想象题）例23。四维空间的4-方体（苏联中学数学教材的一道空间想象题） • 四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数? • 解：顶点数：23 =16。 • 棱数：（16 · 4）/2 = 32 • 二维面：（16· C42）/4 = 24 • 三维面： （16 C43）/8 = 8 • 四维面： 1 • 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 +… + 1 • 爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学 4

41. 例24。微积分的问题驱动 • （1） 全局的问题。抛物线 y = x2 , 可以用许多方法研究， 试观察它的切线。 • （2）关键的问题。割线的极限位置 • （3）增量的重要性 微积分是增量分析 （4）增量比的极限 克服极限 4

42. 例25 增量分析： 微积分的本质。 • y = f(x) , y 随 x的变化而变化 。 销量随价格的变化而变化。太普通 • 增量的提法： 价格变一元， 销量变多少？很重要。 所以我们要研究 y的增量和x的增量之比的极限。 4

43. 例26。瞬时速度 • 瞬时速度是出发点？ 还是微积分的应用？ • 瞬时速度是原始概念， 快车赶上慢车的一刹那。 • 小学里没有面积的概念， 就可以求面积。 道理是一样的。 4

44. 例27。概率的统计本质 • 传统：掷骰子 等可能性 排列组合 理论概率  计算概率（考试） • 现代：掷骰子 实验  频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法 。 4

45. 理论概率和经验概率 • 等可能性出发定义概率 （北师大版） 传统。形式化处理。但是片面。 不能解释降水概率、次品率、事故率等等 • 用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。 • 两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”， 是一个理论问题， 也是实践问题。 4

46. 信息时代的数学新课题：算法 • 算法并不陌生。 先乘除， 后加减； 分数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法； 珠算口诀…… • 算法是人和计算机相通的语言。 • 算法成为公民科学素质的一部分。 印度的经验。 • 赋值语句，条件语句，循环语句。 4

47. 例28。用迭代方法解决问题（录自美国数学课程标准， 2000） 一位女生在打排球时膝盖受伤。 她的医生要她在10天内每8小时服用两粒220毫克的药片， 以减轻伤痛。 如果她的身体每8小时吸收60%的药物， 那么10天后， 她身体中还有多少毫克的药物？ 47

48. 下时段= 0.4(现在) + 440, start at 440 a1 = 440 and an + 1 = 0.4an + 440 for 1 ≤n ≤ 31 迭代进入中学数学 48

49. 第二部分 数学文化的孕育与体现 4

50. 数学文化：支撑数学的基础 • 音乐 不等于 音符节拍 • 美术 不等于 线条颜色 • 数学 不等于 逻辑程式 • 光彩照人的女王 X光照片下的骨架！ 4