Croissance et extremums

1. Croissance et extremums Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Éléments de compétence • Croissance et décroissance • Lien entre la croissance et la dérivée • Maximum et minimum relatifs • Maximum et minimum absolus • Test de la dérivée première • Tableau de variation relatif à f’ • Exemples et exercices

3. Éléments de compétence • Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique • Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique • Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction au signe de sa dérivée • Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance • Déterminer les maximums et minimums de f • Construire un tableau de variation relatif à f’ • Utiliser le test de la dérivée première • Donner une esquisse du graphique de f

4. Croissance et décroissance (1 de 2) • Soit une fonction f définie sur un intervalle I • f est croissantesur I si x1 , x2  I on a quex1 < x2  f (x1) < f (x2) • f est décroissantesur I si x1 , x2  I on a quex1 < x2  f (x1) > f (x2)

5. m>0 m<0 Croissance et décroissance (2 de 2) • Croissance et décroissance et signe de la dérivée première • f’ (x) > 0sur ]a,b[  f(x)croissante sur [a,b] • f’ (x) < 0sur ]a,b[  f (x)décroissante sur [a,b]

6. max relatif max relatif • min relatif min relatif • min relatif • • • Maximum et minimum relatifs • Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du domaine d’une fonction f, alors f(c) est un • 1) maximum relatifssif(c) f(x) x I • 2) minimum relatifssif(c) f(x) x I Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour) (c , f(c) (c , f(c)

7. • max rel et absolu • max rel min rel • • min rel min rel et absolu • Maximum et minimum absolus • Soit une fonction f définie sur son domaine D, alors f(c) est un 1) maximum absolussif(c) f(x) x  D 2)minimum absolussif(c) f(x) x  D Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de maximum ou minimum absolu. (c , f(c) (c , f(c)

8. max rel m=0 Pas de dérivée min rel Maximum / minimum et dérivée • Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors : f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas • Nombre critiquede f :une valeur c du domaine de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)* (La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui n’est pas un minimum absolu)

9. Définitions • Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0. • Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe autour de x = c. • Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes.

10. Test de la dérivée première • Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et c  I, un nombre critique de f (f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas), • 1) Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f. • 2) Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de c- à c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f.

11. Test de la dérivée première (Illustration) • Soit une fonction f définie sur [a , b] • Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas.

12. Borne supérieure Nombres critiques Borne inférieure max ou min Tableau de variation relatif à f’ Valeurs de x  Valeurs de f’(x)  Valeurs de f(x)  Pour une fonction définie sur un intervalle : ------

13. Exemple 1 • Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x. • Étape 1 : Donner le domaine de la fonction • Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible • Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f • Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ • Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f

14. Exemple 2 • Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie sur [-4 , 3].

15. Exercice 1 • Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1.

16. Exemple 3 • Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) =

17. Exercice 2 • Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) =

18. Devoir • Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. • Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3. • 1b) f sur - ; -0,41]  [2,41 ;  ; f sur [-0,41 ; 2,41]; max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31) • 1d) f sur - , 3] ; f sur [3 ,  ; max. : aucun; min. rel. : (3 , 4). • 1f) f sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5]; max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14). • 1h) f sur [-2 , -1]  [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1]; max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3).