科学计算中的基本概念
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科学计算中的基本概念. 构造算法的基本手段:近似 研究算法的核心问题:近似对计算结果的影响. 科学计算中的基本概念. 收敛性 ( or 复杂度) ----- 误差估计和分析 ----- 收敛速度 病态性 稳定性. 研究的出发点:误差!!. 误差. 计算地球的表面积 模型误差:地球被看成是一个球 地球的简单理想模型 测量仪器误差和前面的计算误差 地球的半径要经过测量和计算得到 截断误差:公式中的 是无理数 舍入误差:浮点数的计算. 浮点数. 一般2进制数 L≤s≤U. 而 任意的浮点数 其中. 浮点数.

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Presentation Transcript

科学计算中的基本概念

构造算法的基本手段:近似

研究算法的核心问题:近似对计算结果的影响


科学计算中的基本概念

  • 收敛性 (or 复杂度)

    -----误差估计和分析

    -----收敛速度

  • 病态性

  • 稳定性

研究的出发点:误差!!


误差

  • 计算地球的表面积

    • 模型误差:地球被看成是一个球

      • 地球的简单理想模型

    • 测量仪器误差和前面的计算误差

      • 地球的半径要经过测量和计算得到

    • 截断误差:公式中的 是无理数

    • 舍入误差:浮点数的计算


浮点数

  • 一般2进制数

  • L≤s≤U. 而任意的浮点数

  • 其中


浮点数

取t=3,L=-4,U=3,浮点数的集合为

特点:分布不均匀


浮点数

  • 如果取t=4,L=-4,U=3,这时采用对数坐标,则集合F为

能够精确表达的数总是有限的!



复杂度

  • 回忆: 2阶问题, 3阶问题

  • 考虑一般矩阵的行列式

  • 计算需要的乘法次数


复杂度

  • 指数型算法

    • 算法计算量是问题规模的指数函数

    • 只能够处理规模很小的问题

  • 多项式型算法

    • 算法计算量是问题规模的多项式函数

    • 可以处理规模较大的问题


Complexity
Complexity

Descriptor Data Set Size in Bytes Storage Mode

Tiny 102 Piece of Paper

Small 104 A Few Pieces of Paper

Medium 106 A Floppy Disk

Large 108 Hard Disk

Huge 1010 Multiple Hard Disks

Massive 1012 Robotic Magnetic Tape

Storage Silos

Super-massive 1015 Distributed Data Archives

The Huber-Wegman Taxonomy of Data Set Sizes


Complexity1
Complexity

Algorithmic Complexity

O( n1/2 )Plot a Scatter-plot

O( n )Calculate Means, Variances, Kernel Density Estimates

O(n log(n))Calculate Fast Fourier Transforms

O(n c)Calculate Singular Value Decomposition of an r x c Matrix; Solve a Multiple Linear Regression

O( n 2 ) Solve most Clustering Algorithms

O( a n )Detect Multivariate Outliers





复杂度----对于直接方法的度量标准

  • Ax=b 的Gauss 消去法

  • 线性规划问题的Simplex方法

  • 组合优化的问题和方法


收敛性----刻划算法的另外一个重要概念

  • 误差

  • 收敛性


考虑如下的问题

显然方程 的解是

病态性-----刻划模型的概念

1 2 3 4 ……… 19 20

请问: 如下方程的解是什么?


Matlab program
Matlab program

p=poly(1:20);

ep=zeros(1,21);

ep(3)=1.0e-5;

re=roots(p+ep)

plot(re,'b+');

hold on

plot(1:20,0,'r*');

hold off


10e 5
=10e-5


10e 6
=10e-6


10e 8
=10e-8


稳定性-----刻划算法的关键概念

  • 考虑如下的序列

  • 可以证明


算法1

算法2

两个算法----有什么差别,哪个可以用?


算法1的程序

clear

ep(1)=1

for n=2:100

ep(n)=exp(1.0)-n*ep(n-1)

end

plot(ep,'b*');


n=15时,算法1的计算结果


n=100时,算法1的计算结果


算法2的程序

clear

ep(100)=0

for n=100:-1:2

ep(n-1)=(exp(1.0)-ep(n))/n;

end

plot(ep,'b*');


n=100时,算法2的计算结果


n=500时,算法2的计算结果


科学结论的取得,不能依靠感觉

  • 简单的计算发现,可以使用的算法是--

    Algorithm 2!

  • 计算中误差并不可怕,重要的是误差在算法中的传播。

  • 稳定----算法中产生的任何误差,对后续计算的影响是衰减或可以控制的。

  • 不稳定的算法=不能用的垃圾!


科学计算中的基本概念

  • 算法

    • 收敛性 (or 复杂度)

    • 稳定性

    • 速度

  • 问题

    • 病态性

研究的出发点:误差!!


教材

参考书

数值分析简明教程(第二版)

作者:王超能

高等教育出版社 2005

数值分析学习指导

作者:李庆扬

高等教育出版社 2000

数值分析与实验学习指导

作者:蔡大用

清华大学出版社 2002


Reference
Reference

科学计算导论

清华大学出版社 2002

引进版权


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    2341101(O)

  • 办公室:

    第四教学楼数学与信息科学学院办公室


作 业(包括考核)

  • 必须完成的

    • 来源:教材

    • 要求:每章交一次(该章讲完后7天内)

    • 必须按时交!


最终成绩

  • 基本分

    • 考试 60% (卷面分数须高于50分)

    • 考核 20%

    • 作业 20%

  • 附加分

    • 未能够获得免试的自选课题

必须独立完成

抄 袭 必 纠


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