科学计算中的基本概念
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科学计算中的基本概念. 构造算法的基本手段:近似 研究算法的核心问题:近似对计算结果的影响. 科学计算中的基本概念. 收敛性 ( or 复杂度) ----- 误差估计和分析 ----- 收敛速度 病态性 稳定性. 研究的出发点:误差!!. 误差. 计算地球的表面积 模型误差:地球被看成是一个球 地球的简单理想模型 测量仪器误差和前面的计算误差 地球的半径要经过测量和计算得到 截断误差:公式中的 是无理数 舍入误差:浮点数的计算. 浮点数. 一般2进制数 L≤s≤U. 而 任意的浮点数 其中. 浮点数.

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科学计算中的基本概念

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Presentation Transcript


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科学计算中的基本概念

构造算法的基本手段:近似

研究算法的核心问题:近似对计算结果的影响


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科学计算中的基本概念

  • 收敛性 (or 复杂度)

    -----误差估计和分析

    -----收敛速度

  • 病态性

  • 稳定性

研究的出发点:误差!!


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误差

  • 计算地球的表面积

    • 模型误差:地球被看成是一个球

      • 地球的简单理想模型

    • 测量仪器误差和前面的计算误差

      • 地球的半径要经过测量和计算得到

    • 截断误差:公式中的 是无理数

    • 舍入误差:浮点数的计算


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浮点数

  • 一般2进制数

  • L≤s≤U. 而任意的浮点数

  • 其中


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浮点数

取t=3,L=-4,U=3,浮点数的集合为

特点:分布不均匀


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浮点数

  • 如果取t=4,L=-4,U=3,这时采用对数坐标,则集合F为

能够精确表达的数总是有限的!


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浮点数


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复杂度

  • 回忆: 2阶问题, 3阶问题

  • 考虑一般矩阵的行列式

  • 计算需要的乘法次数


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复杂度

  • 指数型算法

    • 算法计算量是问题规模的指数函数

    • 只能够处理规模很小的问题

  • 多项式型算法

    • 算法计算量是问题规模的多项式函数

    • 可以处理规模较大的问题


Complexity

Complexity

Descriptor Data Set Size in Bytes Storage Mode

Tiny 102Piece of Paper

Small104A Few Pieces of Paper

Medium 106A Floppy Disk

Large 108Hard Disk

Huge 1010Multiple Hard Disks

Massive 1012Robotic Magnetic Tape

Storage Silos

Super-massive1015 Distributed Data Archives

The Huber-Wegman Taxonomy of Data Set Sizes


Complexity1

Complexity

Algorithmic Complexity

O( n1/2 )Plot a Scatter-plot

O( n )Calculate Means, Variances, Kernel Density Estimates

O(n log(n))Calculate Fast Fourier Transforms

O(n c)Calculate Singular Value Decomposition of an r x c Matrix; Solve a Multiple Linear Regression

O( n 2 ) Solve most Clustering Algorithms

O( a n )Detect Multivariate Outliers


Complexity2

Complexity


Complexity3

Complexity


Complexity4

Complexity


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复杂度----对于直接方法的度量标准

  • Ax=b 的Gauss 消去法

  • 线性规划问题的Simplex方法

  • 组合优化的问题和方法


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收敛性----刻划算法的另外一个重要概念

  • 误差

  • 收敛性


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考虑如下的问题

显然方程 的解是

病态性-----刻划模型的概念

1 2 3 4 ……… 19 20

请问: 如下方程的解是什么?


Matlab program

Matlab program

p=poly(1:20);

ep=zeros(1,21);

ep(3)=1.0e-5;

re=roots(p+ep)

plot(re,'b+');

hold on

plot(1:20,0,'r*');

hold off


10e 5

=10e-5


10e 6

=10e-6


10e 8

=10e-8


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稳定性-----刻划算法的关键概念

  • 考虑如下的序列

  • 可以证明


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算法1

算法2

两个算法----有什么差别,哪个可以用?


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算法1的程序

clear

ep(1)=1

for n=2:100

ep(n)=exp(1.0)-n*ep(n-1)

end

plot(ep,'b*');


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当n=15时,算法1的计算结果


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当n=100时,算法1的计算结果


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算法2的程序

clear

ep(100)=0

for n=100:-1:2

ep(n-1)=(exp(1.0)-ep(n))/n;

end

plot(ep,'b*');


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当n=100时,算法2的计算结果


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当n=500时,算法2的计算结果


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科学结论的取得,不能依靠感觉

  • 简单的计算发现,可以使用的算法是--

    Algorithm 2!

  • 计算中误差并不可怕,重要的是误差在算法中的传播。

  • 稳定----算法中产生的任何误差,对后续计算的影响是衰减或可以控制的。

  • 不稳定的算法=不能用的垃圾!


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科学计算中的基本概念

  • 算法

    • 收敛性 (or 复杂度)

    • 稳定性

    • 速度

  • 问题

    • 病态性

研究的出发点:误差!!


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教材

参考书

数值分析简明教程(第二版)

作者:王超能

高等教育出版社 2005

数值分析学习指导

作者:李庆扬

高等教育出版社 2000

数值分析与实验学习指导

作者:蔡大用

清华大学出版社 2002


Reference

Reference

科学计算导论

清华大学出版社 2002

引进版权


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    2341101(O)

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    第四教学楼数学与信息科学学院办公室


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作 业(包括考核)

  • 必须完成的

    • 来源:教材

    • 要求:每章交一次(该章讲完后7天内)

    • 必须按时交!


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最终成绩

  • 基本分

    • 考试60% (卷面分数须高于50分)

    • 考核20%

    • 作业20%

  • 附加分

    • 未能够获得免试的自选课题

必须独立完成

抄 袭 必 纠


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