Econometría
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Econometría. Capitulo 5 Modelos Pronósticos Ingenuos y Adaptivos. Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María. Métodos Ingenuos. Definición y Notación

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Departamento de inform tica universidad t cnica federico santa mar a

Econometría

Capitulo 5

Modelos Pronósticos

Ingenuos y Adaptivos

Departamento de Informática

Universidad Técnica Federico Santa María


Departamento de inform tica universidad t cnica federico santa mar a

Métodos Ingenuos

Definición y Notación

Una serie cronólogica o serie de tiempo es una colección de observaciones de un cierto fenómeno hechas secuencialmente en el tiempo (altura; espacio; etc).

Denotaremos una serie de tiempo mediante por la siguiente

secuencia:x(t1) , x(t2) , ... , x(tn)

donde x(ti) es el valor tomado por el proceso estocástico en el instante ti .

Habitualmente supondremos que la serie es equiespaciada,

es decir, que existe tal que

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Entonces S.p.d.g. podemos considerar la serie

la cual también se puede denotar

Ejemplos de S.T.

1. Series Físicas

Meteorología: agua caída, temperatura máxima, velocidad del viento.

Geofísica: series sismológica, series de temp.volcánica

Medicina: electrocardiogramas, electroencefalogramas.

Química: viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso

Telecomunicaciones: series de señales.

Astronomía: brillo de una estrella, actividad solar.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

2. Series Económicas

Precios de acciones, precio del cobre en Londres, índice de

cesantía, IPC; ADR; PIB;

3. Series de Marketing

Series de ventas, gastos, utilidades, demanda, oferta.

4. Series Demográficas

Tasa de natalidad, tasa de mortalidad, censos poblacionales.

5. Series de Energia

Demanda de energia; Actividad de Energia Solar; etc.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Objetivos del Estudio de Series Cronológicas

1. Modelación: Encontrar un modelo estadístico que explique el

comportamiento de la serie (y que explique en lo posible el

fenómeno que originó la serie).

2. Predicción: Predicción de valores futuros de la serie dando, en

lo posible, límites de confianza.

Metodología

Etapa 1: análisis exploratorio de datos

Se grafica la serie: t en la abscisa, x(t) en la ordenada.

Esto debe hacerse siempre, independiente del nivel de

simplecidad de los datos o de los modelos que se emplean

posteriormente.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

a) Permite detectar posibles “outliers”

Los outliers son observaciones que se alejan fuertemente del modelo estocástico subyacente ; ya sea por errores de medición o porque en el fenómeno en estudio presentó un comportamiento absolutamente inusual.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Observaciones:

  • Si se sospecha que una observación es un outlier, se debe reunir información adicional desde fuera del observador, sobre posibles factores que afectaron el proceso. De verificarse que se trata de una observación aberrante y mostrar la serie un comportamiento similar antes y después del outlier conviene pre-procesar la seríe usando por ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un nueva seríe.

  • En caso contrario ( huelgas; actos de terrorismo; terremotos etc) es necesario usar métodos o tecnicas especiales tales como el análisis de intervenciones.

  • Otra alternativa es utilizar procedimientos robustos en el modelado de la serie cronológica.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

b) Permite determinar tendencias

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

c) Permite determinar variaciones cíclicas o estacionales.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Modelos Ingenuos

Antes de recurrir a los métodos más sofisticados uno debe preguntarse si el problema en cuestión realmente lo justifica o bien si bastaria con usar técnicas baratas.

Esto dependerá esencialmente de la importancia de las decisiones que se tomarán en base al modelo y sus predicciones ( Corto largo; o mediano plazo).

Modelos

a) x(t) = T(t)+E(t)+A(t)aditivo

b) x(t) = T(t) E(t) A(t)multiplicativo

c) x(t) = T(t) E(t) + A(t)mixto

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

T: Tendencia de la serie

Representa la dirección predominante de la serie, es decir

su comportamiento promedio.

E: Variación estacional

Se caracteriza por períodos o ciclos de la serie.

A: variaciones accidentales.

Se caracteriza cambios irregulares ya sean de tendencia

variancia o ciclos de la serie).

Modelos

x(t) = T(t)*E(t)*A(t)

lnx(t) = lnT(t)+lnE(t)+lnA(t)

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Métodos Ingenuos

Estimación de la Tendencia

a) Regresión

Mediante inspección gráfica se decide cual curva ajustar.

i) T(t) = a + bt(recta)

ii) T(t) = a ebt (exponencial)

iii) T(t) = a + bt + ct2 (parábola)

etc.

b) Medias Móviles

La idea es remover el efecto estacional antes de estimar la

tendencia.

(anual)

La estimación de T(t) se anotará

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Estimación de la Variación Estacional

Si se utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia se calcula la serie residual W(t)

W(t) Es una serie en que sólo deberían manifestarse los efectos

estacionales y accidentales.

Si se aplicó medias móviles se tendrá que, además de la serie

W(t) se puede estimar mediante

también será una serie en que sólo se encontrará

presente efectos estacionales y accidentales.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

En cualquiera de estos casos denotaremos mediante w(t) la serie residual en que se han removido los efectos de la

tendencia.

Caso aditivo Caso mixto

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Métodos Ingenuos

Para estimar E(t) comenzaremos podemos considerar

e(h) = promedio de los valores de w en el mes h.

Como es razonable esperamos que el promedio de las

estimaciones sea 0 en el caso aditivo y 1 en el mixto,

estimamos E(h) mediante

Para elegir entre ambos modelos se suele utilizar el gráfico de la serie residual.

En caso de series de Índices se sugiere usar modelos mixtos.

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Formulacion General del Problema de Predicción

La predicción correspondiente, que dependerá del modeloelegido y, en general, de n y k, se anotará

k es el horizonte de predicción o número de pasos adelante que se está prediciendo y n el origen de la predicción.

Una vez conocido x(n+k) podemos calcular el error de predicción correspondiente:

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Ejemplo Numérico

Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País

Se toma t = 1 : 1er Trimestre 1977. Se grafica la serie:

Héctor Allende O.

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Métodos Ingenuos

Se suaviza la serie obteniéndose

Se grafica la serie suavizada:

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Métodos Ingenuos

Se efectúa una regresión lineal con esta serie:

(r2 = 0.96)

Como se trata de un índice usamos el modelo mixto.

Calculamos la serie residual usando

de donde

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Métodos Ingenuos

Las predicciones para 1982 serán :

1er Trimestre :

2do Trimestre :

3er Trimestre :

4to Trimestre :

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Introducción

Una de las críticas que se les hace a los métodos ingenuos es que no se adaptan a lo largo del tiempo en forma natural : tanto la tendencia como la estacionalidad, se estiman una sóla vez y las estimaciones deben ser actualizadas si se obtienen nuevas observaciones.

Una familia de modelos que aparece hacia fines de la década de los años 60, intenta solucionar este problema. Se les conoce técnicas de suavizamiento exponencial, y se constituyó en un avance en el modelado de series cronológicas.

Una de las principales características de estas técnicas es que son “baratas”. Debido a esto, aún siguen siendo utilizadas en ciertas actividades de pronóstico donde es necesario efectuar predicciones rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control de inventario o planificación de la producción. Aplicar técnicas más sofisticadas en este caso no se justifica.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Suavizamiento Exponencial Simple

En este caso se supone que la serie está compuesta por un nivel (constante) y una componente residual (impredecible)

Es decir, la serie se supone localmente constante la mejor predicción de X(n+h) será la estimación que tengamos del nivel en el instante h.

Luego parece razonable estimar el nivel como promedio ponderado de las observaciones dando un peso mayor a las últimas observaciones.

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Observaciones:

1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos.

2) Como elegir la constante de suavizamiento volveremos más adelante.

3) Predicciones:

4) A partir de la ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos de la serie las predicciones se actualizan mediante:

5) Se puede comprobar que es el valor real z que minimiza la función

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Método de Holt - Winters

La versión anterior es la más simple de los llamados modelos de suavizamiento exponencial. Se han desarrollado una serie de variantes, las cuales consideran la serie constituida localmente a partir de un nivel de tendencia y (eventualmente) por un factor de estacionalidad, además de un residuo impredecible aditivo.

Posiblemente la extensión más natural del suavizamiento exponencial simple sean los modelos de Brown – AEG, los el modelos de Holt y Winters entre otros que veremos a continuación.

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Caso no estacional

Supogamos que la serie se comporta localmente como la suma de un nivel y una tendencia lineal, más de un residuo impredecible.

Anotando y como las estimaciones del nivel y de la pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en el instante t, una propuesta razonable es tomar.

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Observaciones: (Caso no estacional)

1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las

estimaciones al considerar nuevos datos.

2) Las estimaciones del nivel y de la pendiente en el instante “t”

se estiman como un promedio ponderado de la estimación

anterior y la estimación sugerida apartir del nuevo dato.

3) Para iniciar el algoritmo recursivo se propone tomar.

4) Predicciones: Siendo consecuentes con el modelo se propone

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo)

A las suposiciones del modelo anterior le agregamos un factor estacional de período s, multiplicativo (respecto de la tendencia)

se interpreta como un nivel desestacionalizado.

Anotando a la estimacióm de la componente estacional en el instante t parece razonable tomar:

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Modelo de Holt – Winters (Aditivo)

El metodo anterior se adapta trivialmente al caso en que la estacionalidad es aditiva con respecto de la tendencia, en lugar de

ser multiplicativa

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Observaciones: (Caso Estacional)

1) Las formulas modifican las estimaciones considerando nuevos datos.

La estimación del nivel (t-1): junto a la estimación de la pendiente sugerirán un nivel en el instante t. Esta estimación se ve modificada al considerar la nueva observación.

La estimación en el instante (t-1) de la pendiente . Una nueva estimación de la pendiente sería en el anterior y la estimación sugerida por el valor tomado por la serie en t.

La estimación en el instante (t-s) de la estacionalidad es Dado una nueva estimación de la estacionalidad sería . La estacionalidad en t se estima como promedio ponderado de estimación anterior y la sugerida por el valor tomado por la serie en el instante t.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

2) Inicialización: Una manera de resolver el problema de inicialización en el modelo de H-W multiplicativo es tomando

Para el caso aditivo la estimación de la componte estacional se modifica por

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

3) Predicciones: Siendo consecuentes con las suposiciones hechas para el modelo multiplicativo se toma

Análogamente para el modelo aditivo se toma

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Determinación de las constantes de suavizamiento

Una alternativa es elegir de acuerdo a las características particulares que se atribuye a las componentes

de la serie.

Si , las predicciones dan más importancia a observaciones pasadas que a las presentes.

Inversamente, si , las prediccionesdan menor importancia al pasado y más importancia al presente de la serie.

En el caso de suavizamiento exponencial simple:

Si la serie varía lentamente (valor típico 0.3)

En cambio si la serie varía bruscamente (valor típico 0.7)

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Otro método más objetivo es elegir que mejor habrían predicho los valores conocidos de la serie.

donde k se elige lo suficientemente grande como para que el efecto de inicialización del proceso sea despreciable.

Al estimar numéricamente se pierde la simplicidad de los métodos de suavizamiento exponencial.

Como esta es su carácteristica más importante, si se está dispuesto ha resolver el problema de minimización correspondiente entonces más vale usar métodos más sofisticados como por ejemplo: Box y Jenkins o ANN

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Ejemplo No1.

Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País

Usando el método de Holtz y Winter prediga los valores de los índices trimestrales para 2002.

Considere A=0,30 B=0,50 y D=0,30

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Debido a que es una serie de índices el modelo a ocupar debe ser el modelo multiplicativo.

Inicialización del método

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Formulas de actualización (1/3)

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Formulas de actualización (2/3)

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Formulas de actualización (3/3)

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Predicciones

Las predicciones para 2002 son las siguientes:

Héctor Allende O.

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Modelos de Suavizamiento Exponencial

Es posible mejorar los valores iniciales tomando:

donde: promedio del 1er año

: promedio del 2do año

Héctor Allende O.

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