Klasyczny model regresji liniowej przypadek wielu zmiennych objasniajacych

1. 1 Klasyczny model regresji liniowej � przypadek wielu zmiennych objasniajacych

2. 2 Model ekonometryczny jest r�wnaniem (lub ukladem r�wnan), kt�re przedstawia zasadnicze powiazanie ilosciowe miedzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi

3. 3 Ze wzgledu na role zjawisk ekonomicznych w modelu ekonometrycznym mozna wyr�znic zjawisko ekonomiczne wyjasniane przez model (czyli zmienna objasniana) zjawiska, kt�re oddzialuja na zmienna objasniana (czyli zmienne objasniajace)

4. 4 Dane dotyczace sprzedazy wody mineralnej

5. 5 Modele ekonometryczne mozna sklasyfikowac wedlug r�znych kryteri�w: 1. Liczby r�wnan w modelu model jednor�wnaniowy model wielor�wnaniowy 2. Liczby zmiennych objasniajacych modele z jedna zmienna objasniajaca modele z wieloma zmiennymi objasniajacymi 3. Postaci analitycznej modele liniowe modele nieliniowe 4. Roli czynnika czasu w r�wnaniach modelu modele statyczne modele dynamiczne

6. 6 Wykres rozrzutu zmiennych X1 i Y(cena i ilosc sprzedazy)

7. 7 Wykres rozrzutu zmiennych X2 i Y(cena i reklama)

8. 8

9. 9 Obliczenie wsp�lczynnik�w korelacji Wsp�lczynnik korelacji � mierzy sile liniowej zaleznosci, pomiedzy dwiema zmiennymi (?? -1 ?? +1) Wartosc wsp�lczynnika korelacji pr�bkowej wynosi � 0,86. To wskazuje na silna odwrotna proporcjonalna zaleznosc liniowa pomiedzy zmiennymi Y i X. Tj. wzrost ceny jednego litra wody mineralnej powoduje szybki spadek sprzedazy Z tego postaje nastepne pytanie: na ile zmniejsze sie sprzedaz wody mineralnej przy wzroscie jego ceny?????? Dla tego na diagramie wykresu rozrzutu musimy przewiesc liniuj prostu tak, zeby ona przechodzila blisko od zmiennych. Wsp�lczynnik korelacji � mierzy sile liniowej zaleznosci, pomiedzy dwiema zmiennymi (?? -1 ?? +1) Wartosc wsp�lczynnika korelacji pr�bkowej wynosi � 0,86. To wskazuje na silna odwrotna proporcjonalna zaleznosc liniowa pomiedzy zmiennymi Y i X. Tj. wzrost ceny jednego litra wody mineralnej powoduje szybki spadek sprzedazy Z tego postaje nastepne pytanie: na ile zmniejsze sie sprzedaz wody mineralnej przy wzroscie jego ceny?????? Dla tego na diagramie wykresu rozrzutu musimy przewiesc liniuj prostu tak, zeby ona przechodzila blisko od zmiennych.

10. 10 Macierz wsp�lczynnik�w korelacji

11. 11

12. 12

13. 13

14. 14

15. 15

16. 16 Macierz wsp�lczynnik�w korelacji

17. 17 Liniowy model regresji wielu zmiennych

18. 18 Metoda najmniejszych kwadrat�wopiera sie na koncepcji poszukiwania takich wartosci b0 b1 � bk parametr�w strukturalnych �0 , �1 � �k przy kt�rych suma kwadrat�w reszt osiaga minimum Najczesciej stosowana metoda estymacji nieznanych parametr�w strukturalnych �0 �1 jest metoda najmniejszych kwadrat�w. Idea tej metody polega na wyznaczenie takich oszacowan b0 b1 przy kt�rych suma kwadrat�w reszt osiaga minimum Najczesciej stosowana metoda estymacji nieznanych parametr�w strukturalnych �0 �1 jest metoda najmniejszych kwadrat�w. Idea tej metody polega na wyznaczenie takich oszacowan b0 b1 przy kt�rych suma kwadrat�w reszt osiaga minimum

19. 19 b1 = -8,248

20. 20

21. 21 Weryfikacja modelu ekonometrycznego 1. Badanie dopasowania modelu do danych obserwowanych wsp�lczynnik determinacji i wsp�lczynnik zbieznosci wsp�lczynnik zmiennosci losowej 2. Badanie istotnosci parametr�w strukturalnych �i test t-Studenta test F 3. Badanie wlasnosci odchylen losowych losowosc skladnika losowego normalnosc rozkladu skladnika losowego jednorodnosc wariancji skladnika losowego autokorelacja skladnika losowego

22. 22 1. Badanie dopasowania modelu do danych obserwowanych

23. 23 Dokladnosc dopasowania prostej metoda najmniejszych kwadrat�w Punktem wyjscia przy dokonywaniu pomiaru dokladnosci dopasowania prostej regresji do danych empirycznych jest nastepujacy podzial odchylenia obserwowanej wartosci Yi od sredniej Y�

24. 24 Pierwszy z tych skladnik�w (Yi � ? ) mozna traktowac jako te czesc calkowitego odchylenia Yi od ?, kt�ra jest wyjasniona regresja Y wzgledem X. Drugi skladnik (Yi - Yi) jest reszta ei dla x=xi, a zatem jest to ta czesc calkowitego odchylenia Yi od Y, kt�ra nie zostala wyjasniona regresja Y wzgledem X

25. 25 Analogiczna r�wnosc zachodzi takze dla sum kwadrat�w odpowiednich odchylen

26. 26

27. 27 SS � Sum of SquaresT � TotalR � RegressionE � Error

28. 28 Postepujac analogicznie jak przy konstrukcji wsp�lczynnika korelacji, tzn. dzielac sume kwadrat�w odchylen wyjasniona regresja przez calkowita sume kwadrat�w odchylen, otrzymamy miare dokladnosci dopasowania prostejwsp�lczynnik determinacji (r2)

29. 29 Wsp�lczynnik determinacji (r2) informuje, jaka czesc calkowitej zmiennosci zmiennej objasnianej (Y) stanowi zmiennosc wyjasniona przez model

30. 30 Dane dotyczace sprzedazy wody mineralnej

31. 31 SST = 233,6 SSE = 19,9 SSR = SST � SSE = = 233,6 � 19,9 = 117,7

32. 32

33. 33

34. 34

35. 35 (wsp�lczynnik korelacji)2 = wsp�lczynnik determinacji (r)2 = r2 (0,965)2 = 0,932

36. 36 Dane dotyczace sprzedazy wody mineralnej

37. 37

38. 38 Stopnie swobody Przez stopnie swobody rozumie sie liczbe niezaleznych wynik�w obserwacji pomniejszona o liczbe zwiazk�w, kt�re lacza wyniki obserwacji ze soba 10 + 5 = 15 Liczba stopni swobody wskazuje, jak wiele niezaleznych informacji zawartych w n niezaleznych wartosciach y1 , y2 , � , yn jest potrzebnych do zestawienia danej sumy kwadrat�w

39. 39 Stopnie swobody ma n-1 stopni swobody, poniewaz mamy n obserwacji oraz jeden laczacy je zwiazek, mianowicie ma k stopni swobody. potrzeba k informacji uzyskanych na podstawie Y1 , Y2 , � , Yn , mianowicie: b1 , b2 , � , bk ma n-k-1 stopni swobody, gdyz jest n obserwacji oraz k+1 zwiazk�w okreslonych przez uklad r�wnan normalnych

40. 40 Stopnie swobody df (SST) = n-1 df (SSR) = k df (SSE) = n-k-1

41. 41

42. 42

43. 43 Wartosc srednia kwadrat�w reszt Wartosc srednia kwadrat�w reszt (wariancja skladnika losowego) MSE m�wi o zgodnosci z danymi obserwowanymi w modelu. (informuje o zmiennosci skladnika losowego)

44. 44 Wartosc srednia kwadrat�w reszt

45. 45

46. 46 Odchylenie standardowe reszt Odchylenie standardowe reszt (standardowy blad estymacji) informuje o ile srednio wartosci obserwowane Y odchylaja sie od wartosci prognozowanych Y modelu

47. 47

48. 48

49. 49 Y [5;20] S = 2,7 ??????????? ?????? ?????? ???????? ??????? ??????? ???????? ???????? ? ?? ????????? ????????. ??? ???????????? ??????? ??????? ??????? ???????, ??? ????? 67% ????????? (?-Y) ?? ?????? ?? ????? ????????? S ????? 95% - ?? ????? 2 S ????? 100% - ?? ????? 3 S ??????????? ?????? ?????? ???????? ??????? ??????? ???????? ???????? ? ?? ????????? ????????. ??? ???????????? ??????? ??????? ??????? ???????, ??? ????? 67% ????????? (?-Y) ?? ?????? ?? ????? ????????? S ????? 95% - ?? ????? 2 S ????? 100% - ?? ????? 3 S

50. 50

51. 51 2. Badanie istotnosci parametr�w strukturalnych �i

52. 52 Pierwszym krokiem weryfikacji oszacowanego modelu jest badanie istotnosci parametr�w strukturalnych w celu sprawdzenia, kt�re ze zmiennych objasniajacych istotnie wplywaja na opisywany proces Wymaganie jest, aby wszystkie zmienne objasniajace modelu byly istotnie Zazwyczaj nie bada sie istotnosc wyrazu wolnego �0 , poniewaz bez wzgledu na to jaki ma on wplyw na zmienna objasniana nie usuwa sie go z modelu

53. 53 2.1. Test t-Studenta Badanie istotnosci parametr�w strukturalnych modelu polega na weryfikacji hipotez postaci Ho � hipoteza zerowa HA � hipoteza alternatywnaHo � hipoteza zerowa HA � hipoteza alternatywna

54. 54

55. 55

56. 56

57. 57

58. 58 Wartosc p Wartosc p jest krytycznym poziomem istotnosci dla testu t-Studenta Wartosc p jest poziomem prawdopodobienstwa przy kt�rym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0 Przyjmujac, ze poziom istotnosci ustala sie zwykle jako 5% (0,05) , hipoteza zerowa jest odrzucona, gdy wartosc p = 0,05

59. 59

60. 60

61. 61 2.2. Test F Badanie istotnosci parametr�w strukturalnych testem F polega na badaniu istotnosci wszystkich parametr�w strukturalnych lacznie Badanie istotnosci parametr�w strukturalnych za pomoca testu F Ho � hipoteza zerowa HA � hipoteza alternatywnaBadanie istotnosci parametr�w strukturalnych za pomoca testu F Ho � hipoteza zerowa HA � hipoteza alternatywna

62. 62

63. 63

64. 64

65. 65

66. 66

67. 67 Interpretacja oznaczen wynik�w analizy regresji w Excel Wielokrotnosc R � wsp�lczynnik korelacji R kwadrat � wsp�lczynnik determinacji r2 Blad standardowy � standardowy blad reszt Se Obserwacje � liczba obserwacji w badaniu

68. 68 Interpretacja oznaczen wynik�w analizy regresji w Excel df � degree of freedom (liczba stopni swobody) SS � Sum of Squares (suma kwadrat�w reszt) (suma kwadrat�w regresji) MS � Mean of Squares (wartosc srednia kwadrat�w reszt) (wartosc srednia kwadrat�w regresji)

69. 69 Interpretacja oznaczen wynik�w analizy regresji w Excel F � wartosc statystyki F sluzacej do weryfikacji hipotezy o lacznej istotnosci zmiennych objasniajacych Wsp�lczynniki � ocena parametr�w strukturalnych Bledy standardowe � sredni bledy ocen parametr�w strukturalnych

70. 70 Interpretacja oznaczen wynik�w analizy regresji w Excel t Stat � wartosc testu t-Studenta, sluzace do badania istotnosci parametr�w strukturalnych Wartosc-p � wartosc �prawdopodobienstwa empirycznego� (prawdopodobienstwo zdarzenia, ze statystyka tb znajdzie sie w przedziale ufnosci prawdziwosc hipotezy zerowej H0)

71. 71 3. Badanie wlasnosci odchylen losowych

72. 72 Badanie wlasnosci skladnik�w losowych ma na celu weryfikacje zalozen metody najmniejszych kwadrat�w. Weryfikacja jest prowadzona na podstawie reszt bedacych oszacowanymi skladnik�w losowych w modelu ekonometrycznym. Jesli okaze sie, ze jakis warunek nie jest spelniony, to estymatory traca niekt�re wlasnosci. W�wczas nalezy ponownie oszacowac parametry, stosujac inna metode estymacji, albo zmienic model.

73. 73

74. 74

75. 75

76. 76

77. 77

78. 78

79. 79

80. 80

81. 81

82. 82

83. 83

84. 84

85. 85

86. 86

87. 87

88. 88

89. 89

90. 90

91. 91

92. 92

93. 93

94. 94

95. 95 Homoskedastycznosc stalosc wariancji reszt

96. 96 Heteroskedastycznosc

97. 97

98. 98

99. 99 ????????????? ??????????? ??????????? ???????? ????? ????? ???????? ?????? ? ????????? ?? ??????? ??? ????? ???????? ??? ??????? ????????????, ??? ??????? � ????????????, ??? ??????? � ????? ???????????? ?.?. ??????? ?? ??????????? ????????? ??????? ?????????????? ?????????? ?????? ?????? ????????? ?????????????, ?????? ????? ?? ????????????? ????????? ????????? ????????? ??????????????????? ??????????? ??????????? ???????? ????? ????? ???????? ?????? ? ????????? ?? ??????? ??? ????? ???????? ??? ??????? ????????????, ??? ??????? � ????????????, ??? ??????? � ????? ???????????? ?.?. ??????? ?? ??????????? ????????? ??????? ?????????????? ?????????? ?????? ?????? ????????? ?????????????, ?????? ????? ?? ????????????? ????????? ????????? ????????? ??????

100. 100

101. 101 Przeksztalcenie potegowe Zt =Xt1/2

102. 102 Przeksztalcenie potegowe Zt =Xt2

103. 103 Przeksztalcenie logarytmiczne Zt = ln(Xt)

104. 104 Przeksztalcenie Zt = 1 / Xt = Xt-1

105. 105

106. 106 Przeksztalcenie potegowe Zt = Ytp Jesli p < 0, to przeksztalcona zmienna Zt = Ytp ma odwrotny trend do wyjsciowej Jesli 0 < p < 1, to przeksztalcona zmienna Zt = Ytp ma mniejsze zmiany amplitud niz wyjsciowa Jesli p > 1, to przeksztalcona zmienna Zt = Ytp bedzie miala wieksze zmiany amplitud niz wyjsciowa Przeksztalcenie logarytmiczne Zt = ln(Yt) Cel przeksztalcenia logarytmicznego jest podobny jak przeksztalcenia potegowego Zt = Ytp dla 0 < p < 1 Chodzi o spowolnienie zmian wartosci i amplitud wyjsciowych danych

107. 107

108. 108 Badanie losowosci rozkladu skladnika losowego ma na celu zweryfikowanie hipotezy o trafnosci doboru postaci analitycznej modelu. Czy model liniowy poprawnie opisuje zaleznosc pomiedzy zmienna objasniana a zmienna objasniajacej.

109. 109 Wielkosc sprzedaz kompanii Reynolds Metals

110. 110 Test Durbina - Watsona

111. 111 H0 : ? = 0 HA : ? > 0

112. 112

113. 113 DW = 0,87DW < L 0,87 < 1,22 a = 0,05 k = 1 n = 21 L = 1,22 U = 1,42

114. 114