走进数学思维

1. 走进数学思维 郑毓信

2. 简介 • 南京大学哲学系教授、博士生导师；西南（师范）大学兼职教授、兼职博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。 • 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。 • 已出版著作23部，发表论文260多篇。

3. 引入:如何从事数学教学研究? • 一篇好文章：“关于数学教育若干重要问题的探讨”（王凌、余慧娟，《人民教育》，2008第七期），第39-45页） • 主要内容：对于若干“语录”的解读。

4. “这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您使我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”“这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您使我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”

5. 数学思维：一个持续的热点 • 现实中的思想障碍与问题： 第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维； 第二，在现实中我们并可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。

6. 当务之急 • 如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是， 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。

7. 一、从数学抽象谈起 • 父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？” • 子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（《译林•文摘版》）

8. 数学最基本的特性：抽象性 • “甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫）

9. 数学与现实 第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的运作； 第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即是包含了与现实世界在一定程度上的分离。

10. 分析与思考 • “数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”（转引自衡锋，“‘错题’演绎的精彩”，《小学数学教学》，2007年第十期） • 对照：学习主要是一个“顺应”的过程，即是如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。

11. [例一] 这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”） • 任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？” • 一位学生是这样解题的：52×150×12=……

12. 接下来的对话 • “告诉我，你为什么这么列式？” • “老师，我错了。” • “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” • “除。” • “怎么除？” • “大的除以小的。” • “为什么是除呢？” • “老师，我又错了。” • “你说，对的该是怎样呢？” • “应该把它们加起来。”

13. 启而不发？ • “我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？” • “老师，我早上不吃大饼的。” • “那你吃什么？” • “我经常吃粽子。” • “好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”

14. “老师，我一天根本吃不了两个粽子。” • “那你能吃几个粽子？” • “吃半个就可以了。” • “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？” • “两个半。” • “怎么算出来的？” • “两天一个，5天两个半。”……

15. 结论之一 • 学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。 • 数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

16. [例二] 这能否算一堂真正的数学课？ • 这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题： “某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？” • 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。

17. 事后的思考 • 学生通过这一教学活动究竟学到了什么，特别是，这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识？

18. 更多的问题 • 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？ • 有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？ • 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？ • 有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？

19. 结论之二 • 帮助学生学会数学抽象的关键：应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（ “去情境化”） • 相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。

20. [例三] “找规律” （黄爱华、胡爱民） • “师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这个乐句就变成│咚 哒啦│咚 哒啦│咚 哒啦│…… • “请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”

21. 方法一：用音乐简谱符号表示 X X X ，X X X，X X X，X X X，X X X， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 X。 16 • 方法二：用图形表示 │□ ○△│□ ○△│□ ○△│□ ○△ │ │□ ○△│□

22. 方法三：用数字表示 │1 2 3│1 2 3│1 2 3│1 2 3│1 2 3│1

23. 结论之三 • 模式化的一个重要手段：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。

24. 理论指导下的自觉实践：变式理论 • 关键：对照与变化 （1）“标准变式”与“非标准变式” ：变化中的不变因素。 特别是，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），也应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可帮助学生切实地掌握相关概念的本质属性。

25. （2）“概念变式”与 “非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式”事实上起到了“反例”的作用，这样，通过与“正例”（ “概念变式”）的对照，也就可以帮助学生更好地去掌握概念的本质。

26. 二、数学中的分类 • 课改以来的一个共识：数学课应当很好体现数学课所应当具有的“数学味”。 • 相应的思考：究竟什么是所说的“数学味”？

28. [例四] 几何模块的分类 • 常见的组织方式。 • 问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？ • 什么是数学中的分类？

29. 分析与思考 • 有益的对照：自然数的认识。 • 进一步的思考：数学中又为什么要进行分类？

30. [例四] “100以内加减法练习” • “师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？

31. 34+42 =76， • 37+17 =54， • 69 -15 =54， • 59 +17=76， • 91 -15 =76， • 83 - 29=54。

32. 方法一：按照得数相同来分； • 方法二：按加法和减法来分； • 方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分； • 方法四：把 37+17、59 +17分成一组，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一组。 • 方法五：把34 + 42 = 76分成一组，剩下的为一组。……

33. 教师的总结 • “教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题——进行合理的分类，让学生通过相互的交流，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。” • 但是，我们究竟为什么要进行分类？

34. 结论之四 • 分类应当具有明确的目的性。 第一，归类：数学抽象的直接基础； 第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。 • 分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）

35. [例五] “三角形的分类” • 究竟什么应是这一堂课的教学重点：是角的度量？还是分类的必要性与合理性？

36. 一个相关的研究：数学家与初学者（学生）的比较一个相关的研究：数学家与初学者（学生）的比较 • 问题的不同分类： 按问题的“表层结构”（事实性内容与表述方式）与“深层结构”（内在的数学结构、解题方法）。 • 学会数学地思维的又一重要内涵：由“表层结构”逐步深入到“深层结构”。

37. [例六] 水池问题（祝中录） • “学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？（2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”

38. 结论之五 • 学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。

39. 三、数学中的类比 • 什么是类比（联想）？ • 什么又是类比联想在数学中的主要作用？

40. [例七] 数学中的类比 • 由一元二次方程必有2个实根或复根（重根计算在内），容易联想到：一元三次方程很可能具有3个实根或复根。 • 由（正）棱锥的体积等于同底等高的（正）棱柱的体积的三分之一，我们也可联想到：圆锥的体积很可能等于同底等高的圆柱的体积的三分之一。

41. 结论之六 • 类比在数学中一个重要作用，就是通过两个对象的比较由已获得的知识去引出新的猜测。 • 什么是类比联想的关键？

42. 一个常见的“定义”：“我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等，便推出它们在其它属性上也相同。这就是类比法。”一个常见的“定义”：“我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等，便推出它们在其它属性上也相同。这就是类比法。” • 数学中类比联想的关键：求同存异！

43. 为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。 • 所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据对象的具体情况作出适当的“调正”。

44. 结论之七 • 相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。 • 教学中的关键：如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学？

45. 四、数学中的特殊化与一般化 • 什么是数学中的“特殊化”？ “是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对象。”（波利亚） • 什么是数学中的“一般化”？ “是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合，或者从考虑一个该小的集合过渡到包含该较小集合的更大集合。”（波利亚）

46. 小学数学中的特殊化与一般化 • 问题：小学数学中是否也有特殊化与一般化？

47. [例八] “小数乘整数”与找规律（张勇成） • “师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看—— 0.1×4=0.4； （师：“这样的8份呢？”） 0.01×4=0.04；（师：“这样的23份呢？”） 0.001×9=0.009。（“师：这样的129个呢？） • “师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。 “师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？

48. “生1：乘得的结果越来越小。 “生2：都和几个零点几有关系。 “生3：乘得的结果都是小数。 • “师：同学们观察得很仔细，当0.1，0.01，0.001乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢？…… • “师：也就是说，因数中有几位小数，积—— • “生：就有几位小数。”

49. 然后，教师又将学生他们的注意力引向了“更为一般的小数与整数相乘”的情况。然后，教师又将学生他们的注意力引向了“更为一般的小数与整数相乘”的情况。 • “师：谁知道0.8×3的积是多少？ “生：0.8×3=2.4。 “师：你是怎么想的？ “生：我先不看小数点前面的0，用8乘3等于24，再等于2.4。

50. “师：先不看0.8前面的0，这里的8就表示—— “生：8个0.1。 “师：8个0.1怎样列式？ “生：8×0.1。 “师：再乘3呢？ “生：8×0.1×3。 “师：在这道算式里，可以先算8×3，对吗？ “生：对。” • 板书：8×3×0.1=24×0.1=2.4。（下略）