III semestr Projektu

1. III semestr Projektu

2. Dane informacyjne szkoły zapraszającej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku • ID grupy: 98/44_mf_g2 • Opiekun: p. Edyta Trocha • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: • Semestr III, rok szkolny 2010/2011

3. Gimnazjum z Koźminka • 1.Katarzyna Janiak • 2.Kinga Humelt • 3.Karolina Trzcińska • 4.Ewelina Murawska • 5.Kamil Krakus • 6.Adrian Wesołowski • 7.Kamil Kapłonek • 8.Tobiasz Kawecki • 9.Szymon Wojciechowski • 10.Józef Muszyński • 11.Klaudia Antczak • 12.Aleksandra Pietura • 13.Kinga Jędrzejak • 14.Piotr Kostera • 15.Tomasz Jaśkiewicz

4. Dane informacyjne szkoły zapraszanej w projekcie MGP • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie • ID grupy:98/87_MF_G1 • Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011

5. Gimnazjum ze Wschowy 1.Agnieszka Gąsiorek. 2. Nicole Kamińska3. Michał Kroma4. Wojciech Mały5. Agnieszka Marciniak6. Martyna Mielnik7. Natalia Młynarczak8. Aleksandra Rybka9.Oktawia Suda10. Katarzyna Walner11. Jarosław Urbanowicz

6. Wprowadzenie… W ramach realizacji zajęć projektowych MGP w III semestrze projektu „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” kontynuowaliśmywspółpracę z Gimnazjum im. Królowej Jadwigi ze Wschowy z woj. lubuskiego. Działania projektu wymagają od uczniów zintegrowanej wiedzy, umiejętności rozwiązywania problemów oraz stosowania technik komputerowych. W czasie realizacji projektu młodzież ma okazję do zaprezentowania swoich twórczych i oryginalnych pomysłów oraz nauczyć się współpracy w grupie i z innymi grupami. Temat projektu jaki wspólnie opracowaliśmy to „W świecie liczb”. Przygotowaliśmy prezentację wiedzy o fascynujących liczbach i ich wykorzystaniu w życiu codziennym.

7. Naszymi wspólnie założonymi celami było: • Popularyzowanie matematyki wśród młodzieży gimnazjalnej, inspirowanie i rozwijanie zainteresowań matematycznych. • Rozwijanie umiejętności: stosowania wiedzy w praktyce, analizowania zadania z tekstem, selekcjonowania i przetwarzania informacji. • Kształcenie sprawności rachunkowej • Nabycie umiejętności planowania i rozliczania się ze wspólnie podejmowanych działań • Współpracowaliśmy zdalnie korzystając z poczty elektronicznej , portalu • i tradycyjnej poczty. Realizatorzy projektu opracowali wybrane przez siebie zadania wykorzystując różne źródła wiedzy m.in. Internet, podręczniki, zbiory zadań , arkusz kalkulacyjny do tworzenia symulacji np. mini kalkulatory płacowe. • Nasze Gimnazjum z Koźminka i Gimnazjum ze Wschowy, pracowało nad projektem według wspólnie ustalonej karty pracy-instrukcji dla ucznia.

8. W świecie liczb Zapraszamy do obejrzenia …

9. Co jest najmądrzejsze?Liczba.Co jest najpiękniejsze?Harmonia.Czym jest cały świat?Liczbą i harmonią.Pitagoras

10. Świat liczb… • Liczby fascynowały ludzi od czasów babilońskich. To one miały tłumaczyć tajemnicę wszechświata i Boga, rozumu ludzkiego i muzyki; to one miały sens absolutny i magiczny. To one wreszcie przydawały się i przydają do liczenia... • Już starożytni wiedzieli, że liczby są kluczem do poznania i zrozumienia zarówno natury ludzkiej, jak i zasad rządzących światem.

11. Podział liczb rzeczywistych

12. Liczby naturalne… "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Leopold Kronecker(1823 – 1891)

13. Liczby naturalne… • Zbiór liczb naturalnych dodatnichzapisujemy następująco: Zbiór wszystkich liczb naturalnych zapisujemy następująco:

14. Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą podążając drogą ku nieskończoności. Symbole cyfrowe, których używamy obecnie do zapisywania liczb naturalnych zawdzięczamy Arabom. To oni „przywieźli” cyfry zwane dziś „arabskimi” z północnych Indii, gdzie znane były od V wieku n.e.W Europie hindusko – arabskisystem liczbowy propagowałw XIII wieku Leonardo z Pizy.

15. Liczby pierwsze… • Liczbą pierwsząnazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n.Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... Euklidesok. 365 p.n.e – ok. 300 p.n.e Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” .

16. Sito Erastotenesa… Czyli poszukiwanie liczb pierwszych

18. Pytanie… • Dlaczego liczby 0 i 1 nie są wykreślone, • tak jak liczby złożone, i nie są • w kółeczkach, tak jak liczby pierwsze? Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

19. Liczby pierwsze… • Liczby pierwsze w matematyce mają podobne znaczenie , jak w fizyce cząsteczki materii.To cegiełki, podstawowe klocki, z których można zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi. Euklides udowodnił, że: Każdą liczbę naturalną n>2 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. np. 12=2*2*3 75900 = 2.2.3.5.5.11.23

20. Pobity został kolejny rekord poszukiwań liczb pierwszych. Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr i ma postać213466917 - 1, Liczby pierwsze

21. Jak szukamy liczb pierwszych? Przepis, obecnie nazywany sitemEratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki. Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej.

22. 2 3 4 5 6 1 Liczby całkowite • W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie.Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – 1000.W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy C. C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  N C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  { 0 }  { 1, 2, 3, 4, ... } C = C-  { 0 }  C+

23. Liczby wymierne… • Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Zbiór liczb wymiernychzapisujemy następująco: Przykłady liczb wymiernych:

24. Liczby wymierne… Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.

25. „Wszystko jest liczbą ?!” Liczby wymierne… • W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie dramatycznego odkrycia. Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną. To burzyło ich dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata. Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e)

26. 1 1 • Pitagorejczycy postanowili trzymać w tajemnicy fakt odkrycia liczb niewymiernych, ale jeden z członków Związku Pitagorejskiego,Hippasus, zdradził ów sekret. Według legendy został za karę utopiony • przez kolegów matematyków. Liczby niewymiernej nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę niewymierną możemy przedstawić w postaci nieskończonego i nieokresowego rozwinięcia dziesiętnego.

27. 1 1 1 2 1 1 1 1 Metoda rysowania odcinków… Rysunek przedstawia metodę rysowania odcinków, będących pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych. Wszystkie trójkąty prostokątne jedną przyprostokątną mają o długości 1. Wykorzystując wzór Pitagorasa liczymy długość przeciwprostokątnej. W ten sposób można skonstruować odcinek o dowolnej długości.

28. liczba Archimedesa:  L – długość okręgu r – promień okręgu L 2r Liczby niewymierne…

29. Archimedes z Syrakuz… Archimedes z Syrakuz - najwybitniejszy matematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości.

30. Liczba … Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.) Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.) Archimedes (III w. p.n.e.) - matematyk i fizyk grecki Klaudiusz Ptolemeusz - matematyk grecki Alchwarizmi - uczony arabski

31. Liczba  pojawia się w wielu wzorach: P =p r2 Obw =2p r P = 4 p r2 V = p r3 P =2 p r(r+h) V =p r2 h

32.  jest liczbą niewymierną ! Liczba … • Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena • (1540 – 1610), pierwszego nowożytnego badacza , który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć wartość liczby . Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy, że  jest liczbą wymierną. Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia • dziesiętnego.

33. Liczba … • Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnychliczby  nadal trwają. Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny.

34. Liczba  jest ,,bohaterką" wiersza W. Szymborskiej. • Podziwu godna liczba Pi • trzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniemosiem dziewięć obliczeniemsiedem dziewięć wyobraźnią, • a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie…

35. Ferdynand Lindemann(1852 – 1939) Ludolfina… • W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann udowodnił, że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną,tzn. niemożna wykonać konstrukcji odcinka o długości  za pomocą cyrkla i linijki. Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła. Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem spadło niemal do zera. Pracują nad nim tylko ci, którzy wierzą też w możliwość konstrukcji perpetuum mobile.

36. Słynny pi- emat… • Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej zapamiętywać liczbę .Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to cyfra w rozwinięciu dziesiętnym . Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 rokuautorstwa KazimierzaCwojdzińskiego: • „Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz...Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu’’

37. Liczba … • Liczba  to stała matematyczna określająca również stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy. • Używany dzisiaj symbol  wprowadził w 1706 roku William Jones w książce pt. „Synopsis Palmariorum Matheseos” Symbol  został spopularyzowany w połowie XVIII w.przez matematyka i fizyka szwajcarskiego Leonarda Eulera (1707-1783).

38. Twierdzenie Eulera… • Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi, s ścian, to w – k + s = 2. Korzystając z tego twierdzenia możemy wykazać, że istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.

39. Czworościan foremny … Z pośród znanych wielościanów foremnych czworościan ma najmniejszą ilość ścian, wierzchołków i krawędzi. Czworościan foremny jest ostrosłupem. tetraedr Twierdzenie Eulera: 4 – 6 + 4 = 2 Liczba wierzchołków = 4 Liczba krawędzi = 6 Liczba ścian = 4

40. Sześcian foremny … Sześcian foremny, zwany kostką jest graniastosłupem. Zbudowany jest z sześciu ścian. Sześcian jest prostopadłościanem o przystających bokach. heksaedr Liczba wierzchołków = 8 Liczba krawędzi = 12 Liczba ścian = 6 Twierdzenie Eulera: 8 – 12 + 6 = 2

41. Ośmiościan foremny … To wielościan foremny o 8 ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Liczba wierzchołków = 6 Liczba krawędzi = 12 Liczba ścian = 8 oktaedr Twierdzenie Eulera: 6 – 12 + 8 = 2

42. Dwunastościan foremny … Dwunastościan foremny jako jedyny wielościan foremny ma ściany w kształcie pięciokąta. Jego wszystkie wypukłe kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany o wspólnej krawędzi mają równe miary. dodekaedr Twierdzenie Eulera: 20 – 30 + 12 = 2 Liczba wierzchołków = 20 Liczba krawędzi = 30 Liczba ścian = 12

43. Dwudziestościan foremny … Dwudziestościan foremny zbudowany jest z trójkątów równobocznych. Ma on największą liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi spośród wielościanów foremnych. ikosaedr Liczba wierzchołków = 12 Liczba krawędzi = 30 Liczba ścian = 20 Twierdzenie Eulera: 12 – 30 + 20 = 2

44. Sudoku… 数独

45. Co to jest sudoku… Sudoku -jest to łamigłówka wymyślona w 1783 roku przez genialnego matematyka z Bazylei, Leonharda Eulera. Popularność na świecie zyskała dzięki dołączaniu jej do wielu znaczących gazet .

46. O co chodzi w sudoku… Sudoku to kwadrat 9x9, dodatkowo podzielony na mniejsze kwadraty 3x3. Puste pola kwadratu należy wypełnić w taki sposób, aby w każdym poziomym wierszu, w każdej pionowej kolumnie oraz wewnątrz każdego mniejszego dziewięciopolowego kwadratu znalazły się cyfry od 1 do 9. Inne odmiany Sudoku: Sudoku trójwymiarowe, w kształcie kostki sześciennej o wymiarach 9x9x9.

47. Historia sudoku… 1970 – Pierwsza zagadka polegająca na wstawianiu liczb ukazała się w amerykańskim czasopiśmie z łamigłówkami matematycznymi. 1984 – Japończycy rozpoczęli drukowanie zadań liczbowych w codziennych gazetach. 1986 – Sudoku przybrało ostateczną, znaną dziś formę. 2004 – Sudoku podbija Wielką Brytanię. Modę na Sudoku zapoczątkował brytyjski dziennik „The Times”. 2005 – Sudoku dociera do Polski, gdzie zostaje opublikowane przez tygodnik „Polityka”. 2005 – W Polsce odbywają się pierwsze mistrzostwa w Sudoku.

48. Kto może grać w sudoku… Jeśli: • lubisz łamigłówki, • nie lubisz wykonywać rachunków • matematycznych, • jesteś cierpliwy, • potrafisz logicznie myśleć, • masz trochę wolnego czasu, to znaczy, że Sudoku jest właśnie dla Ciebie. Tylko uważaj…Sudoku wciąga!!!

49. Przykłady liczb niewymiernych… • liczba Nepera: e = 2,718281828459045235360287471352662497757... John Neper żył w latach 1550 – 1617 ;matematyk szkocki, wynalazca logarytmów. Sporządził tablice logarytmów liczb i funkcji trygonometrycznych.

50. R W NW C N N+ Zbiór liczb … R – zbiór liczb rzeczywistychW – zbiór liczb wymiernychNW – zbiór liczb niewymiernychC - zbiór liczb całkowitychN – zbiór liczb naturalnychN+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich