slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Ν. Καστάνη

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 43

Ν. Καστάνη - PowerPoint PPT Presentation


  • 112 Views
  • Uploaded on

Ιστορικές καταβολές των διανυσμάτων και του Διανυσματικού Λογισμού. Ν. Καστάνη. Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011. Εισαγωγή-Προβληματισμός. Πολλές φορές, για την εξοικείωση στον τεχνοκρατικό μηχανισμό ενός επιστημονικού θέματος, όπως π.χ. του Διανυσματικού Λογισμού, είναι

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Ν. Καστάνη' - hong


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Ιστορικές καταβολές

των διανυσμάτων και

του Διανυσματικού Λογισμού

Ν. Καστάνη

Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011

slide2

Εισαγωγή-Προβληματισμός

Πολλές φορές, για την εξοικείωση στον τεχνοκρατικό μηχανισμό ενός

επιστημονικού θέματος, όπως π.χ. του Διανυσματικού Λογισμού, είναι

αναγκαίες κάποιες διευκρινήσεις ή κάποια κατανόηση της εννοιολογικής

και μεθοδολογικής προέλευσης του.

Με τον τρόπο αυτό επιδιώκεται η δικαιολόγηση του κι όχι, μόνο, η τυφλή

αποδοχή του ως υπερφυσικό δεδομένο ή ως ουρανοκατέβατη φαεινή ιδέα.

Το ζητούμενο, λοιπόν, είναι η κατανόηση, έστω σ’ ένα βαθμό, της αναγκαιότητας, του λόγου ύπαρξης και της αξία τουνέου μαθηματικού

τρόπου σκέψης και τηςνέας μαθηματικής πρακτικής.

slide3

Στην προκειμένη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στην ψηλάφηση της

προέλευσης και καθιέρωσης των διανυσμάτων και του Διανυσματικού

λογισμού, για μια στοιχειώδη κατανόηση της ιστορία τους.

Οι πρώτες, απλές, ερωτήσεις είναι: πότε και γιατίπρόβαλλαν τα διανύσματα;

Και για να γίνει πιο προκλητικό ένα τέτοιο ενδιαφέρον, θα μπορούσαν να

τεθούν τα εξής αβανταδόρικα ερωτήματα :

- Οι Αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι άνοιξαν μια λαμπρή σελίδα στα Μαθηματικά,

ανάπτυξαν και χρησιμοποίησαν τα διανύσματα;

- Ο Γαλιλαίος, που η συμβολή του στη επιστήμη ήταν αξιοσημείωτη,

ασχολήθηκε με ανάλογα θέματα;

slide4

Η απάντηση και στα δύο, είναι: όχι.

Και σίγουρα, δεν τους έλειπαν οι διανοητικές ικανότητες και η εξυπνάδα.

Μάλλον, δεν ήταν ώριμες οι συνθήκες. Μ’ άλλα λόγια, δεν είχαν τεθεί

προβλήματα που να είναι απαραίτητη η γνώση των διανυσμάτων και

των διανυσματικών μεθόδων.

Φαίνεται ότι μια τέτοια ανάγκη εκδηλώθηκε, επιτακτικά, μέσα στις προσπάθειες

ανάπτυξης της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού στο 2ο μισό του 19ου αιώνα.

Και ήταν επιτακτική η ανάγκη αυτή, γιατί η ανάπτυξη της εν λόγω θεωρίας ήταν

στενά εξαρτώμενη από προσανατολιστικές καταστάσεις και χειρισμούς.

Αλλά υπήρχε και ένας επίσης σημαντικός, “εξωτερικός”, λόγος: η ώθηση του

ηλεκτρομαγνητισμού άνοιγε νέους ορίζοντες στην αντίστοιχη τεχνολογία,

π.χ. στους ηλεκτροκινητήρες.

slide5

Ένα ισχυρό κίνητρο

Ένας από τους πρωτοπόρους

του ηλεκτρομαγνητισμού ήταν ο

James Clerk Maxwell (1831-1879).

James Clerk Maxwell

slide7

Οι διαθέσιμες μαθηματικές γνώσεις

O Maxwell έδωσε, χωρίς αμφιβολία, μια ισχυρή ώθηση για την ανάπτυξη

των διανυσμάτων στη Μαθηματική Φυσική.

Στο βιβλίο του, όπως είδαμε, επισήμανε τη μέθοδο του Hamilton, ως ένα

διαθέσιμο θεωρητικό υπόβαθρο για την προώθηση των διανυσμάτων

στον Ηλεκτρομαγνητισμό.

Αυτή η μέθοδος του Hamilton μοιάζει να σηματοδοτεί ένα είδος “προζύμης”

για τα διανύσματα και το Διανυσματικό Λογισμό.

Περί τίνος πρόκειται;

slide8

Sir William Rowan Hamilton

(1805 – 1865)

Περί ενός νέου είδους φανταστικών

ποσοτήτων που σχετίζονται με μια

θεωρία των τετράδων (1843)

slide9

Ο Hamiltonέχοντας υπ’ όψη του τη γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών

αριθμών, που πρότεινε, το 1831, ο Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ανάπτυξε

την ιδέα ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, z=a+bi, μπορούν νααντιμετωπιστούν ως

διατεταγμένα ζεύγη (a,b) και να συστηματοποιηθούν ως μια άλγεβρα

διατεταγμένωνζευγών, ορίζοντας τις πράξεις τους ως εξής:

(α,β)

(6,3)

Carl F. Gauss

slide10

Μετά απ’ αυτή την παρέμβαση, ο Hamilton σκέφτηκε να γενικεύσει την ιδέα

των ζευγών σε τριάδες, αλλά δεν μπόρεσε να ορίσει τις πράξεις τους.

Παρά την αποτυχία του αυτή, συνέχισε να προσπαθεί με τετράδες και πέτυχε

να ορίσει τις πράξεις τους, ως εξής:

Και πρότεινε την εξής αναπαράσταση για

κάθε τετράδα (a,b,c,d):

όπου

αριθμητικό μέγεθος

διανυσματικό μέγεθος

slide11

Ο Hamilton καλλιέργησε την ιδέα του

για τις τετράδες, προσπαθώντας να

την αναπτύξει σε μια καλά οργανωμένη

θεωρία και προβάλλοντας μια ποικιλία

εφαρμογών τους σε διάφορους τομείς

των Μαθηματικών και της Φυσικής.

slide12

Ο Peter Tait,καθηγητής στο πανεπιστήμιο

του Belfast, που είχε φιλικές σχέσεις

με τον Hamilton και αλληλογραφούσε

με τον Maxwell, προώθησε τη θεωρία

των τετράδων του Hamilton.

Peter Guthrie Tait

(1831-1901)

slide13

Αξίζει να αναφερθεί ότι η θεωρία των

τετράδων προέκυψε από τα φιλοσοφικά

ενδιαφέροντα του Hamilton.

Δηλαδή προήλθε από μια εσωστρεφή τάση γενίκευσης, εμπνεόμενη από τη

φιλοσοφία του Καντ.

Δεν είχε εξωτερικά κίνητρα, π.χ. κάποιο

πρόβλημα της πραγματικότητας έξω από

τα Μαθηματικά.

Το ίδιο συνέβη, τότε, και με τονΓερμανό,

Hermann Grassmann (1809-1877), που

εξέδωσε το 1844 “Την Επιστήμη των

Εκτεταμένων Μεγεθών”.

Hermann Grassmann

slide14

Σύμφωνα με τον Grassmann, τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη

αφηρημένων μορφών, δηλ. ένα σύστημα συμβόλων. Έτσι τα γεωμετρικά

στοιχεία αντιμετωπίζονται ως συμβολικές μορφές οι οποίες είναι

δομημένες με εσωτερικές σχέσεις και πράξεις.

Κεντρική θέση στο γεωμετρικό του σύστημα έχουν τα εκτεταμένα μεγέθη

όπως π.χ. τα προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήμα. Κάθε εκτεταμένο μέγεθος

μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλγεβρικό άθροισμα μοναδιαίων μεγεθών,

ως εξής:

Τα εκτεταμένα μεγέθη μπορεί να είναι οποιουδήποτε βαθμού, δηλ

οποιασδήποτε διάστασης, με τη σημερινή ορολογία. Αυτό σημαίνει ότι o

Grassmannυπέθαλπε έναν λογισμό για Γεωμετρία με περισσότερες διαστάσεις.

Το έργο του, γενικά, ήταν πολύ αφηρημένο και με αρκετά φιλοσοφικά

στοιχεία. Ως συνέπεια ήταν δυσνόητο και δεν είχε μεγάλη απήχηση,

για αρκετά χρόνια.

slide15

Και δεν είναι καθόλου τυχαίο ότι

μια από τις πρώτες εφαρμογές

της νέας του θεωρίας, που έκανε

oGrassmann, ήταν στην

Ηλεκτροδυναμική.

slide16

Mέχρι το 1870, οι ιδέες του Grassmann δεν βρήκαν ανταπόκριση στους

μαθηματικούς, της περιόδου εκείνης.

Γιατί;

1ο Η παρουσίαση της θεωρίας του ήταν δυσνόητη. Κι αυτό γιατί οι πρωτότυπες

σκέψεις του ήταν διαποτισμένες με υπονοούμενες ιδέες της Γερμανικής

Φιλοσοφίας και Θεολογίας, των αρχών του 19ου αιώνα.

2ο Ο Grassmann ήταν καθηγητής μέσης εκπαίδευσης και κατά συνέπεια δεν

μπορούσε να υπερβεί εύκολα την υπεροψία του τότε ακαδημαϊκού

κατεστημένου της Γερμανίας.

3ο Η ανάπτυξη της ηλεκτροδυναμικής και του ηλεκτρομαγνητισμού στη

Γερμανία δεν ήταν μεγάλη, μέχρι τη δεκαετία του 1880. Κι αυτό, ίσως,

να οφείλονταν στην επικράτηση των εμπειρικών μεθόδων κι όχι στην

ευρύτερη αξιοποίηση της μαθηματικό-θεωρητικής σκέψης (όπωςπ.χ.

έκανε ο Maxwell).

slide17

Ένας από τους πρώτους που πρόβαλε

και απλοποίησε τη σκέψη του Grassmann

ήταν ο Hermann Hankel (1839-1873),

που έγινε καθηγητής στο πανεπιστήμιο

του Erlangen και του Tübingen.

Hermann Hankel

slide18

Την ίδια περίοδο στη Βρετανία, οι τετράδες του Hamilton είχαν μια σημαντική

απήχηση, που οφείλονταν τόσο στην ισχυρή προσωπικότητα του Hamilton, όσο

και στην προώθηση και την αξιοποίησή τους από τον Tait και τον Maxwell.

Παρ’ όλα αυτά ο Maxwell είχε σοβαρότατες αντιθέσεις με τις τετράδες του

Hamilton.

Κι αυτό γιατί παρουσίαζαν εγγενείς αδυναμίες στο λειτουργικό τους ρόλο μέσα

στην ηλεκτροδυναμική θεωρία.

Για παράδειγμα, το τετράγωνο μιας τετράδας ήταν αρνητικό και αυτό είχε σα

συνέπεια η κινητική ενέργεια, με την αναπαράσταση των τετράδων, να

γίνεται αρνητική.

Έτσι η ανάγκη τροποποίησης της θεωρίας των τετράδων, ως θεωρητικό

εργαλείο της ηλεκτροδυναμικής, ήταν επιτακτική.

slide19

Ένα τέτοιο βήμα έκανε, το

1878, ο WilliamClifford,

καθηγητής στο πανεπιστήμιο του

Λονδίνου.

Επηρεασμένος από τον Hankel,

προσπάθησε να συνδυάσει τις

τετράδες του Hamilton με τις ιδέες

του Grassmann.

William Clifford (1845 -1879)

slide20

Στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ο

Εγγλέζος Oliver Heaviside κι ο Αμερικάνος

Josiah Gibbs έδωσαν τη νέα μορφή στο

Διανυσματικό Λογισμό, αναπροσαρμόζοντας

τις ιδέες του Hamilton και του Grassmann.

Oliver Heaviside (1850-1925)

slide21

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

Η επιστημονική δραστηριότητα και του

Heaviside και του Gibbs ήταν στο χώρο

των ηλεκτρολόγων-μηχανολόγων, που

τότε ήταν σ’ άνθηση.

slide22

Με την έκδοση του εγχειριδίου

Vector Analysis, το 1901, από τους

Αμερικάνους Gibbs και Wilson,

άρχισε να καθιερώνεται ο

μαθηματικός αυτός κλάδος, διεθνώς.

slide23

Η οριστική καθιέρωση του Διανυσματικού Λογισμού έγινε κατά τη μετάβαση στον

20ο αιώνα, όταν σημαντικές προσωπικότητες των Μαθηματικών και της Φυσικής,

όπως π.χ. ο Guiseppe Peano(1858-1932) τον υποστήριξε και τον ώθησε. Και ο

Felix Klein (1849-1925) τον αποδέχθηκε, αλλά δεν ήταν και πολύ ενθουσιώδης

με τον συγκεκριμένο κλάδο.

Guiseppe Peano

Felix Klein

slide24

Ποια η τύχη του Διανυσματικού Λογισμού

στην Ελλάδα;

Στην Ανωτέρα Άλγεβρα (1879) του Ιωάννη

Χατζιδάκη, καθηγητή τότε στη Σχολή

Ευελπίδων, υπάρχουν κάποια στοιχεία των

τετράδων του Hamilton και κάποια ίχνη των

iδεών του Grassmann.

Ιωάννης Ν. Χατζιδάκης (1844-1921)

slide25

Το 1883, ο Κυπάρισσος Στέφανος,

ένας σημαντικός καθηγητής του Τμήματος

Μαθηματικών της Αθήνας στα τέλη του 19ου

και στις αρχές του 20ου αιώνα, δημοσίευσε,

στο περίφημοΓερμανικό περιοδικό

Mathematische Annalen,μια εργασία για

Τις τετράδες του Hamilton.

Κυπάρισσος Στέφανος (1857-1917)

slide26

Δυστυχώς αυτές οι νύξεις στις τετράδες

του Hamilton δεν αναπτύχθηκαν,

διδακτικά και ερευνητικά, στο

Τμήμα Μαθηματικών της Αθήνας.

Άρχισε η διδασκαλία του Διανυσματικού

Λογισμού,το 1948!!!

Νείλος Σακελλαρίου (1882-1955)

slide27

Ο Νικόλαος Γεννηματάς δίδαξε, στο ΕΜΠ,

Διανυσματική Ανάλυση, από το 1918.

Νικόλαος Β. Γεννηματάς (1875-1931)

slide28

Ο Όθων Πυλαρινός (1903-1990), που ήταν

επιστημονικός συνεργάτης του Γεννηματά,

δίδαξε, όταν το1932 έγινε καθηγητής στο

Τμήμα Μαθηματικών της Θεσσαλονίκης,

Θεωρητική Μηχανική χρησιμοποιώντας

Διανυσματικό Λογισμό.

Όθων Πυλαρινός

slide29

Ο Γεώργιος Καζαντζίδης ως επιστημονικός

συνεργάτης στη Θεωρητική Μηχανική,

δίδαξε Διανυσματικό Λογισμό στο Τμήμα

Μαθηματικών και στο Τμήμα Φυσικής

του ΑΠΘ, από το 1957 μέχρι το 1966.

Γεώργιος Καζαντζίδης

(1911-2001)

slide30

Από το 1967 και εξής ο Διανυσματικός

Λογισμός έγινε οργανικό μέρος τους

Προγράμματος του Τμήματος

Μαθηματικών του ΑΠΘ.

Ιωάννης

Αναστασιάδης

(1912-1988)

Γεώργιος

Γεωργανόπουλος

slide31

Φαίνεται ότι τα Ελληνικά Τμήματα Μαθηματικών είχαν μια υποτονικότητα

στο ζήτημα της ενσωμάτωσης αυτού του νέου κλάδου των Μαθηματικών.

Ποια ήταν η ερευνητική στάση των Ελλήνων μαθηματικών στο θέμα αυτό;

Έγιναν σχετικές δημοσιεύσεις στο Δελτίο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας;

Μήπως οι μηχανολόγοι και οι φυσικοί ήταν πιο ένθερμοι με τον Διανυσματικό

Λογισμό;

Διαφαίνονται διαφορετικές νοοτροπίες;

Ποια η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού στην Ελληνική Φυσική

(Ηλεκτροδυναμική ή Θεωρητική Μηχανική);

slide32

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950) τι στάση είχε;

Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

Eίχε μια αδράνεια η Γαλλική επιστήμη στην αρχική φάση της ανάπτυξης

αυτού του κλάδου;Γιατί;

Για παράδειγμα, ποια ήταν η στάση του Poincare;

Jules Henri Poincaré (1854–1912)

slide34

Επιμύθιο

ο επίλογος ενός μύθου,

που συμπυκνώνει ως

δίδαγμα το περιεχόμενο

της διήγησης.

slide36

Στο μάθημα που παρακολουθήσατε, πρωταρχική έμφαση δόθηκε στην

πραγματική αναγκαιότητα για την ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού, η

οποία ωθήθηκε από την ηλεκτροδυναμική ή τον ηλεκτρομαγνητισμό με

πρωταγωνιστή τον Maxwell κι όχι στις μεταφυσικές επινοήσεις κάποιων

“εμπνευσμένων” σοφών, με ισχυρά ερείσματα στο επιστημονικό κατεστημένο.

Επισημάνθηκε ότι η ανάδυση των σχετικών ιδεών δεν ήταν μια αποκλειστικότητα

ενός “εμπνευσμένου” ακαδημαϊκού, αλλά κι ενός εκπαιδευτικού με περιορισμένη

έως μηδενική απήχηση στους πανεπιστημιακούς κύκλους.

Αναφέρθηκε ότι οι νέες αυτές ιδέες είχαν μια “γερή δόση” φιλοσοφικού στοχασμού

και δεν ήταν απλά μια γενίκευση καθιερωμένων γνώσεων.

slide37

Υπογραμμίστηκε ότι μετά το στάδιο των πρώτων εκφάνσεων και εφαρμογών

των ιδεών του Διανυσματικού Λογισμού, υπήρξε μια περίοδος αναγνώρισης,

συνύφανσης και αναδόμησης τους.

Θίχθηκε η εκπαιδευτική νομιμοποίηση της αναμορφωμένης πλέον θεωρίας

του κλάδου αυτού και στη συνέχεια η ευρύτερη νομιμοποίηση του στην αρχή

του 20ου αιώνα.

Τέλος, έγιναν κάποιες νύξεις ή τέθηκαν κάποια ερωτήματα για την ευρύτερη

αποδοχή ή “δυστοκία” σε διάφορα πολιτισμικά πλαίσια ή σε κάποιες

προσωπικότητες, όπως αυτό της ελληνικής πραγματικότητας ή του Poincare.

Έγινε, δηλαδή, μια απόπειρα να μην παρουσιαστεί το θέμα ως μια

γραμμική εξέλιξη “φαεινών ιδεών” επιφανών επιστημόνων και να

φωτιστούν κάποιες πολιτισμικές παράμετροι του.