به نام خدا

1. به نام خدا

2. علی دارایی

3. ما در نظر می گیریم یک قانون توزیع احتمال برای انحرافهای کمیتهای اساسی ترمودینامیک در یک سیستم فیزیکی داده شده. یک سیسنم فیزیکی داده شده که آن را با 1نشان می دهیم محاط شود در یک ذخیره کننده (نگهدارنده) که می تواند با 2 نشان داده شود که انرژی و حجم هر دو سیستم تغیر می کند ولی انرژی و حجم کل تغیر نمی کند . برای راحتی با تغیرات ذرات روبرو نمی شویم پس تعداد و ثابت با قی می مانند. سیستم مرکب (2+1) یک دمای عمومی و یک فشار عمومی دارد البت آنتروپی در سیستم مرکب در حالت تعادل بیشترین مقدار را داردو در حالت دیگر همانند مورد مشخص شده با یک نوسان باید مقدار کمتری را داشته باشد. فرض کنید دلالت می کند بر انحراف در مقدار واقعی آنتروپی از مقدار تعادل پس

4. احتمال اینکه انحراف فرض شده بتواند رخ دهد دریک سیستم داده می شود با معادله همانند معادله های 1و3 از فصل سوم که داشتیم که فشار ودمای ذخیره کننده می تواند در مدت درست شدن انحراف تغیر کند . اکنون حتی اگر انحراف قابل اندازه گیری باشد از نقطه دید سیستم 1آنگاه از دید سیستم 2 مقدار کوچکی می باشد (4)

5. (5) بنابراین فرمول(5) معادل خوبی برای سیستمی که در یک آنسامبل آماری که به حالت تعادل رسیده است بکار میرود. نتیجتا ما میتوانیم پسوند (1)وهمچنین(*) را بیندازیم . (6) در اغلب حالتها انحرافها از نظر بزر گی واقعا کوچک هستند . بنابراین کمیت بسط داده شود بر حسب یک سری تیلور : (7) با جانشینی (7) در (6) و باقی گذاردن جمله های درجه 2 بدست می آمی وریم: (8)

6. با کمک (8)مربع انحرافات کمیتهای مختلف فیزیکی و روابط آماری میان انحرافات مختلف به آسانی حساب می شوند. چهار بدست آمده در این فرمولها فقط دو تا می توانند مستقل باشند. که قابلیت تراکم همدما در یک سیستم می باشد.

7. نشان می دهیم که انحراف در TوV به طور آماری غیر متعلق به متغیرهای گوسی است .

8. که در اینجا دلالت می کند بر تراکم پذیری در سیستم. توجه می کنیم که عموما مربع انحرافات در یک کمیت Extensiveمستقیما متناسب است با اندازه سیستم که یک کمیتintensive به طور معکوس متناسب با همان می باشد.به کمک نتیجه بالایی ما می توانیم مربع انحرافات در انرژی سیستم را بدست آوریم . با گرفتن T وV به عنوان متغیر های مستقل داریم

9. توجه می کنیم که آخرین نتیجه بدست آمده کاملا موافق با نتیجه گرفته شده از آنسامبل کانونی بزرگ بود . مربع نوسان یا انحراف در مقدار N داده می شود به وسیله معادله زیر : این شناخته شده است با ذرات تشکیل دهنده یک سیستم ایزو ترو پیک همگن همانند یک مایع یا گاز به طور معادل به بودن در نقطه r در فضای قابل دسترس به آنها محتمل هستند . در حقیقت اگر ما در نظر بگیریم دو ذره را در یک زمان برای یک محل داده شده برای یکی از ذرات احتمال اشغال نقاط دیگر توسط بقیه ذرات با احتمال مساوی نیستند. زیرا به علت بر همکنش بین ذرات و خاصیت متقارن توابع موج مقادیر مختلف محل نسبیr2-r1 برای هر دو ذره با احتمال مساوی به نظر نمی رسد.بنابراین با تعریف یک تابع توزیع که همانند یک چگالی احتمال بنظر می رسد . و در شرط نرمالیزاسیون زیر صدق می کند.

10. که چگالی ذره در نقطه r1می باشد . و داریم برای یک سیستم همگن ممکن است یک ثابت باشد . تابع توزیع دو ذره تعریف می شود به صورت: که r=r2-r1 می باشد. و تابع توزیع جفت ذره است . و حاصل احتمال یافتن ذره را در عنصر حجم نشان می دهد . با وارد کردن تابع که همانند اندازه گیری درجات بستگی فضایی در یک سیستم است به صورت برای ذرات غیر بر همکنشی . ناحیه ماکروسکوپیک vAدر سیال را در نظر بگیرید و NA تعداد ذرات این ناحیه می باشد . با تعریف یک تابع ریاضی که برای r های درون VAیک و برای rبیرون صفر است. تعداد NAکه در واقع نوسانی است بوسیله معادله زیر داده می شود .

12. معادله قبلی تخمین بستگی بین چگالی انحرافات و وابستگی های فضایی در هر سیستم سیالی است . بکار می رود برای ناحیه VA سیستم داده شده . معادله قبل بدست می دهد رابطه مهم زیر را برای یک گاز ایده آل کلاسیسکی در دمای بالا و چگالی پایین : PV=NKT بنابراین :

13. در این مرحله تذکری را باید بدهیم و آن تخمین ارتباطی است که وجود دارد بین انحرافات چگالی در یک سیال و پراکندگی امواج الکترومغناطیسی بوسیله سیال . این را می دانیم که برای یک زمان طولانی پراکدگی امواج الکترومغناطیسی تماما نتیجه انحرافات چگالی دریک سیال است . در حقیقت اگر انحرافات در مجموع قابل صرفنظر کردن باشد امواج پراکنده شده بوسیله مولکولهای مختلف سیال همدیگر را حذف میکنند به وسیله تداخل وما درنتیجه پراکندگی خالص نداریم. برای امواج نوری شدت پراکنده شده متناسب است با : برای پرتو xازسوی دیگر این تناسب به صورت زیر است : که اینجاs=k-k0بردار اختلاف بین بردارهای موج پراکنده شده و فرودی است .

14. محسن موسوی

15. که این فرمول ما را قادر می کند که بدست آوریم تابع توزیع جفت g(r) را از مقادیر تجربی کمیت i(s). نظريه انيشتين-اسمولوچفسکي در حرکت برونين

16. برای شرح دادن نظریه اصلی انیشتین اجازه دهید مسئله را در یک بعد فرض کنیم. فرض x(t)دلالت دارد بر موقعیت ذره ذره برونین در زمان tو داده ها با نقطه x=0در زمانt=0 منطبق می شوند . برای آسانتر کردن مسئله ما ممکنه فرض کنیم که بر خرد هر مولکول (که بعد از میانگین گیری روی یک زمان رخ می دهد )سبب می شود ذره به یک فاصله (کوچک)L-در حجم ثابت-در هر یک از جهات مثبت یا منفی محور x بپرد.طبیعی به نظر می رسد نسبت امکان و به طور مساوی محتمل باشند اگرچه تا اندازه ای کمتر عادی است ما همچنین ممکنه در نظر بگیریم برخورد متوالی واز این رو پرش های متوالی ذرات برونین متقابلا به هم مربوط نیستند . احتمال اینکه ذره پیدا شود در نقطه xوزمانt حالا همان مقدار احتمال را دارد که که در یک سری متوالی پرشها ذرات می سازند برابر پرش در راستای مثبت محور وبعد در راستای منفی یعنی می سازند ½(n+m) پرش در راستای مثبت و ½(n-m)پرش در راستای منفی . احتمال میل کردن داده می شود بوسیله توصیف: که از آن نتیجه می شود : بنابراین برای برای ذرات جایگزینی خالص داریم: بنابر این ریشه مربع میانگین جابجایی ذرات متناسب است با ریشه دوم در زمان مقتضی شده:

17. اگر مراحل پشت سر هم به هم مرتبط باشند (یا همچنین اگر حرکت کاملا مکانیکی و قابل پیش بینی و قابل معکوس شدن باشند )از این رو باید متناسب با t1باشد. راه اسملوچوسکی برای مسئله حرکت برونین که به نظر می رسید در 1906اساسا همان راه انیشتین بود . اما در پردازش ریاضی متفاوت بود. اسملوچوسکی تابع احتمال داخل کرد که دلالت داشت بر احتمال اینکه در یک مجموعه از nمرحله ذرات برونین ابتدا در نقطهx=0در نقطه xپیدا شوند. (5) به علاوه رخ دادن ذره در راست یا چپ در یک مرحله تنها احتمالی به طور مساوی دارد: (6) معادله (5)به عنوان معادله اسملوچوسکی شناخته شده است . برای حل آن ما تابع مولد معرفی می کنیم: که از آن نتیجه می شود :

18. با جایگذاری (6)در (5) بدست می آوریم: (10) با ضرب رابطه (10) در وجمع روی همه مقادیر xبدست می آوریم رابطه برگشتی: که از آن نتیجه می شود : با مقایسه آن با رابطه (8)ما بدست می آوریم:

19. با همسان ساختن x-x0بدست می آوریم که این نتیجه به طور کلی با نتیجه پیشین در رابطه(1) موافق است .بنا براین نتایج بدست آمده از راه اسملوچوسکی با نتایج بدست آمده از راه انیشتین یکسان خواهد بود . برای بدست آوردن حالت مجانبی تابع احتمال Pn(m) از فرمول تقریب اسنرلینگ استفاده می کنیم . برای نمایان شدن فاکتوریل ها در توصیف (1)با استفاده از تقریب بالا داریم: برایm<<n(که در حالت کلی درست است زیرا هنگامی کهn>>1 )ما بدست می آوریم: که با رابطه(2) سازگار است .با گرفتن xبه صورت متغیر پیوسته (و به یاد داریم که Pn(m)=0برای هر کدام از مقادیر زوج mیا مقادیر فرد mیعنی در توزیع (14) )می توانیم این نتیجه را در شکل گوسی بنویسیم: (15)

20. که بعدها کشف می کنیم که کمیت معرفی شده D شبیه ضریب انتشار (ماکروسکوپیک)سیستم داده شده است .معادله (16) ربط Dرا با کمیتهای میکروسکوپیک Lو را نشان می هد . ما نشان می دهیم چگالی تعداد ذرات برونین در سیال را با n(r,t)و چگالی جریان را با j(r,t)سپس طبق قانون فیک داریم: ( 17) که Dضریب انتشار سیستم را بر عهده دارد . ما همچنین معادله پیوستگی را به صورت زیر داریم: (18) با جایگذاری( 17)در (18)معادله انتشار بد ست می آید :

21. از حلهای مختلف ممکن این معادته آن چیزی که به مسئله ما ربط دارد : (20) این هست یک حل متقارن کروی و به صورت زیر متقارن می شود: (21) Nتعداد کل ذرات برونین غوطه ور در سیال است . یک مقایسه از رابطه (20)(سه بعدی)با رابطه(15)(یک بعدی)با وضوح بیشتری رابطه بین مسئله راه رفتن تصادفی در یک طرف و پدیده اتشار در طرف دیگر را آشکار می سازد . میانگین کمیت های فیزیکی مختلف بدست آمده در اینجا در واقع میانگین های آنسامبلی خواهد بود. که باید با میانگین کمیت -های مشابه بدست آمده از قبل توافق داشته باشند . حال به سبب تابع توزیع (20) بدست می آوریم : (22) که در توافق کامل با نتایج قبلی است: (23)

22. ما علاقه داريم که اينجا نتايج يک مشاهده واقعي روي حرکت برونين يک ذره کروي را نشان دهيم . مشاهده شده بود که مقادير 403تا از جابه جاييهاي خالص ذره بعد از فاصله هاي 2 ثانيه اي متوالي به صورت زير توزيع شده است . مقدار ميانگين مربع جابه جايي به نظر مي رسد که باشد: که اطلاعات تجربي ما با منخني تئوري نطابق نسبتا خوبي درد . ما همچنين مي توانيم يک مقدار تجربي براي ضريب انتشار سيستم بگيريم که بدست مي آ وريم:

23. فرآیند اتشار که بوضوح غیر قابل بر گشت پذیری است یک تصویر نسبتا خوب از رفتار آماری تک ذره به ما می دهد . مشخصه بر گشت ناپذیری پدیده سرانجام از نیروهای تصادفی و نوسانی اعمال شده بوسیله مولکولهای سیال روی ذرات برونین ناشی می شود. که منجر به دیگر تئوری سازمان یافته و امیدوار کننده حرکت ذرات برونین یعنی نظریه لانگوین می شود . تئوری لان‍‍‍‍ژوین در مورد حرکت برونین ما ساده ترین حالت یک ذره برونین آزاد را در نظر می گیریم که با یک سیال در محیط احاطه شده است. ذره آزاد فرض می شود طوری که هیچ نیرویی جز نیروی ناشی از بمباران مولکولی روی ان عمل نمی کند. معادله حرکت ذره می شود : (1) کهMجرم ذره و v(t)سرعت ذره و نیروی اعمال شده به ذره سبب برخوردهای پی در پی از مولکولهای سیال. لانگوین پیشنهاد داد که می تواند نوشته شود از مجموع دو قسمت: 1)یک قسمت میانگین خارجی که مقاومت ناشی از غلظت نشان رامی دهد –v/Bکه از طرف ذره احساس می شود 2)سهم نوسانی سریع F(t)که روی فواصل طولانی زمان (در مقایصه با زمان مشخصه )که میانگین خروجی آن صفر است . بنابراین : (2)

24. با گرفتن متوسط آنسامبلی از معادله (2)داریم: (3) که از آنجا معادله زیر ناشی می شود: (4) بنابراین معادله فوق سرعت سوق واپاشی های ذره در یک نرخ معین با زمان واهلش تا مقدار نهایی صفر را می دهد . با تقسیم معادله (2) بر جرم ذره ما یک شتاب لحظه ای بد ست می آوریم : (5) ما ضرب اسکالری از معادله (5) با مکان لحظه ای rذره تشکیل می دهیم و میانگین آنسامبلی روی ضرب انجام شده می گیریم. با استفاده از این دادها:

25. ما بدست می آوریم: (6) اگر ذره برونین به یک تعادل گرمایی با مولکولهای سیال برسد کمیت در این معادله می تواند جایگزین شود با 3KT/M.با انتگرال گیری از معادله (6)داریم: (7) که ثابتهای انتگرال چنان انتخاب شده اند که در t=0مقدار و مشتق زمانی اول آن صفر شوند. که برای (8) که شامل معادلات برگشت پذیر حرکت نیتون است.که بر آن اساس به سادگی داریم: r=vt (9) و اگر سپس: (10)

26. که به طور اساسی شبیه نتیجه انیشتین_ اسملوچوسکی می باشد . به طور اتفاقی ما اینجا یک چیز ساده اما مهم بدست آوردیم تناسب بین ضریب انتشار Dو ضریب پراکنش B : (11) در اینجا اگر ما در نظر بگیریم یک ذره با بار eو جرمM در حال حرکت در یک محیط چسبنده تحت تاثیر میدان الکتریکی خارجی به شدت Eسپس حرکت ذره مشخص خواهدشد با معادله : (12) مقایسه کنید با معادله (3). پایانه سرعت سوق ذره با بسطE داده می شود که موجب می شود تا شخص(eB) را به عنوان Mobility سیستم معرفی کند . و آن را با علامت نشان دهد . در نتیجه شخص بد ست می آورد به جای :(11) (13) که در واقع همان معادله ابتدایی انیشتین است گاهی اوقات همچنین به آن به عنوان رابطه Nernstاشاره می شود . ما یک تاثیر مستقیم از نوسانات سریع جمله A(t)را احساس نمی کنیم که در معادله حرکت ذره برونین (5)نمایش داده شده است . اجازه دهید برآورد کنیم کمیت که در تجزیه تحلیل قبلی فرض شده بود به مقدار حدی خودش یعنی 3KT/Mرسیده است . برای این منظور ما جایگزین می کنیم متغیر tرا در معادله(5) با uبا ضرب کردن هر دو طرف معادله در ومرتب کردن و انتگرال گیری بین حدود u=0 وu=t بدست می آوریم :

27. (14) بنابراین سرعت سوق ذره v(t)که یک تابع نوسانی از زمان است البته از آنجایی که<A(t)>=0برای همه uها سرعت سوق میانگین تنها با جمله اول به صورت زیر داده می شود : (15) که هست همانند نتیجه قبلی (4) . از طرف دیگر شرایط خیلی متفاوتند اگر ما در نظر بگیریم در عوض سرعت مربع میانگین را <v 2(t)> را از (4) بدست می آوریم: (16) جمله دوم در سمت راست این معادله به صورت بدیهی صفر است چرا که <A(u)>برای همه u ها صفر است. در جمله سوم ما کمیت مهم <A(u1). A(u2)>داریم که بک اندازه از ”همبستگی آماری بین مقادیر نوسانات متغیر Aدر زمان u1و مقدار آن در زمان 2u“با تابع خود هم بستگی متغیر Aو با علامت یا به طور ساده تر با نشان می دهیم . قبل از ادامه دادن با معادله (16) بهتر است که برخی از خصوصیات مهم تابع

28. را بیان کنیم . 1)در یک آنسامبل ایستا (به این معنی که یک آنسامبل در رفتار ماکروسکوپیک نسبت به زمان تغیر نکند .) تابع تنها روی فاصله زمانی u2-u1وابسته است این فاصله را با sنمایش می دهیم . داریم: (17) 2)کمیت K(0)که به طور بدیهی مساوی مقدار مربع میانگین Aدر زمان u1می باشد باید مثبت باشد و در آنسامبل ایستا ثابت و مستقل از u1 می باشد . (18) 3)برای هر مقدار sمقدار تابع K (s) نمی تواند بیشتر از مقدار K(0) باشد تابع K (s) نمی تواند فراتر از حد +K(0)و - K(0) برود در نتیجه ما باید داشته باشیم:

29. 4)تابع k(s) حول مقدار s=0متقارن است: 5)اگر s در مقایسه با زمان بزرگتر باشد مقادیر A(u1) و A(u1+s)

31. ساعی

32. نزديك شدن به تعادل :معادله فوكر پلانك در تحليلمان ازحركت برانيون رفتار متغير ديناميكي از قبيل r(t) وv(t) ذره برانيون را از ديدگاه نوسانات اماري مقدار متغير را در نظر گرفته ايم.براي تعيين ميانگين رفتار اين چنين متغيري ما يك انسامبل ذرات برانيون شناور در محيط مشابه كه دستخوش پخش شدن هستنددر نظر مي گيريم رفتار در طول اين اين مسيرها در انتهاي بخش 3.13 اجرا شده است.ومهم ترين تيجه ان ازمايش در معادله 2.3.13 خلاصه شده است .براي تابع دانسيته n(r) در معادله 22.3.13 براي ميانگين مربع جابجايي يك شيوه كلي تر نگاه به حالتي است كه در آن يك توزيع اختياري تعيين شده ذرات برانيون به تعادل گرمايي نزديك مي شود كه توسط معادله اي كه به اصطلاح معادله اصلي ناميده شده فراهم شده است.يك نسخه ساده شده كه از معادله فوكر پلانك گرفته شده است.براي توضيح ما جابجايي x(t)مجموعه معين ذرات در امتداد محور xدر هر زمان tرا امتحان مي كنيم احتمال جابجايي يك ذره درانسامبل بين f(x,t)dx: ,x+dx : ∫f(x,t)dx=1 با اعمال شرط بهنجارش بر روي تابع معادله اصلي به صورت زير بيان مي شود:

33. احتمال جابجايي ذره از x به مكان كه نشان دهنده زيان خالص است: احتمال جابجايي ذره از مكان به در زمان كه نشاندهنده سود خالص است : تحت شرايط تخميني معيني (معادلاتي شامل سرعت و ممنتوم ) رابطه به شكل ساده زير نوشته مي شود : (3) كه زمان استراحت است كه زماني است كه در ان نوسانات در سيستم تمايل دارند به حالت تعادل برگردند در مطالعه حركت برانيون براساس معادله 2 مي توانيم فرض كنيم كه ان تنها انتقا لي در همسايگي است كه احتمال اتفاق در ان محسوس است به عبارتي تابع احتمال انتقا ل در به تندي به بالاترين مقدارش مي رسد و سريعا" در نقاط ديگر به صفر مي رسد بازه را با نماد نشان مي دهيم در نتيجه می توانیم بنویبسیم :

34. با بسط معادله 2 در اطراف وبا چشمپوشي از مراتب بالاتر از دو داریم : (5) (6) (7) معادله 5 به معادله فوكر پلانك شامل يك مكان كلاسيكي معروف است كه در ميدان نوسانات و حركت برانيون قرار دارد حال يك سيستم ويژه ذرات برانيون (با جرم ناچيز)را در نظر مي گيريم هر ذره آن توسط نيروي بازگرداننده (الاستيك) خطي عمل مي شود وداراي يك حركت B در اطراف ميانگين است نيروي ميانگين است نيروي ميانگين و يسكوز سپس بايستي توسط نيروي بازگرداننده خطي متعادل شود در نتيجه :

35. سپس با مشاهده معادله (13.4.10) داريم : (10) از جمع 9و10در معادله فوكر پلانك بدست مي اوريم : (11) اگر اين معادله در انسامبل ذرات برانيون بكار ببريم در مرحله اولx=x0 متمركز شده است در اين متن ما متوجه مي شويم كه در نبود نيروي باز گرداننده معادله 11 به يك معادله پخشيدگي يك ديمانسيوني تبديل مي شود (12)

36. كه با نتايج اوليه (13.3.19) و13.4.11)) مطابقت دارد مشتق كنوني نشان مي دهد كه فرايند پخشيدگي نه كمتر و نه بيشتر از (پيمودن تصادفي )در روي سطح مولكولي است در مشاهده حل(13.3.20) داریم : آخرين نتيجه اشاره مي كند اشاره مي كند كه ميانگين مربع فاصله كه توسط ذرات عبور داده شده با زمان بطور خطي بدون هيچ محدوديتي بر روي مقدارش افزايش مي يابد . نيروي بازگرداننده از طرف ديگر يك وقفه در تمايل پخشيدگي ذرات قرار مي دهد براي نمونه در حضور نيروي باز گرداننده و (برای )توزيع محدود توسط معادله زير تعيين شده است از اين رو به دنبال مي ايد (15) (16)

37. (17) اخرين نتيجه با اين حقيقت كه مقدار ميانگين مربع x بايستي نهايتا با تئوري ؟ مطابقت دارد .مشاهده از ديدگاه مكانيك اماري تعادل اگر ما ذرات برانيون را با انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل در بگيريم زماني كه به طورسست در محيط گرمايي در دماي پس ما بدرستي مي توانيم بنويسيم با انتگرالگيري روي همه مقاديرممكن px عبارت ذكر شده دقيقا به تابع توزيع 16))منتهي مي شود راه حل عمومي معادله(11) مربوط به آنسامبل تحت ملاحظه توسط معادله زير داده مي شود : (19)

38. در ما موقعيت پخشيدگي خالص بدست مي اوريم هما نطوريكه در معادلات13و14 تشريح شده است وبراي به شرايط حدي همانطوريكه در معادلات 16و17 تشريح شده است نزديك مي شويم شكل13.5 نشان مي دهد كه حالتي كه درآن يك انسمبال ذرات برانيون تحت نفوذ تركيبي از نيروهاي باز گرداننده و بمباران مولكولي به حالت تعادل نزديك مي شود شکل 13.5تابع انتشا ر 13.5.19 در زمانهای t=0و و

39. به نام خدا

40. لشکربلوکی

41. تجزیه طیفی نوسان قضیه wiener-khintchine دو الگوی نوسانی زیر را در نظر می گیریم. پیش بینی پذیری در الگوی اول به علت هموارتربودن خیلی بیشتر است.

42. تجزیه فوریه دوجنبه از یک فرآیند نوسانی:زمان بستگی و فرکانس طیف آن مطالعه این ارتباطات یک تجزیه فوریه را می طلبد. برای طرح تجزیه فوریه فرض می کنیم: که معروف به متغیر آماری ایستا است.

43. مثالی از متغیر آماری ایستا: سرعت یک ذره براونی در زمان t یعنی:v(t) اگر متغیر y(t) تناوبی اکید بود با زمان تناوبT=1/f y رابراساس فرکانسهای می نویسیم:

44. ذره براونی شکل حرکت یک ذره براونی دریک ظرف نمودار جابجایی بر حسب زمان یک ذره براونی

45. 2ویژگی این متغیرها: 1-شناخته شده بودن ضرایب a,b 2- عدم قطعیت نداشتن فرکانس طیف متغیر y(t) اگر تا حدودی این متغیر رندوم باشد. (آماری شدن ضرایب(a,b برای به کار بردن مفهوم متناوب برای این متغیر: که معادله 3 تبدیل می شود به:

46. دو روش برای پیدا کردن : (میانگین ) 1-گرفتن میانگین زمانی(زمان طولانی) 2-گرفتن میانگین آنسامبلی که ما اینجا می گیریم برای راحتی حال ازمعادله های (4)و(5) میانگین آنسامبلی می گیریم. ونتیجه می گیریم که: وازتوان 2 معادله (2)هم میانگین آنسامبلی می گیریم. یعنی:

47. در دید رندوم از ترکیبهای گوناگون فازها: که معادله (8)یعنی : به صورت زیر نوشته می شود: که دراینجا: (10) یعنی:

48. توان طیفی power spectrum که تابع به عنوان توان طیفی متغیر تعریف شده است. تعین کردن توان طیفی یک متغیر از تابع خودبستگی((auto correlation function همان متغیر:K(s) ابتدا معادله (4)یعنی : و سپس از آن داریم:

49. که ما در این معادله از استفاده کردیم. حال بر روی این انتگرال تغییر متغیر انجام می دهیم. به صورت زیر: که بدست می آید:

50. که بخش دوم این انتگرال با استفاده از معادلات 24تا 25که در بخش4(قضیه langevin) توضیح داده شد که صفر می شود. در آنجا هم همین تغیر متغیر را برای انجام داده بودیم. که می شود: ازمقایسه معادله های 13 با 10: