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九年级数学 ( 上 ) 第二章 一元二次方程

九年级数学 ( 上 ) 第二章 一元二次方程. 1. 花边有多宽 一元二次方程的概念. 1. 回顾与思考. 如图 4-5, 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, 如果 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 (golden section), 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 ,AC 与 AB 的比称为 黄金比. B. A. C. 驶向胜利的彼岸. 你知道黄金比为什么是 0.618 吗 ?.

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九年级数学 ( 上 ) 第二章 一元二次方程

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Presentation Transcript

  1. 九年级数学(上)第二章 一元二次方程 1.花边有多宽 一元二次方程的概念

  2. 1 回顾与思考 • 如图4-5,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. B A C 驶向胜利的彼岸 你知道黄金比为什么是0.618吗? • 其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC.

  3. ☞ 回顾与思考 数学与生活 • 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?

  4. ☞ 回顾与思考 “知识” 知多少 • 你能根据商品的销售利润作出一定决策吗? • 与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实的有效数学模型

  5. ☞ 做一做 花边有多宽 • 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽? • 你怎么解决这个问题？

  6. ☞ 做一做 数学化 挑战自我 • 解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程： （8－2x） （5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 8 x x x （8－2x） 5 18m2 （5－2x） x • 你能化简这个方程吗?

  7. ☞ 做一做 数学化 生活中的数学 • 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ • 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. • 如果设梯子底端滑动X m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m; • 根据题意，可得方程： 1m 6 10m 10m 8m 7m X＋6 xm 6m 72＋(X＋6)2＝102 • 你能化简这个方程吗?

  8. ☞ 想一想 X2 (X＋1)2 (X＋ 2)2 (X＋3)2 (X＋4)2 ＋ ＋ ＝ ＋ 一般化 你能行吗 • 观察下面等式： • １０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ • 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ • 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　　，　　　　，　　　　，　　　　． X＋1 X＋2 X＋3 X＋4 • 根据题意，可得方程： • . • 你能化简这个方程吗?

  9. ☞ 回顾与思考 驶向胜利的彼岸 一元二次方程的概念 • 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： • (8-2x)(５-２x)=18; • 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . • x２+x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ • 即 x2 － 8x － 20＝0. • （ x＋６）２＋７２＝１０２ • 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. • 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有　　　　　　的　　　　 ，并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 一个未知数x 整式方程 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) • 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．

  10. ☞ 探索思考 y2 － 2 (3)2x2－ －1 ＝0 (4) ＝0 1 － 3x “行家”看“门道” • 下列方程哪些是一元二次方程? • (1)7x2－6x＝0 • (2)2x2－5xy＋6y＝0 • (5)x2＋2x－3＝1＋x2 • 解: (1)、 (4)

  11. ☞ 想一想: 内涵与外延 ≠3 • 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 　　　时，是一元二次方程． • 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．,当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1

  12. 随堂练习P44 数学化 培养能力之源泉 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程： 2尺 (x－4) (x－2) x x－2 (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 x－4 4尺 x2－12 x ＋20 ＝ 0 即

  13. 想一想P44 培养能力之阵地 ２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36 ＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 ＋ 36 － 32 5 36 常数项为 . － 32 二次项系数为 ， 5 一次项系数为 ，

  14. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系 你准备如何去求方程中的未知数呢? 小结 拓展 回味无穷

  15. 独立 作业 知识的升华 1、P47习题2.1 1,2题; 祝你成功！

  16. 独立 作业 知识的升华 • １．根据题意，列出方程： • （１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ • 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x • (x＋5) (x＋2) ＝54 x 54m2 • 即 X＋2 2 • x2 ＋ 7x－44 ＝0 X＋5

  17. 独立 作业 知识的升华 • （２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？ • 解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程： x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242. 即 x2 ＋2x－8 0＝0.

  18. 独立 作业 知识的升华 • 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 3x2－5x＋1＝0 3 －5 ＋1 3 －5 1 1 x2 ＋ x－8＝0 －8 1 1 －8 ＋1 －7x2 ＋4＝0 －7 0 4 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7 0 4 或7x2 － 4＝0 7 0 － 4

  19. 下课了! 再 见 结束寄语 • 运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想. • 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.

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