Теория пластин

1. Теория пластин Уравнения равновесия гибкой пластины Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок

2. Уравнения равновесия гибкой пластины Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пластины (рис.1). Рис.1. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины

3. Уравнения равновесия гибкой пластины Проекция сил на ось x : (1) (2) Проекция сил на ось y : (3) Проекция сил на ось z (рис. 2.):

4. Уравнения равновесия гибкой пластины Рис.2.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой пластины

5. Уравнения равновесия гибкой пластины Проекция сил на ось z, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка малости и сокращая dxdy, получим (4) или с учётом (2) и (3) (5)

6. Уравнения равновесия гибкой пластины Уравнения равновесия для моментов относительно осей x,y полностью совпадают с уравнениями тонкой пластины: (6) используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения(5) (7) Соотношения (2), (3) и (7) образуют систему уравнений равновесия пластины.

7. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно подставить в систему (2), (3) и (7) соответствующие выражения для внутренних силовых факторов Mx,My,Mxy,Nx,Ny,Sxy. Используем функцию напряжений Ф(x,y), определив её как , , (8) при этом уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (7) преобразуется к виду (9) где (10)

8. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями w,Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности деформаций на серединной поверхности (11) С другой стороны, тензор мембранных деформаций связан с тензором мембранных напряжений соотношениями (12) где C٭ij – компоненты тензора податливости.

9. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Учитывая обозначения(13) через функцию напряжения Ф (14) Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций (15)

10. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Сопоставляя (11) и (15), получим уравнение совместности деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов (16) Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных (9) и (16) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнениеКармана).

11. Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные нагрузки q , p – составляющие соответственно нормальная и действующая в плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб, геометрические соотношения – соотношения Коши. В этом случае система уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в которых исключены нелинейные члены (17) из которых первое - техническая теория изгиба, второе - плоская задача теории упругости.