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Th or me de Perron-Frobenius

Un exemple en TES pour commencer. Un individu vit dans un lieu o? il est susceptible de contracter une maladie. Il peut ?tre dans l'un des trois ?tats suivants: I:immunis? M:malade S:ni malade, ni immunis? On sait que d'un mois ? l'autre, son ?tat peut changer selon la r?gle suivante:

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Th or me de Perron-Frobenius

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Presentation Transcript

    1. Théorème de Perron-Frobenius Application aux chaînes de Markov

    2. Un exemple en TES pour commencer

    3. Comment un élève de TES traite-t-il le problème ?

    4. Modifions les probabilités de l’énoncé

    5. Et plus tard…

    6. Un autre exemple

    7. Vérification

    8. Vérification

    9. Conclusion

    10. Quelques remarques L’existence et l’unicité d’une probabilité invariante uM = u ne garantissent pas la convergence du système. La vitesse de convergence est très variable et ne dépend pas de l’allure du graphe mais des probabilités de transition.

    11. Un peu de vocabulaire

    12. Un peu de vocabulaire

    13. Un peu de vocabulaire

    14. Théorème de Perron-Frobenius

    15. Théorème de Perron-Frobenius

    16. Théorème de Perron-Frobenius

    17. Conséquences : application aux matrices de transition (stochastique)

    18. Conséquences : application aux matrices de transition (stochastique) Cas particulier de la méthode des puissances pour déterminer un vecteur propre de la valeur propre dominante.Cas particulier de la méthode des puissances pour déterminer un vecteur propre de la valeur propre dominante.

    19. Revenons à nos exemples On constate que nous ne pouvons pas appliquer ce théorème à nos exemples, car nos matrices ont au moins un coefficient nul.

    20. Amélioration du théorème de Perron Les conclusions du théorème de Perron, restent vraies lorsque l’on suppose M à coefficients positifs et qu’il existe une puissance de M qui soit à coefficients strictement positifs.

    21. Application à nos exemples

    22. Application à nos exemples (2)

    23. Application à nos exemples (3)

    24. Matrice ergodique

    25. Reprenons nos exemples

    26. Sommet apériodique

    27. Période d’un graphe fortement connexe

    28. Critère d’ergodicité

    29. Un critère simple

    30. Remarque complémentaire

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