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第二章 特殊三角形 综合练习

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第二章 特殊三角形 综合练习. ( 一 ). Hqez wjl321 制作. ( 一 ). 等腰三角形的性质与判定 1. 性质 (1) :等腰三角形的两个底角相等。 (2) :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 判定 定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形 :

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第二章 特殊三角形

综合练习

(一)

Hqez wjl321 制作

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(一)

等腰三角形的性质与判定

1.性质(1):等腰三角形的两个底角相等。(2):等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形:

1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3 , 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

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等腰三角形性质与判定的应用(1)计算角的度数  利用等腰三角形的性质,结合三角形内角和定理及推论计算角的度数,是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数,求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形(此时往往设法用未知数表示图中的角,从中得到含这些未知数的方程或方程组)(2)证明线段或角相等等腰三角形性质与判定的应用(1)计算角的度数  利用等腰三角形的性质,结合三角形内角和定理及推论计算角的度数,是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数,求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形(此时往往设法用未知数表示图中的角,从中得到含这些未知数的方程或方程组)(2)证明线段或角相等
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以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
  • 如图:若AB=AC
  • ①作AD⊥BC于D,必有结论:∠1=∠2,BD=DC
  • ②若BD=DC,连结AD,必有结论:∠1=∠2,AD⊥BC
  • ③作AD平分∠BAC必有结论:AD⊥BC,BD=DC
  • 作辅助线时,一定要作满足其中一个性质的辅助线,然后证出其它两个性质,不能这样作:作AD⊥BC,使∠1=∠2.
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例题分析

分析:我们首先在草稿上画好一个示意图,然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……

  • 例1 已知一腰和底边上的高,求作等腰三角形。

已知:线段a、h

求作:△ABC,使AB=AC=a,高AD=h

作法:

1、作PQ⊥MN,垂足为D

2、在DM上截取DA=h

3、以点A为圆心,以a为半径作弧,交PQ于点B、C

4、连结AB、AC

则△ABC为所求的三角形。

2 abc ab ac bd ac d ce ab e bd ce m bm cm

例题分析

例2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。求证:BM=CM。例2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。求证:BM=CM。
  • 证明:∵AB=AC
  • ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
  • ∴BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
  • ∴∠BEC=∠CDB=90°
  • ∴∠1+∠ACB=90°,∠2+∠ABC=90°(直角三角形两个锐角互余)
  • ∴∠1=∠2(等角的余角相等)
  • ∴BM=CM(等角对等边)

说明:本题易习惯性地用全等来证明,虽然也可以证明,但过程较复杂,应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。

3 a 90 b 15 bd dc ac bd

例题分析

例3.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC.请说明AC=BD的理由.例3.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC.请说明AC=BD的理由.
  • 解∵BD=DC,∠B=15°
  • ∴∠DCB=∠B=15°(等角对等边)
  • ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
  • (三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和)
  • ∵∠A=90°
  • ∴AC= DC
  • ∴AC= BD
4 c 90 bc ac d e bc ac bd ce m ab mde

例题分析

例4.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点.求证:△MDE是等腰三角形.例4.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中点.求证:△MDE是等腰三角形.
  • 分析:要证△MDE是等腰三角形,只需证MD=ME。连结CM,可利用△BMD≌△CME得到结果。

证明:连结CM

∵∠C=90°,BC=AC

∴∠A=∠B=45°

∵M是AB的中点

∴CM平分∠BCA(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合)

∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°

∴∠B=∠MCE=∠MCB

∴CM=MB(等角对等边)

在△BDE和△CEM中

∴△BDM≌△CEM(SAS)

∴MD=ME

∴△MDE是等腰三角形

5 abc af bd ce def

例题分析

例5.如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE,请说明△DEF也是等边三角形的理由.例5.如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE,请说明△DEF也是等边三角形的理由.
  • 解:∵△ABC是等边三角形
  • ∴AC=BC,∠A=∠C
  • ∵CE=BD
  • ∴BC-BC=AC-CE
  • ∴CD=AE
  • 在△AEF和△CDE中
  • ∴△AEF≌△CDE(SAS)
  • ∴EF=DE
  • 同理可证EF=DF
  • ∴EF=DE=DF
  • ∴△DEF是等边三角形

说明:证明等边三角形有三种思路:

①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。

具体问题中可利用不同的方式进行求解。

6 2 8 1 ab ac d ab e ac bd ce de bc g dg eg

例题分析

 例6 .如图2-8-1,中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于G请说明DG=EG的理由.
  • 思路 因为△GDB和△GEC不全等,所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。

说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等,故要构造三角形的全等,本题的另一种证法是过E作EF∥BD,交BC的延长线于F,证明△DBG≌△EFG,同学们不妨试一试。

7 2 8 6 abc ab ac cb ae cd ad be p bq ad q bp 2pq

例题分析

例7. 如图2-8-6,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD, AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.
  • 思路在Rt△BPQ中,本题的结论等价于证明∠PBQ=30°

 证明 ∵AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°,AE=CD,

  ∴△BAE≌△ACD

  ∴∠ABE=∠CAD

  ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP

=∠CAD+∠BAP=60°

  又∵BQ⊥AD

  ∴∠PBQ=30°

  ∴BP=2PQ

说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数,这种转换问题的方法值得同学们细心体会。

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例题分析

例8:如图、在△ABC中,D,E在

直线BC上,且AB=BC=AC=CE=BD,

求∠EAC的度数。

探索:如图、在△ABC中,D,E

在直线BC上,且AB=AC=CE=BD,

∠DAE=100°,求∠EAC的度数。

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练习

  • 1.下列结论叙述正确的个数为( )
  • ( 1)等腰三角形高、中 线、角平分线重合;
  • ( 2)等腰三角形两底角 的外角相等; 
  • ( 3)等腰三角形有且只有一条对称轴;
  • ( 4)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
  • (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
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2.等腰三角形顶角为36°,底角为_________。

3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°,则顶角度数为_____________。

4.等腰三角形两个角之比为4:1,则顶角为__________,底角为___________。

5.等腰三角形两边长为4、6,这个三角形周长为_____________。

6.已知△ABC中AB=AC,AB垂直平分线交AC于E,交AB于D,连结BE,若∠A=50°,∠EBC=__________。

7.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC的周长为50,△ABD的周长为40,则AD=____________。

8.若等腰三角形顶角为n度,则腰上的高与底边的夹角为_____________。

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9. 如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?9. 如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?

150°

a

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9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:1两部分,已知三角形底边长为5,求腰长?

解:如图,令CD=x,则AD=x,AB=2x

x

2x

∵底边BC=5

x

∴BC+CD=5+x

AB+AD=3x

5

∴(5+x):3x=2:1

 或3x:(5+x)=2:1

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A

解:∵ △ABC是正三角形

∴ ∠ABC= ∠ACB=600

( )

∵D是AC边上的中点

∴∠1= ∠ABC=300( )

D

B C E

10、如图,D是正△ABC边AC上的中点,E是BC延长线上一点,且CE=CD,诬蔑说明BD=DE的理由.

2

1

∵CE=CD

∴∠2= ∠E( )

∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600( )

∴ ∠E=300, ∴ ∠1= ∠E

∴BD=DE( )

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B

E

D

A

C

3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠CAB的平分线AD交BC于D,AB边上的高线CE交AB于E,交AD于F,求证:CD=CF

分析:

CD=CF

∠1=∠2

∠1=∠B+∠BAD

∠1=90°-∠BAD

F

1

∠2=90°-∠CAD

∠2=∠3+∠DAC

2

3

∠3=∠B

∠ACB =90°,CE是AC边上高

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小结
  • 1、等腰三角形的有关概念。
  • 2、等腰三角形的识别。
  • 3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。
  • 4、通过习题,能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。
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布置作业

  • 课本第51页(目标与评定)
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