1 / 37

CHƯƠNG I PHEÙP TÍNH VI PHAÂN HAØM NHIEÀU BIEÁN

CHƯƠNG I PHEÙP TÍNH VI PHAÂN HAØM NHIEÀU BIEÁN. NOÄI DUNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. I- GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC CUÛA HAØM HAI BIEÁN. II - ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM HAI BIEÁN.

herb
Download Presentation

CHƯƠNG I PHEÙP TÍNH VI PHAÂN HAØM NHIEÀU BIEÁN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CHƯƠNG I PHEÙP TÍNH VI PHAÂN HAØM NHIEÀU BIEÁN

  2. NOÄI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I- GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC CUÛA HAØM HAI BIEÁN II - ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM HAI BIEÁN III- CÖÏC TRÒ VAØ CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN IV- TÌM MIN – MAX CUÛA HAØM HAI BIEÁN TREÂN MOÄT MIEÀN ÑOÙNG

  3. GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC CUÛA HAØM HAI BIEÁNCAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN--------------------------------------------------------------------------------------------------- Haøm 2 bieán soá xaùc ñònh treân D • D – mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f • x, y – caùc bieán ñoäc laäp • z – giaù trò cuûa haøm f taïi ñieåm (x, y). VD:

  4. VD:Haøm số xaùc định treân toaøn bộ mặt phẳng Oxy hay treân MXÑ VAØ MGT CUÛA HAØM HAI BIEÁN-------------------------------------------------------------------- Mieàn xaùc đònh cuûa haøm z laø taäp hôïp caùc caëp (x, y) laøm cho bieåu thöùc f(x, y) coù nghóa. coù miền xaùc định VD: Haøm soá

  5. GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM HAI BIEÁN-------------------------------------------------------------------- Daõy ñieåm Mn(xn, yn) daàn ñeán ñieåm M0(x0, y0) trong R2, kyù hieäu M  M0hay (xn, yn)  (x0, y0) khi n , neáu Daõy điểm {Mn(xn, yn)} hội tụ đến điểm M0(x0, y0) khi vaø chỉ khi Giôùi haïn cuûa daõy ñieåm Ñònh lyù

  6. VD: Tìm giôùi haïn cuûa daõy ñieåm Ta coù : . Vậy

  7. ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM NHIEÀU BIEÁN ÑAÏO HAØM RIEÂNG-------------------------------------------------------------------- Đaïo haøm rieâng caáp 1 Cho haøm soá f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn D chöùa ñieåm M0(x0, y0). Neáu haøm soá 1 bieán f(x0, y0)(y0 coá ñònh) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = x0 thì ta goïi ñoù laø ñaïo haøm rieâng theo bieán x cuûa haøm f(x, y) taïi ñieåm (x0, y0). KH: Vaäy

  8. ÑAÏO HAØM RIEÂNG-------------------------------------------------------------------- Đaïo haøm rieâng caáp 1 Töông töï ta cuõng coù ñaïo haøm rieâng theo bieán y KH: Vaäy

  9. ÑAÏO HAØM RIEÂNG-------------------------------------------------------------------- Đaïohaømrieângcaápcao:Caùchaømsoáfx, fycoùcaùcñaïohaømrieâng (fx)x, (fx)y, (fy)y, (fy)xñöôïcgoïilaøñaïohaømrieângcaáp 2cuûahaøm f. Kyù hieäu:

  10. Ñònh lyù: (Schwarz) • Neáu haøm soá f(x, y) coù caùc ñaïo haøm rieâng fxy vaø fyx lieân tuïc trong mieàn D thì fxy = fyx. VD: Tính caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm soá VD: Tính caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm soá Caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm n bieán vaø ñaïo haøm rieâng caáp cao hôn ñöôïc ñònh nghóa töông töï.

  11. VI PHAÂN -------------------------------------------------------------------- Vi phaân caáp 1 • Cho haøm soá f(x, y) xaùc ñònh trong D  R2 vaø M0(x0, y0) D, M0(x0+x, y0+ y) D. Neáu soá gia • f (x0, y0) = f (x0+ x, y0+ y) - f (x0, y0) • Coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: • f(x0, y0) = A.x + B.y + ax + by, • trong ñoù A, B laø nhöõng soá khoâng phuï thuoäc x vaøy. a , b  0 khi (x, y)(0,0) , ta noùi f khaû vi taïi ñieåm M0. • •Bieåu thöùc A.x + B.y - vi phaân caáp 1(toaøn phaàn) cuûa f(x, y) taïi M0(x0, y0) öùng vôùi x vaøy. • Kyù hieäu: df(x0, y0)

  12. Haøm soá f(x, y) khaû vi treân mieàn D neáu f(x, y) khaû vi taïi moïi ñieåm (x, y) thuoäc D. Nhaän xeùt: • Neáu f(x, y) khaû vi taïi M0 f(x, y) lieân tuïc taïi M0. • Töø f(x0, y0) = A.x + B.y + ax + by, ta suy ra: • f (x0+ x, y0) - f (x0, y0)= A.x+ ax Töông töï

  13. VI PHAÂN -------------------------------------------------------------------- Vi phaân toaøn phaàn caáp 1 VD: Tính vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm soá:

  14. VI PHAÂN CAÁP CAO -------------------------------------------------------------------- Vi phaân caáp 2 Vi phaân caáp n

  15. CÖÏC TRÒ VAØ CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN CÖÏC TRÒ -------------------------------------------------------------------- • Haøm soá z = f(x, y) goïi laø ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm M0(x0, y0) neáu vôùi moïi ñieåm M(x, y) thuoäc laân caän cuûa ñieåm M0(x0, y0), ta coù: • Haøm soá z = f(x, y) goïi laø ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm M0(x0, y0) neáu vôùi moïi ñieåm M(x, y) thuoäc laân caän cuûa ñieåm M0(x0, y0), ta coù:

  16. ÑIEÀU KIEÄN CAÀN ÑEÅ HAØM COÙ CÖÏC TRÒ -------------------------------------------------------------------- Chuù yù. Ñieåm M0 thoûa maõn ñöôïc goïi laø ñieåm döøng, coù theå khoâng laø ñieåm cöïc trò cuûa z. Neáu haøm soá z = f(x, y) ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0) vaø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm rieâng thì

  17. ÑIEÀU KIEÄN ÑUÛ ÑEÅ HAØM COÙ CÖÏC TRÒ -------------------------------------------------------------------- Giaû söû ñieåm M0(x0, y0) laø ñieåm döøng cuûa haøm soá. Giaù trò caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 taïi ñieåm M0(x0, y0), kyù hieäu laø: • Neáu  chöa theå keát luaän gì taïi ñieåm M0(x0, y0) coù cöïc trò hay khoâng • Neáu  haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0). • Neáu  HS ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0). Khi ñoù: • Neáu A < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi. • Neáu A > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu.

  18. QUY TAÉC TÌM CÖÏC TRÒ -------------------------------------------------------------------- Böôùc 1. Tìm ñieåm döøng M0(x0; y0) baèng caùch giaûi heä: Böôùc 2. Tính Böôùc 3. + Neáu  > 0 vaø A > 0 HS ñaït cöïc tieåu taïi M0 vaø cöïc tieåu laø f(M0); + Neáu  > 0 vaø A < 0 HS ñaït cöïc ñaïi taïi M0 vaø cöïc tieåu laø f(M0); Böôùc 3. + Neáu  < 0 thì haøm soá khoâng ñaït cöïc trò. + Neáu  = 0 thì khoâng theå keát luaän (trong chương trình haïn cheá loaïi naøy)

  19. CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN -------------------------------------------------------------------- Ta goïi cöïc trò cuûa haøm soá z = f(x, y), trong ñoù caùc bieán soá x vaø y bò raøng buoäc bôûi heä thöùc g(x, y) = b laø cöïc trò coù ñieàu kieän. Phương phaùp khöû Töø phương trình g(x, y) = 0 , ta ruùt x hoaëc y theá vaøo f(x, y) vaø tìm cöïc trò haøm 1 bieán. VD. Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y Vôùi ñieàu kieän x + y + 3 = 0.

  20. CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN -------------------------------------------------------------------- Böôùc 2. Giaûi heä Ñieåm döøng M0(x0; y0) öùng vôùi 0. Phương phaùp nhaân töû Lagrange Böôùc 1. Laäp haøm Lagrange: L(x, y, ) = f (x, y) +[b - g (x, y)] ,  laø nhaân töû Lagrange.

  21. Böôùc 3. Laäp ma traän trong ñoù Ñöôïc tính khi x = x0 ; y = y0 ;  = 0. Tính:

  22. thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi M0(x0, y0) thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi M0(x0, y0) thì haøm khoâng ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0) + Neáu + Neáu + Neáu VD. Tìm cöïc trò cuûa haøm soá vôùi ñieàu kieän

  23. TÌM MIN – MAX CUÛA HAØM HAI BIEÁN TREÂN MOÄT MIEÀN ÑOÙNG -------------------------------------------------------------------- Böôùc 1. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn cuûa haøm hai bieán trong moät mieàn ñoùng D. Böôùc 2. Tính giaù trò cuûa haøm taïi caùc ñieåm tôùi haïn vaø giaù trò treân bieân cuûa mieàn D. Böôùc 3. So saùnh caùc giaù trò aáy vaø tìm GTLN - GTNN

  24. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Chương 2: • Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) Ở đây: xlà biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x)là đạo hàm của nó • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c) 24

  25. Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. • Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị 25

  26. VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 (*) Ta có: Đây là nghiệm tổng quát 26

  27. Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị • Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo . 27

  28. Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng. 3 Các loại phương trình vi phân cấp 1 3.1 Phương trình tách biến • Dạng:f(x)dx + g(y)dy = 0 • Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: 28

  29. VD: Giải phương trình vi phân Ta có: là nghiệm của phương trình. 29

  30. Phương trình dạng: • Nếu chia 2 vế phương trình cho ta được phương trình tách biến: 30

  31. Phương trình dạng (với z=z(x)) Đặt Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x). Ta có: Thay vào phương trình đầu ta được: 31

  32. VD: Tìm nghiệm của phương trình Đặt Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc: ta có: • Trường hợp 32

  33. Trường hợp Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với 33

  34. 3.2 Phương trình đẳng cấp: • Dạng: • Cách giải: Đặt Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được: 34

  35. 3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1 • Dạng: (*) • Nếu thì phương trình được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. thì phương trình • Nếu được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. 35

  36. Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: VD1: Tìm nghiệm của phương trình 36

  37. 3.4 Phương trình Bernouli • Dạng • Cách giải: Đặt sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là ta lại thay Sau khi tìm được vào. VD1: Giải phương trình 37

More Related