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第六章 : 静定结构的位移

第六章 : 静定结构的位移. §6-1 概　述 §6-2 刚体体系的虚功原理及应用 §6-3 结构位移计算的一般公式 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移 §6-5 线性变形体的互等定理. §6-1 概　述. 一、位移概念 　　在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态位置的变化叫作该截面的位移。 　　位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点. 平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移　　　　　　　竖向位移 ２、转角位移（角位移）. 广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。

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第六章 : 静定结构的位移

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  1. 第六章 :静定结构的位移 • §6-1 概　述 • §6-2刚体体系的虚功原理及应用 • §6-3结构位移计算的一般公式 • §6-4 静定结构在荷载作用下的位移 • §6-5线性变形体的互等定理

  2. §6-1 概　述 一、位移概念 　　在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态位置的变化叫作该截面的位移。　　位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点 平面杆件结构的位移：１、线位移：水平位移　　　　　　　竖向位移２、转角位移（角位移）

  3. 广义位移概念：１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。广义位移概念：１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。

  4. 三、位移计算中的基本假定 　位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定： １、应力和应变服从虎克定律（物理线性）； ２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原　尺寸和叠加法计算其位移； ３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。

  5. §6-２　刚体体系的虚功原理及应用 结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。 一、实功 １、常力实功 　实功的力和位移两要素相关。在外力FP作用下，刚体沿力的方向发生位移△` 。 W=FP△= FP△`cosa

  6. 2、静力实功　在静外力FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△11 。静力实功为： W=FP1△11 /2

  7. 二、虚功　　在简支梁上先加载FP1，使力FP1作用点的位移达到终值△11，再加载FP2，使力FP1的作用点发生位移△12，力FP1在位移△12上作的功叫虚功, 即： W12=FP1△12虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式　

  8. 三、刚体的虚功原理及应用１、刚体的虚功原理 在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即　W12＝０。 　利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。因此，虚功原理有两种应用。

  9. 例6-2-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反 力FBy。 分析：梁在荷载作用下其支座反力有静定解，即荷载与支座反力组成满足静力平衡条件的力状态。若再有一个恰当的与支座约束相容的刚体位移状态，就可由虚功原理求支座反力。

  10. （实际）力状态 （虚）位移状态 解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生沿Fby方向的刚体虚位移。２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入W12=0　得虚功方程：FBy△B﹣FP △ P=0由虚位移图的几何关系可知 △P/△B＝a/l 　得:FBy＝ FP a/l (↑)

  11. 说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单起见，可设虚位移△B＝1，则本题求解过程如下 :FBy×1﹣FP dP=0 　即， FBy﹣FP d P=0　 由 d P= a／l 得， FBy＝ FP a／l (↑)这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移法）。

  12. 单位位移法步骤：１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。单位位移法步骤：１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。

  13. ２、静定结构在支座移动时的位移计算 例6-2-2 　图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理求梁Ｃ点的竖向位移DCV。 分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。

  14. 解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力平衡条件求出支座反力　FBy＝ FP a／l (↑) 　显然虚力系是满足静力平衡条件的力状态。 ２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚功方程： FP △CV﹣（FPa／l)b=0　　△CV ＝ab／l (↓)

  15. 说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。同上例一样，本例可设一个虚单位力FP =１， 　　则有　 FBy＝ a／l (↑)　　虚功方程为： 1×△ CV﹣（a／l)b=0　　 △CV＝ab／l (↓) 　这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单位荷载法或单位力法）。

  16. 单位力法步骤： １）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支座反力。 ２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作虚功，建立虚功方程并求解。 ３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相反。

  17. 静定结构在支座移动时的位移计算公式 １）公式推导 　左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截面Ⅰ－Ⅰ方向的位移D。　右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出支座反力。　令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方程：

  18. 1×D+ FAxc1+ FAyc2+ MAc3=0 整理后，得： D = -(FAxc1+ FAvc2+MAc3) 写成一般式： D = -∑FRici (6-2-1) 该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。

  19. 位移计算步骤是： １）虚设单位力系，并求该力系的支座反力； ２）代入计算公式，计算位移。 ３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向。

  20. 例6-2-3　 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角 。 解：１）求DEV位移公式　D = -∑FRici (6-2-1)DEV=-(3/4)a=3a/4(↑) ２）求 = -(-5/2l)a=5a/(2l) ()

  21. §6-3　结构位移计算的一般公式 一、杆件局部（微段）变形时的位移 d D = -(-MCd-FQCd -FNCd) d D = MCd＋FQCd＋FNCd0 图示梁，仅在ＢＣ微段ds上发生变形，其它部分仍保持刚性。若仅考虑CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ截面的内力。代入公式：　　　D = -∑FRici (6-2-1)

  22. 二、变形杆件的位移 D = ∫ d D = ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d) 当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时：D = ∑ ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d) -∑Frici（a） 该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成： １×D ＋∑Frici = ∑ ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d)变形体的虚功原理：　若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即　W=V。

  23. 因为　 d=ds d=ds d=ds 　代入式(a) D=∑∫MCds＋∑∫FQCds＋∑∫FNCds -∑Fric(c)

  24. 对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：　 • =MP/EI =FQP/GA 　 = FNP/EA同时考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位力位置的下标省略，　则式（c）可写：D = ∑∫(MMP/EI) ds ＋∑∫(FQ FQP/GA) ds＋∑∫(FNFNP/EA) ds -∑Fric(6-3-1)

  25. D=∑∫MCds＋∑∫FQCds＋∑∫FNCds -∑Fric(c) • 对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：　 • =MP/EI =FQP/GA 　 = FNP/EA同时考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位力位置的下标省略，　则式（c）可写：D = ∑∫(MMP/EI) ds ＋∑∫(FQ FQP/GA) ds＋∑∫(FNFNP/EA) ds -∑Fric(6-3-1)

  26. §6-4 静定结构在荷载作用下的位移 • 一、各类静定结构的位移计算公式 • １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响 • D = ∑∫(MMP/EI) ds (6-4-1) • ２）桁架：只考虑轴向变形的影响 • D = ∑∫(FN FNP/EA) ds D = ∑FNFNPl/EA (6-4-2) • ３）组合结构： • D = ∑∫(MMP/EI) ds ＋∑∫(FN FNP/EA) ds (6-4-3)４）拱 • = ∑∫(MMP/EI) ds ＋∑∫(FNFNP/EA) ds (6-4-4)

  27. 二、静定梁、刚架的位移计算１、积分法：例6-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移DCH和Ａ、Ｂ两截面的相对转角 。各杆 EI=常数。

  28. 解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别对各杆件写出弯矩函数M、ＭＰ，代入积分公式计算位移。１）求DCHAB杆(0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 M=-x1/2AC杆(0≤ x1≤l/2) MP=0 M=x2DCH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI(→)

  29. ２）求AB杆(0≤x1≤l) MP= M=0AC杆(0≤ x1≤l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M= -1=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()说明： 注意利用D = ∑∫(MMP/EI) ds 时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。

  30. 2、图乘法 １、图乘公式推导 • 一根杆件结构位移公式：D = ∫ (MMP/EI) ds(a)若杆件为等截面直杆: D =( 1/EI) ∫MMPdx =( 1/EI) ∫ydAP =( 1/EI) tan  ∫lxdAP=( 1/EI) xC tan  AP=( 1/EI) yC AP • 整理并考虑杆件结构的应用：D = ∑ AP yC /EI (6-4-5)∫lxdAP =xCAPxC tan  =yC

  31. 图乘公式的应用条件： • １）结构杆件分别为等截面直杆，即EI=常数。 • ２）yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段的另一弯矩图的面积AP及面积形心可求出。 • 例6-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转角位移和跨中点Ｃ截面的竖向位移DCV。EI=常数

  32. 解：１）作MP图，并分别作两拟求位移的M图 ２）由图乘公式求各位移 =(1/EI)（2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI()

  33. DCV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓) 说明： 注意求DCV时的图乘，当取竖标的弯矩图是折线图形时，应分段图乘。

  34. 例6-4-2 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移DCV。 解： DCV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]- [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]+[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}= -ql4/72EI(↑)

  35. 说明：１）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘是应用图乘法必须掌握的基本功。　 ２）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。　３）注意标准抛物线图形的定义。

  36. 图乘法中常用图形及数据： A=hl/2yc=2h/3y1=2a/3+b/3y2=(a+b)/2 y1=2c/3-d/3y2=(c-d)/2 A=2hl/3xc=l/2 A=hl/3xc=3l/4

  37. 例6-4-3 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DDV。各杆EI=常数。 解：DDV= [(51×6/2)(2×3/3)- (20×6/2)(3/3)-(2/3)(10×62×6/8)(3/2)]/EI= 237/EI(↓)

  38. 三、静定桁架的位移计算 位移计算公式：D = ∑FN FNPl/EA (6-4-2) 例6-4-2　求图示桁架Ｄ点的竖向位移DDV和ＣＤ杆的转角 。

  39. 解:１）计算FNP、FN ３）代入公式求位移DDV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓)  = [（-5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()

  40. 说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对平行力，力的值为1/d(d为杆长）。说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对平行力，力的值为1/d(d为杆长）。

  41. §6-5　线性变形体的互等定理 一、功（虚功）互等定理 　第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移上所作的外力虚功。 FP1D12=FP2D21 (6-8-1) 　状态Ⅰ　　　　　　 　　　状态Ⅱ

  42. 证明：　根据变形体的虚功原理，状态Ⅰ的力系在状 　态Ⅱ的位移上所作的虚功应满足 WⅠⅡ=V ⅠⅡ即： FP1D12= ∑∫(M1M2/EI) ds • 　状态Ⅱ的力系在状态Ⅰ的位移上所作的虚功应满足： W ⅡⅠ=V ⅡⅠ 即： FP2D21= ∑∫(M2M1/EI) ds • 　显然有： FP1D12= FP2D21 得证。 • 注意：为简化起见，证明中内力虚功只考虑了弯矩作功一项。

  43. 二、位移互等定理　由FP1=1引起的沿FP2作用点及方向上的位移，等于由FP2=1引起的沿FP1作用点及方向上的位移。即： 　　　　d12=d21(6-8-2) 注意： d12＝D12／FP2叫位移影响系数，是有单位　的量；等号两侧的系数可同是线位移，同是角位　移，也可一个是线位移而另一个是角位移。

  44. 三、反力互等定理 　由于支座1发生位移D1=1引起的沿支座2方向的支座反力，等于由于支座2发生位移D2=1引起的沿支座方向的支座反力。即： r12=r21 (６-８-3)

  45. 　 静定结构的位移计算　小结一、了解结构位移计算依据的虚功原理及杆系结构位移计算一般公式的推导。二、弄清线性变形体位移计算一般公式的物理意义；三、掌握用虚单位力法求各类静定结构的位移，熟练应用图乘法求刚架的位移。

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