Lógica de Predicados

1. Lógica de Predicados Implementação de Resolução

2. Em Lógica de 1ª. Ordem • Resolução não é uma simples extensão da Resolução da Lógica Proposicional • O processo é mais longo e cuidadoso: • Transformar a(s) fórmula(s) para a forma normal Prenex • Skolemizá-la(s) • Transformá-las para CNF • Transformá-las para a forma clausal • Unificá-las durante a resolução • Por outro lado, ao usar a unificação, a resolução torna-se bem mais rápida do que os métodos de Gilmore e Davis-Putnam!

3. Resolução eficiente • Idealmente todas as expansões possíveis devem ser efetuadas • Mas isso é caro computacionalmente! • Então organizemos os passos destas expansões num algoritmo e escolhamos melhor as expansões • Devemos evitar gerar o que já existe, para torná-lo eficiente • Tentar ir o mais rápido possível para {}

4. {[P],[P,Q],[Q, R],[R]} [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] 1,2 [P, R] 2,3 [Q] 3,4 [R] 3,5 [R] 1,6 [P] 4,6 [P] 2,7 {} 5,7 {[P],[P,Q],[Q, R],[R]} [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] 1,2 [Q] 3,4 {} 5,6 Exemplo

5. Rastro da resolução [P] [P,Q] [Q, R] [R] [Q] [P, R] [Q] [R] [R] {} [P] [P]

6. Usos da resolução - decisões • Exemplo • genitor(X,Y) :- pai(X,Y). •  • pai(adam,bill). • pai(bill,carl). • Para provar que adam é genitor de bill • {[genitor(X,Y),pai(X,Y)],[pai(adam,bill)], [pai(bill,carl)], [genitor(adam,bill)]}

7. Usos da resolução - decisões • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [pai(bill,carl)] • [genitor(adam,bill)] • [genitor(adam,bill)] 1,2 • [genitor(bill,carl)] 1,3 • [pai(adam,bill)] 1,4 • {} 4,5 • {} 2,7

8. Usos da resolução - perguntas • Ou Consultas • Quem é o genitor de Bill?? • genitor(X,bill). X??? • Incluir a seguinte cláusula na Base [genitor(X,bill), Resp(X)] • Por quê???

9. Usos da resolução - consultas • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [pai(bill,carl)] • [genitor(X,bill),Resp(X)] • [genitor(adam,bill)] 1,2 • [genitor(bill,carl)] 1,3 • [pai(X,bill),Resp(X)] 1,4 • [Resp(adam)] 4,5 • [Resp(adam)] 2,7 Pára quando achamos a(s) resposta(s)!

10. Sobre consultas • Pode resultar em mais de uma resposta • Se eu disser que • mae(anne,bill) e pai (adam,bill) • E perguntar “quem é genitor de bill?”

11. Usos da resolução - decisões • [genitor(X,Y),pai(X,Y)] • [genitor(X,Y),mae(X,Y)] • [pai(adam,bill)] • [mae(anne,bill)] • [genitor(X,bill),Resp(X)] • [genitor(adam,bill)] 1,3 • [genitor(anne,bill)] 2,4 • [pai(X,bill),Resp(X)] 1,5 • [mae(X,bill),Resp(X)] 2,5 • [Resp(adam)] 3,8 • [Resp(anne)] 4,9

12. Consultas – informação incompleta • Se eu disser que adam ou tom é pai de bill e perguntar quem é pai de bill, o que acontecerá??? • A resposta é adam ou tom: • [pai(adam,bill), pai(tom,bill)] • [pai(X,bill),Resp(X)] • [pai(tom,bill),Resp(adam)] 1,2 • [Resp(adam),Resp(tom)] 2,3

13. Resolução eficiente na prática • Escolher bem os resolventes a cada passo (refinamentos) • Diminuir o espaço de busca (simplificação) • Todas as estratégias para melhorar o desempenho da resolução passam por atacar estes problemas

14. Estratégias de refinamento • Resolução Linear • Construir uma linha, ao invés de uma árvore de expansões • Usar sempre a cláusula gerada por último • Se pensarmos neste problema como uma busca para um caminho que contém a solução, que tipo de busca é essa??

15. Solução para “Cap. West”

16. Solução por resolução linear

17. Estratégias de refinamento • Estratégia Unitária • Privilegiarcláusulas com um só literal • Como pegamos cláusulas pequenas, há garantia de chegarmos rápido a {} • Porém, não é completa para qualquer conjunto de cláusulas • Mas é completa para cláusulas de Horn • A1 ^...An  A

18. Estratégias de Simplificação • Eliminação de literais puros • Um literal é puro se não existe no conjunto de prova a sua negação • Ex: {[P],[Q],[P,L],[L,Q],[P,Q,R], ,[R]} • L é puro, pois nunca será eliminado por resolução • Então é melhor retirar as cláusulas que o contém do processo de busca da {} • Se é para chegar a {}, podemos partir de {[P],[Q],[P,Q,R], ,[R]}

19. Estratégias de Simplificação • Descarte por englobamento (ou subsunção) • Uma cláusula C1 engloba outra C2 sse existir uma substituição O, tal que C1O  C2 • Se descartamos C2, não estamos perdendo a insatisfatibilidade do conjunto, apenas apressando a chegada de {} • Ex1: P(x)  P(y) v Q(z) • Ex2: A v B v C, A v C, B v C • Resolvendo as 2 últimas, temos AvB, que engloba a 1ª. • Então o conjunto resultante seria A v B, A v C, B v C • Ajuda a resolução unitária

20. E este exemplo por linear? • {[P,Q],[P,Q],[P,Q],[P,Q]} • Claramente insatisfatível!! • Porém IMPOSSÍVEL por linear (e tb por unitária) !! • Qual a vantagem das cláusulas de Horn para casos como este??

21. Resolução e Cláusulas de Horn • É que sempre que aparece um negado (o conseqüente), se ele existir em outra cláusula, ele não estará negado! • A1 ^...An  A é {[A1],...[An],[A]} • Então se existir prova, será fácil encontrá-la • Correto e completo e barato, se existir prova

22. Exemplo em Prolog avo(X,Y) :- genitor(X,Z), genitor(Z,Y).  ^ genitor(X,Y) :- pai(X,Y). genitor(X,Y) :- mae(X,Y). pai(adam,bill). pai(bill,carl). mae(anne,bill). Quem é avó(ô) nessa história????

23. ?- gen(X,Z),gen(Z,Y). X=anne X=adam ?- pai(X,Z),gen(Z,Y). ?- mae(X,Z),gen(Z,Y). ?- pai(bill,Y). ?- gen(bill,Y). ?- gen(carl,Y). ?- pai(carl,Y). ?- m(carl,Y). ?- pai(bill,Y). ?- mae(bill,Y). ?- pai(bill,Y). ?- m(bill,Y). ?- fail. ?- fail. ?- true. Y=carl ?- fail. ?- true. Y=carl ?- fail. Árvore SLD ?- avo(X,Y).

24. Conclusões

25. Paradigma de programação • A ”função” membro, implementada como relação: • member(X,[X|Xs]). • member(X,[Y|Ys]) :- member(X,Ys). • Vão-se gerando sentenças novas que precisam ser provadas • até que uma é provada! • Pode entrar em loop, por falta do occur-check

26. Negação por falha em Prolog • Prolog tem várias extensões (ex:LIFE, CHR,...), com diferentes melhorias • Prolog tem comandos built-in para controlar a busca na árvore • Ex: evitar insistir em determinados ramos • Operador de negação por falha em premissas: • not p(X) verificado sse p(X) falha • Isso é MUITO DIFERENTE de p(X) SER FALSO, mas quebra o galho muitas vezes

27. Implementando resolução • Prover boas estruturas de dados • Indexação e hashtables • Boas ligações de pesquisa com BDs • BDs inteligentes ou dedutivos • Estamos sempre recuperando literais para tentar prová-los • Bons algoritmos de unificação • O problema reduz a busca em árvore • Obj: Reduzir o backtracking • Ex: Residente(p,Itu)^Ocupacao(p,Presidente)