“Lavoro” compiuto da una forza :

1. “Lavoro”compiuto da una forza: v(t3) v(t2 ) B ds J F v(t 1) m A lavoro infinitesimo : lavoro da A a B : unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m º Joule Esempio: lavoro della forza d’attrito dinamico: Fattr =-mDmgux v A x B Ds

2. z Lavoro della forza peso: A ds ds (III) (I) (II) J mg mg B lavoro indipendente dal cammino percorso: W(I)AB= W(II)AB=W(III)AB ß la forza peso é un esempio di “forza conservativa”

3. lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante: Potenza istantanea: Unità di misura (S.I.) : [P] = [W] / [t] = J / s º W (“Watt”) Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla forza F è: Potenza media: lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Altre unità di misura di uso pratico: Lavoro: “chilowattora” Potenza: “cavallo vapore”

4. Campo vettoriale E’ definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore, ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore. Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto. “Campo di forza”: campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto Þintroduzione del concetto di“azione a distanza” In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive.

5. Campo di forza conservativo Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo : per qualsiasi curva chiusa g ds r g F( r ) o, equivalentemente: per qualsiasi coppia di punti A,B e per qualsiasi percorso g1 , g2che li congiunge g1 B A g2

6. “Energia cinetica”di un punto materiale di massa m e velocità v : Energia cinetica ( dimensioni: ) Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F vale ilteorema dell’energia cinetica : vB B vA m F A

7. Teorema dell’ energia cinetica aT B ds s(t) a aN A

8. la reazione vincolare non compie lavoro Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito F a dalla legge di Newton: 0 mg J l x condizioni iniziali: Integrando l’equazione del moto: Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato: = 0 lavoro della forza peso

9. Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale” quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso): Energia potenziale ossia: A B rA rB F( r ) o l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria (º al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)

10. Energia meccanica E’ la somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale : Principio diconservazione dell’energia meccanica : nel moto di un corpo in un campo di forzeconservativo, l’energia meccanica è costante : • per due punti qualsiasi • A,B della traiettoria : Infatti: definizione di energia potenziale teorema dell’ energia cinetica

11. z Esempio: energia potenziale della forza peso: A B mg O Il punto A può essere scelto nell’origine: A º O [ ovvero, considerando il percorso OA: Posto : ossia, per il generico punto P di coordinata z :

12. Esempio: conservazione dell’energia meccanica nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso. z v0 h mg x v [ dall’equazione del moto si giunge allo stesso risultato: ]

13. Forza elastica: Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica” “costante elastica”: [k] = N / m (il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta “legge di Hooke”) 0. x Lavoro: Energia potenziale: Þ Scelto x 1º 0. e posto Þ

14. Bilancio energetico In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , valel’equazione del“bilancio energetico”: energia potenziale associata alle forze conservative presenti lavoro compiuto dalle forze non conservative Infatti: Þ Esempio: moto lungo un piano scabro z Fattr l 0 mg

15. La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo: Gradiente di una funzione scalare può essere invertita, introducendo il concetto di “gradiente” di una funzione scalare: data una funzione scalareV ( r ) = V(x,y,z) , si definisce il“gradiente di V” il vettore , indicato conÑ V, tale cheper qualsiasi spostamento infinitesimodrrisulti: Il prodotto scalare del vettore gradiente di V nel punto r con il vettore dr è uguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr Ñ V P’ dr P

16. Gradiente di una funzione scalare (II) La “derivata direzionale”(º limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione D r ): é massima (cos J = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V ilgradiente di Vé un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r ); il suo modulo é uguale al valore della derivata direzionale di V( r ) lungo tale direzione; ilverso è quello in direzione dei valori crescenti di V Superfici a egual valori di V Ñ V dr1 dr2 V( r ) = V2 V( r ) = V1

17. Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y) In unospazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.) V(x,y) 400 300 200 100 y x curve di egual livello y P1 V=100 ÑV V=200 V=300 ÑV V=400 ÑV P3 P2 x Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello (ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno)

18. Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) : “derivate parziali” Dalla definizione di gradiente: rappresentazione del vettore gradiente in coordinate cartesiane ortogonali

19. Per una funzione V( r ) = V(r,J,j) : Rappresentazione del gradiente in coordinate polari lo spostamento dr ha componenti polari: z dr P=( r,J,j) P’=( r+dr, J+dJ, j+dj) r J dJ y dj j x r sinJ dalla definzione di gradiente:

20. Dalla definizione di energia potenziale: Forza : gradiente dell’energia potenziale Esempio: dall’energia potenziale della forza peso :

21. Superficie equipotenziale luogo dei punti dello spazio aventi lo stesso valore dell’ energia potenziale costante z per uno spostamento ds lungo la superficie, per definizione: ds y x Il vettore: è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per quel punto. Esempio:superfici equipotenziali della forza peso ÑEP = - mg = costante z y mg x