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概率论与数理统计

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概率论与数理统计. 一、问题的提出. 二、矩估计法. 三、最大似然估计. 第六章 参数估计. 第一节 参数的点估计. 在实际中我们经常遇到这样的问题:总体. 的. 分布函数. 的形式为已知,. 是未知参. 数. 是. 的一个样本 ,. 未知参数. ,这种问题称为参数估计问题. 一、点估计问题的提出. 为相应的一个样本值 . 我们希望用样本值去估计. 例 1. 数这个总体. 服从泊松分布. , 即. 的分布律. 的形式已知 . 利用样本值 估计. 的值.

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一、问题的提出

二、矩估计法

三、最大似然估计

第六章 参数估计

第一节 参数的点估计

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在实际中我们经常遇到这样的问题:总体

分布函数

的形式为已知,

是未知参

数.

的一个样本,

未知参数

,这种问题称为参数估计问题.

一、点估计问题的提出

为相应的一个样本值. 我们希望用样本值去估计

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例1

数这个总体

服从泊松分布

, 即

的分布律

的形式已知 . 利用样本值 估计

的值.

已知某电话局在单位时间内收到用户呼唤次

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例2

已知某种灯泡的寿命 ,即

的分布密度

的形式已知,但参数 未知 . 利用样本值

,估计 , .

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例3

总体 ;不知道 的分布形式 ,根据样本值

估计元件的平均寿命和元件寿命

的差异程度,即估计总体 的均值 和方差

.

考虑某厂生产的一批电子元件的寿命这个

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解决上述参数 的点估计问题的思路是: 设法

构造一个合适的统计量

, 对

在数理统计中称统计量

的估计量,

的观测值

称为

的估计值 .

作出合理的估计 .

点估计常用方法:矩估计和最大似然估计法.

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二、矩估计法

矩估计法的基本思想是用样本的 阶原点矩

去估计总体 的 阶原点矩 ;

去估计总体

用样本的

阶中心矩

的k阶中心矩

矩估计法是由英国统计学家

皮尔逊(K.Pearson)在1894年提出.

并由此得到未知参数的估计量 .

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设总体 的分布函数为 ,

是 个待估计的未知参数 . 设

存在,对任意 ,

现用样本矩作为总体矩的估计,即令

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这样得到含 个参数 的 个方程组,

以 作为参数 的估计量. 这种求出估计量的方法

解该方程组得

称为矩估计法 .

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例4

设总体 服从泊松分布 , 求参数 的

矩估计量.

是总体

的一个样本,

由于

可得

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例5

求总体 的均值 和方差 的矩估计.

设 是总体 的一个样本,

由于

故令

解得

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例6

设总体

服从区间上

的均匀分布,

求参数

的矩估计量.

设 是总体 的一个样本,

容易求得

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例7

设总体 的分布 密度为

为总体 的一个样本,求参数

由于 只含有一个未知参数 ,一般

只需求出 便能得到 的矩估计量,但是

即 不含有 ,故不能由此得到 的矩估计量.

的估计量 .

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于是解得 的矩估计量为

本例 的矩估计量也可以这样求得

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即 的矩估计量为

故令

该例表明参数的矩估计量不唯一.

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三、最大似然估计

Gauss

Fisher

最大似然估计作为一种点估计方法最初是由

德国数学家高斯(Gauss)于1821年提出,英国统计

学家费歇尔(R.A.Fisher)在1922年作了进一步发展

使之成为数理统计中最重要应用最广泛的方法之一.

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1.似然函数

设总体 的分布律为 或

分布密度为 ,其中 是未

知参数, 的分布律(或分布密度)

为 ,当给定样本值 后,

它只是参数 的函数,记为 ,即

则称 为似然函数,似然函数实质上是样本的

分布律或分布密度.

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2. 最大似然估计法

可能结果 ,若在一次试验中,结果 出现,

则认为 出现的概率最大.

最大似然原理的直观想法:在试验中概率

最大的事件最有可能出现 .一个试验如有若干个

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例8

为 3:1,但不知哪种球多 , 表示从盒中任取一球

是黑球的概率,那么 或 , 现在有放回地

从盒中抽3个球,试根据样本中的黑球数 来估计

参数 .

随机变量 ,即

假定一个盒中黑球和白球两种球的数目之比

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估计 只需在 和 之间作出选择.

计算这两种情况下 的分布律:

0

1

2

3

27/64

27/64

9/64

1/64

,

1/64

9/64

27/64

27/64

,

的估计

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设总体

的分布律为

是样本的一个观测值,

则样本

的概率为

既然在一次试验中得到的样本值 ,

这似然函数 达到最大的参数值作为估计值 ,

那么样本取该样本值的概率应较大,所以选取使

称为最大似然估计法.

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定义6.1

设总体 的分布密度(或分布律)为 ,

其中 为未知参数 . 又设

是总体

的一个样本值,如果似然函数

分别为 的最大似然估计量.

处达到最大,则称

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与 有相同的最大值点 .因此, 为

称它为似然方程, 其中

由于

最大似然估计的必要条件为

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(1)求似然函数 ;

(2)求出 及似然方程

求最大似然估计量的一般步骤为:

(3)解似然方程得到最大似然估计值

(4)最后得到最大似然估计量

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例9

设总体 服从泊松分布 ,其中 为未知

参数,试求参数 的最大似然估计量 .

设样本 的一个观测值为

,由于总体 ,故有

似然函数为

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所以 的最大似然估计量为 .

取对数

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例10

设总体 ,求参数 的最大

设 是总体 的样本,

其观测值为 , 由总体 ,

似然估计量 .

分布密度为

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最大似然估计量为 .

解似然方程得

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例11

设总体 服从区间 上的均匀分布,

试求参数 的矩估计量和最大似然估计量 .

的样本,

是总体

其观测值为 ,

即 的矩估计量为

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总体 的分布密度为

则似然函数为

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达到最大, 故

的最大似然

估计量为

备用题

小 结

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例12

设总体

服从

对于容量为

的点

的样本, 求使得

为来自总体

的一个样本,

可求得

的最大似然估计分别为

的最大似然估计.

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的最大似然估计

查表得

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例13

一罐中装有白球和黑球,有放回地抽

取一个容量为n的样本,其中有 k 个白球,

求罐中黑球与白球之比 R的最大似然估计.

则X1,X2,…,Xn是取自B(1,p)的样本,p是每次抽取时取到白球的概率,p未知 .

先求p的最大似然估计:

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p的最大似然估计为

的最大似然估计是

我们容易求得

由前述最大似然估计的性质不难求得

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最后,我们用最大似然法估计湖中的鱼数.

为了估计湖中的鱼数N,第一次捕上r条鱼,做

上记号后放回. 隔一段时间后, 再捕出 S 条鱼,

结果发现这S条鱼中有k条标有记号. 根据这个

信息, 如何估计湖中的鱼数呢?

第二次捕出的有记号的鱼数X是r.v, X具有超几何分布:

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而定.

把上式右端看作N的函数,记作L(N;k) .

应取使L(N;k)达到最大的N, 作为N的最大似然估计.

但用对N求导的方法相当困难, 我们考虑比值:

经过简单的计算知,这个比值大于或小于1,

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的最大整数时,

升而后下降; 当N为小于

达到最大值 . 故N的最大似然估计为

而定 .

经过简单的计算知,这个比值大于或小于1,

这就是说,当N增大时,序列P(X=k;N)先是上

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内容小结

两种求点估计的方法:

矩估计法

最大似然估计法

在统计问题中往往先使用最大似然估计法,

在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法.