Algorithmen und Komplexität

1. Algorithmen und Komplexität Sommersemester 2004

2. NP-vollständige Probleme • SAT und 3-SAT (Masterreduktionen) • CLIQUE • KNOTENÜBERDECKUNG • SUBSETSUM • RUCKSACK (einfach: rationaler Rucksack!) • HAMILTONKREIS • TSP • Übungen: PARTITION, BIN PROGRAMMING, COLOR, INDEPENDENT SET, 1in3SAT, …

3. NP-vollständig – Was nun? • Spezialfälle • Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems verlangt? • Heuristiken • Im worst-case: exponentielle Laufzeit • Für „manche“ Eingaben: polynomielle Laufzeit • Approximationsalgorithmen • Ziel: für jede Eingabe polynomielle Laufzeit • Lösung ist nicht optimal, aber wir können etwas über die Qualität sagen (z.B. „Wert der Ausgabe ist höchstens doppelt so schlecht wie der Wert einer opt. Lösung“)

4. Spezialfälle • Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems verlangt oder liegt ein (einfacher) Spezialfall vor? • Beispiele auf Bäumen: • CLIQUE • HAMILTONKREIS • HAMILTONPFAD • UNABHÄNGIGE MENGE • Weiteres Beispiel: 2SAT liegt in P

5. Unabhängige Menge auf Bäumen • Eingabe: G=(V,E),r (Baum mit Wurzel r) • Ausgabe: Max. unabhängige Menge I  V, so dass • keine zwei Knoten in I verbunden sind • Dynamische Programmierung: • Laufzeit: O(n) !

6. Spezialfälle • Ist wirklich die Lösung des allgemeinen Problems verlangt oder liegt ein (einfacher) Spezialfall vor? • Beispiele auf Bäumen: • CLIQUE • HAMILTONKREIS • HAMILTONPFAD • UNABHÄNGIGE MENGE • Weiteres Beispiel: 2SAT liegt in P

7. Das Erfüllbarkeitsproblem (Satisfiability, SAT) • Eine Boole’sche Variable x kann Werte 0 und 1 (falsch und wahr) annehmen. • Eine Boole’sche Formel  ist eine Verknüpfung von Boole’schen Variablen durch Boole’sche Operatoren, z.B. AND ( Æ ) , OR ( Ç ), NOT ( : ). • Beispiel: = (:x Ç y) Æ (x Ç :z ) ist eine • Boole’sche Formel mit Variablen x, y, z. •  ist erfüllbar, falls es eine Belegung der Variablen mit Werten 0, 1 gibt, die  wahr macht. • Beispiel:  ist erfüllbar, z. b. durch x=1, y=1, z=0.

8. Das Erfüllbarkeitsproblem (Satisfiability, SAT) • SAT = { <> |  ist erfüllbare Boole‘sche Formel} • SAT ist NP-vollständig

9. Konjunktive Normalform (KNF) • Literal: Variable oder negierte Variable • Klausel: Disjunktion K von Literalen, • K= y1Ç … Ç ym, yi Literale • Formel  in Konjunktiver Normalform (KNF): Konjunktion von Klauseln, •  = K1Æ … Æ Kl , Ki Klauseln • k-SAT Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel aus genau k Literalen besteht. • k-SAT= { <> |  ist erfüllbare Boole‘sche • k- SAT Formel}

10. 2-SAT liegt in P • 2-SAT= { <> |  ist erfüllbare Boole‘sche 2-SAT • Formel} • = K1Æ … Æ Kl , Ki: Disjunktion zweier Literale Menge der Variablen: x1,…,xn • B sei Belegung der Variablen: • B(xi)=1 falls B die Variable xi auf wahr setzt • B(xi)=0 sonst • B()=1 | 0 allgemein für ein Literal • Da 2-SAT: Ki = i  i • Beobachtung: B(i)=0, dann muss B(i)=1

11. 2-SAT liegt in P • Gerichteter Graph G=(V,E): • V := {x1,:x1,…,xn,:xn} • E := { (,) |  enthält :   oder   : } • := { (:, ),(:,) |  enthält    } • denn:     (:  )  (:  ) • Beispiel: •  := (:x1  x2)  (:x2  x3)  (x1  :x3)  (x3  x2) • Woran ist zu erkennen, ob  erfüllbar ist?

12. 2-SAT liegt in P • Satz: • 2KNF Formel  ist unerfüllbar   Variable xi: • 1. es existiert in G ein Weg von xi nach :xi • 2. es existiert in G ein Weg von :xi nach xi • Beweis: „“ Führe Belegung für xi zum Widerspruch. • „“ Ann. es ex. keine solche Variable, dann • konstruieren wir eine erfüllende Belegung

13. 2-SAT liegt in P • „“ Ann. es ex. keine solche Variable, dann • konstruieren wir eine erfüllende Belegung: • Solange noch nicht alle Variablen belegt sind: • Wähle bel. Variable xi, die noch nicht belegt ist • Falls Pfad von xi nach :xi existiert, setze a=0 sonst a=1 • Setze alle von xi aus erreichbaren Literale auf a • Setze die entsprechenden Negationen auf :a • Beobachtung: • Falls der Graph einen Weg von  nach  enthält, so • enthält er auch einen von : nach : (Definition).

14. 2-SAT liegt in P • Satz: 2SAT liegt in P • Nach Satz 2.2.2: • Path={ <G,s,t> | G=(V,E) ist ein gerichteter Graph mit s, t  V und einem gerichteten Weg von s nach t}  P • Algorithmus für 2SAT: • Konstruiere G • Prüfe für jede Variable xi, ob es einen Pfad von xi nach :xi gibt und umgekehrt • Verwerfe, falls Variable xi gefunden wurde, für die beide Pfade in G existieren. Ansonsten akzeptiere. • Laufzeit: poly(n).

15. Max2SAT ist NP-vollständig • Max2SAT= { <,k> |  ist Boole‘sche 2-SAT Formel, für die es eine Belegung gibt, die mindestens k Klauseln erfüllt} • Bemerkung: • Max2SAT ist NP-vollständig! • Beweisidee: • 1) Max2SAT liegt in NP • 2) 3SAT p Max2SAT

16. Vorschau • Heuristiken • Backtracking • Branch-and-Bound • Lokale Verbesserung • Approximationsalgorithmen • Max-Cut Problem • Problem des Handlungsreisenden • Rucksackproblem