第 03 章數位邏輯

第03章數位邏輯 GoTop--計算機概論(第二版) 吳權威王緒溢編著

3-1　符號邏輯與真值表 3-2　布林代數與邏輯閘 3-3　邏輯電路簡化技巧目錄

3-1　符號邏輯與真值表 • 3-1.1　什麼是符號邏輯 • 3-1.2　布林函數的真值表 • 3-1.3　用真值表找出布林函數

什麼是符號邏輯？ • 符號邏輯就是以邏輯運算符號和邏輯運算元組合而成的邏輯運算式，邏輯的常數分別以0和1來代表真和假。

邏輯運算符號： • AND：代表「且」運算，以「‧」表示。 • OR：代表「或」運算，以「+」表示。 • NOT：代表「否」運算，以「，」或「￣」表示。

邏輯運算元： • 以英文字母A、B、C……來表示，而運算元的值可能為0或1，因此又可稱為二元變數。

(1) X‧Y  (2) X OR Y • (4) A‧ ＋C  • (4) A AND OR C 邏輯運算式所表示的意義： • (1) X AND Y • (2) X＋Y  • (3) X＋Y‧Z  • (3) X OR Y AND Z • (5) A‧B‧C‧D  • (5) A AND B AND C AND D

AND（且）邏輯運算符號說明： • 需要兩個運算元，只有當運算元均為”真”時，其結果為”真”，否則為”假”。 • 在X‧Y式中，當X=1、Y=1時，邏輯運算式X AND Y的值為1，其餘的情況則為0。

OR（或）邏輯運算符號的說明： • 需要兩個運算元，只要有其中一個運算元為“真”時，其結果為“真”，只有當兩個運算元均為“假”時，其結果為“假”。 • 在 X＋Y式中，當X=0、Y=0時，邏輯運算式X OR Y的值為0，其餘的情況則為1。

NOT（否）邏輯運算符號說明： • 只需要一個運算元，當運算元為“真”時，其結果為“假”，而當運算元為“假”時，其結果為“真”。

布林函數-1： • 布林函數（Boolean function）是指以邏輯運算式所構成的函數。例如： • (1)F(X,Y)=X‧Y • (2)F(X,Y)=X＋Y • (3)F(A,B,C)=A‧ ＋C • 上述三個布林函數的名稱均為F，這三個函數的邏輯運算式不同，其運算結果也就不一樣。

布林函數-2： • 在邏輯函數中，AND運算子必須優先運算，可以省略不用，例如： F(X,Y)=X‧Y 　　　　　表示為 F(X,Y)=XY • 可使用括號來區別運算的先後次序，例如： F(X,Y,Z)=X(Y＋Z) • 上面的函數中，Y、Z先進行OR運算，其結果再與X進行AND運算。

真值表： • 在邏輯運算式中每一個變數只有0和1兩種變化。 • 為了解布林函數的邏輯值，可以列出函數的真值表（True Table）。

函數的真值表-1： (1) (2)

函數的真值表-2 ：

用真值表找出布林函數： • 已知某一邏輯函數的真值表內容，也可以透過真值表，寫出相對於真值表的布林函數。 • 例如：真值表　　　　　　　。 • 在上列真值表中顯示，當A、B的邏輯值同為0或同為1時，邏輯函數值為1，因此邏輯函數可表示為　　　　　　　。

按一下滑鼠或鍵盤檢查答案 用真值表找出邏輯函數的另一個例子：

3-2　布林代數與邏輯閘 • 3-2.1　布林代數運算定理 • 3-2.2　邏輯閘 • 3-2.3　布林函數與邏輯電路 • 3-2.4　推算邏輯電路的真值表

布林代數運算定理： • 布林（George Boole）先生於1854年，發表布林代數理論。 • 建立了符號邏輯以及研究計算機基本原理的基礎。

運算布林代數可直接引用的定理：

布林函數的簡化過程與所應用的定理：

邏輯閘： • 邏輯閘（Logic Gate）是一種表示與推算數位邏輯電路的基本元件，目的是為了簡化使用的邏輯閘和邏輯電路的運作效率。 • 根據邏輯函數中的邏輯符號，使用相對應的邏輯閘，就可以設計出完整的邏輯電路圖。

基本的邏輯閘名稱與圖形符號-1：

基本的邏輯閘名稱與圖形符號-4： 上述的邏輯閘是最基本的電子元件，積體電路（IC）就是以邏輯閘為基礎的電子元件所組成。例如積體電路編號7408的IC中，有四個AND閘，且每個閘有兩個輸入﹔而7432 IC中有四個OR閘，且每個閘有兩個輸入。

邏輯函數的邏輯電路圖-1： • 邏輯函數 F(X,Y,Z)=(X+Y)(Y+Z)的邏輯電路圖表示如下：

F(X,Y)= ()() F(X,Y,Z)= XY+YZ+XZ 邏輯函數的邏輯電路圖-2：

推算邏輯電路的真值表： • 我們可以將推算邏輯電路圖的真值表，轉換為邏輯函數，以驗證所設計的電路圖是否正確。

按一下滑鼠或鍵盤檢查答案 從邏輯電路圖推算真值表：

再看一次電路圖

3-3　邏輯電路簡化技巧 • 3-3.1　最小項 • 3-3.2　最大項 • 3-3.3SOP與POS的轉換 • 3-3.4　什麼是卡諾圖 • 3-3.5　用卡諾圖化簡二變數邏輯函數 • 3-3.6　用卡諾圖化簡三變數邏輯函數 • 3-3.7　用卡諾圖化簡四變數邏輯函數

最小項-1： • 所謂最小項（Minterm），是指在邏輯函數中包含所有二元變數的積項（AND邏輯運算）。例如F(X,Y,Z)邏輯函數之最小項包括： • 下列的積項則不屬於F(X,Y,Z)邏輯函數的最小項： • F(X,Y)邏輯函數之最小項包括：

最小項-2： • 一個n個變數的邏輯函數共有2n個不同的最小項。 • 可用m0、m1、m2……mn-1等符號來代表各個最小項。 • 例如，兩個變數的最小項和符號表如下：

三個變數的最小項和符號表：

標準SOP形式： • 任何邏輯函數都可以使用最小項的邏輯和來表示，這種表示方法稱為標準SOP（Sum of Product ，簡稱為SOP）形式。 • 例如下面的邏輯函數：

簡化邏輯函數： • 為了簡化表示的方式，最小項可以使用符號來表示如下： • 再近一步簡化表示如下：

最大項-1： • 所謂最大項（Maxterm）是指在邏輯函數中包含所有二元變數的和項（OR邏輯運算）。

最大項-2： • 例如F(X,Y,Z)三變數邏輯函數之最大項包括： ++　、　++Z、　+Y+　、　+Y+Z、 X++　、X++Z、X+Y+　、X+Y+Z • 而下列的和項則不是F(X,Y,Z)邏輯函數的最大項： X+Y、X+Z、Y+Z、　+　、　+　、　+ • F(X,Y)二變數邏輯函數之最大項包括： +　、　+Y、X+　、X+Y

最大項-3： • 一個n個變數的邏輯函數共有2n個不同的最大項。 • 可用M0、M1、M2……Mn-1等符號來代表各個最大項。 • 例如，兩個變數的最大項和符號表如下：

三個變數的最大項和符號表：

標準POS形式： • 使用其最大項的邏輯乘積來表示，這種表示方法稱為標準POS（Product of Sum ，簡稱為POS）形式。 • 例如：下面的邏輯函數

簡化邏輯函數： • 為了簡化表示的方式，最大項可以使用符號來表示如下： • 再近一步簡化表示如下：

SOP與POS的轉換-1： • 使用SOP和POS表示的邏輯函數可以相互轉換，每一個最小項都有一個對應的最大項。 • 下表是二變數邏輯函數之最小項和最大項的對應表。

SOP與POS的轉換-2： • 從上張投影片的表中可以看到，　　　，因為邏輯函數 • SOP簡化形式為 • POS簡化形式為

SOP與POS的轉換-3： • 當三變數邏輯函數的SOP形式表示如下時： F(X,Y,Z)= • 則可以轉換為POS形式表示如下： F(X,Y,Z) =

什麼是卡諾圖？ • 卡諾圖（Karnaugh Map）是一種非常實用的簡化邏輯電路的圖解法。 • 卡諾圖是由邏輯最小項（或最大項）所組成的二維矩陣，在矩陣中填入所對應最小項（或最大項）的值（1或0），然後藉由矩陣中的二元數值，進行簡化的工作。

兩個變數的卡諾圖表示方式： • 兩個變數的卡諾圖，以最小項表示如下： • 以最小項的符號表示：

三個變數的卡諾圖表示方式： • 三個變數的卡諾圖，以最小項表示： • 以最小項的符號表示：

四個變數的卡諾圖表示方式-1： • 四個變數的卡諾圖，以最小項表示：

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