离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 12

2. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 代数系统的同态和同构就是在两个代数系统之间存在着一种特殊映射——保持运算的映射，它是研究两个代数系统之间关系的强有力工具。

3. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 一、同态与同构的概念 1. 同态映射 定义：设 和 是两个代数 系统，设 是从 X 到 Y 的一个映射，使 得对 ，都有 则称 为 到 的一个同态映射。

4. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 一、同态与同构的概念 1. 同态映射 定义：如果两个代数系统 与 之间存在一个同态映射，就称这两个代数 系统是同态的，记作 ，把 称为 X 的同态像，其中 。

5. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 一、同态与同构的概念 2. 满同态、单同态、同构映射 定义：如果 是两个代数系统 与 之间的一个同态映射，又 是从 X 到 Y 的一个满射、单射、双射，则 称 为满同态、单同态、同构映射，并称 和 是满同态的、单同态的、同构的。

6. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 一、同态与同构的概念 3. 自同态映射、自同构映射 定义：如果在上面定义中，代数系统 就是 ， 是 X 到自身的一个 同态映射（同构映射），则称 是 上的一个自同态映射（自同构映射）。 例：

7. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 二、同态与同构的性质 定理：设 是从代数系统 到 的一个满同态映射， （1）若 是可交换的，则 是可交换的； （2）若 是可结合的，则 是可结合的； （3）若代数系统 有幺元 ，则 是 的幺元。 证明：

8. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 三、代数系统的同余关系 1. 同余关系 定义：设 是一个代数系统， 是 A 上的一个二元运算， 是 A 上的一个等价关 系。如果当 时，都有 则称 为 A 上关于 的同余关系。

9. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 三、代数系统的同余关系 1. 同余关系 定义：设 为 A 上关于 的同余关系, 由这个同余关系将 A 分成的等价类称为同余 类，所有同余类的集合称为代数系统 关 于同余关系 的商集，记作 。 例：

10. 第五章 代数系统 5.2 代数系统的同态和同构 三、代数系统的同余关系 2. 商代数 定义：设 为代数系统 上的同余 关系，在商集合 上定义运算 如下： ， 称代数系统 为 的商代数。

11. 第五章 代数系统 三、代数系统的同余关系 2. 商代数 对上面的定义需要做一些说明： 商集合 的元素是等价类，等价类 的表示与代表元有关，然而 运算结果 在 中必 须是唯一确定的。事实上，如果 和 ，由同余关系 从而 ，得 即 上的运算 与代表元的选择无关。

12. 第五章 代数系统 三、代数系统的同余关系 3. 自然同态 定理1：设 为代数系统， 是 A 上 的二元运算， 是 A 上关于 的同余关 系，则存在代数系统 到商代数 的满同态 ， 即商代数 是 的同态像。称满 同态 为同余关系 的自然同态。 证明：

13. 第五章 代数系统 三、代数系统的同余关系 3. 自然同态 定理2：设 和 是两个具有 二元运算的代数系统， 是 到 的同态映射，则 A 上的关系 是一个同余关系。 证明：

14. 第五章 代数系统 三、代数系统的同余关系 4. 同态基本定理 定理：设 是代数系统 到 的满同态映射，则商代数 与 同构。这里 证明：

15. 第五章 代数系统 三、代数系统的同余关系 4. 同态基本定理 推论：设 是代数系统 到 的同态映射，则 与 同构， 与 同态。 这里 证明：

16. 第五章 代数系统 作业： 复习 第1章---第5章 • 预习： 第6章 §6.1、 §6.2

17. 谢谢！Thank you!