Sortering
Download
1 / 66

Sortering - PowerPoint PPT Presentation


  • 132 Views
  • Uploaded on

Sortering. Plan. Elementære metoder til sortering - sortering ved indsættelse - Shellsort Sorteringsmetoder baseret på rekursion quicksort flettesortering Randomisering.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Sortering' - hashim


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Plan

  • Elementære metoder til sortering

    • - sortering ved indsættelse

    • - Shellsort

  • Sorteringsmetoder baseret på rekursion

    • quicksort

    • flettesortering

  • Randomisering


Uformel definition: Ved sortering forstås en proces, hvorved elementerne i en datamængde ordnes i rangfølge.

Hvorfor sortere?

(1) Det er lettere at søge i en en sorteret datamængde end i en usorteret datamængde, såvel for maskiner som for mennesker. Tænk f.eks. på opslag i en telefonbog.

(2) Mange problemer kan løses mere effektivt, hvis inddata er sorteret. Eksempel: Hvis to filer er sorteret i samme orden, er det muligt i blot ét gennemløb at finde alle de poster, der findes i begge filer.


Bestemmelse af f llesm ngden for to usorterede arrays

0

i

M

a:

0

N

0

k

j

c:

b:

Bestemmelse af fællesmængden for to usorterede arrays

k = 0;

for (i = 0; i < M; i++)

for (j = 0; j < N; j++)

if (a[i] == b[j])

c[k++] = a[i];

Kompleksitet: O(M * N)


Bestemmelse af f llesm ngden for to sorterede arrays

0

k

j

c:

<

b:

Bestemmelse af fællesmængden for to sorterede arrays

0

i

M

a:

<

0

N

<

i = j = k = 0;

while (i < M && j < N)

if (a[i] < b[j]) i++;

else if (a[i] > b[j]) j++;

else { c[k++] = a[i]; i++; j++; }

Kompleksitet: O(M + N)


Permutationer
Permutationer

  • En permutation af en mængde af objekterer en ordning af objekterne.

  • For eksempel er p = (2 3 1) en permutation af {1, 2, 3}. p(1) = 2 p(2) = 3 p(3) = 1

  • Der er 6 permutationer af {1, 2, 3}, nemlig (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1)

  • Antallet af permutationer af n objekter er n!.


En sortering af en fil af n poster er en permutation, p, af mængden {1, 2, ..., n}, som ordner nøglerne i stigende rækkefølge: Kp(1) ≤ K p(2) ≤ ... ≤ Kp(N).

  • Lad der være givet N emner R1, R2, ..., RN, der skal sorteres. Vi kalder dem poster, og hele samlingen kaldes for en fil. Hver post Ri indeholder en nøgle, Ki, til styring af sorteringen. Herudover kan en post indeholde anden information.

Lad der desuden være defineret en ordningsrelation ‘<’ på mængden af nøgleværdier, som er total, dvs. for vilkårlige tre nøgleværdier a, b og c opfylder følgende to betingelser:

(1) Præcis et af følgende 3 udsagn er sandt: a < b, a = b eller b < a (3-delelighed)

(2) Hvis a < b og b < c, så a < c (transitivitet)


Terminologi
Terminologi

  • En sortering af en fil i det indre lager (f.eks. et array), kaldes for intern sortering.

  • En sortering af en fil på et eksternt lagermedium (f.eks. en disk) kaldes for ekstern sortering.


Element re algoritmer
Elementære algoritmer

  • Sortering ved indsættelseShellsort

  • Hvorfor studere elementære algoritmer?

  • (1) De er lette at kode

  • (2) De er (tilstrækkeligt) hurtige for små filer

  • (3) I specielle situationer er de hurtigst

  • (4) Udgør illustrative eksempler på algoritmedesign og -analyse


Sortering ved inds ttelse
Sortering ved indsættelse

  • Problem: Givet et array a med elementerne a[0], a[1], ..., a[n-1]. Sorter elementerne i stigende orden.

Løsning (ved induktion):

Basistilfælde: Vi ved, hvordan 1 element sorteres.

Induktionshypotese: Vi ved, hvordan n-1 elementer sorteres.

Vi kan opnå en sortering af n elementer ved (1) at sortere de første n-1 elementer, (2) indsætte det n´te element korrekt blandt disse.


  • A S O R T I N G E X A M P L E

  • A S O R T I N G E X A M P L E

  • A O S R T I N G E X A M P L E

  • A O R S T I N G E X A M P L E

  • A O R S T I N G E X A M P L E

  • A I O R S T N G E X A M P L E

  • A I N O R S T G E X A M P L E

  • A G I N O R S T E X A M P L E

  • A E G I N O R S T X A M P L E

  • A E G I N O R S T X A M P L E

  • A A E G I N O R S T X M P L E

  • A A E G I M N O R S T X P L E

  • A A E G I M N O P R S T X L E

  • A A E G I L M N O P R S T X E

  • A A E E G I L M N O P R S T X


  • void swap(Object[] a, int i, int j) {

  • Object tmp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = tmp;

  • }

Sortering ved indsættelse (rekursiv udgave)


Sortering ved indsættelse(iterativ udgave)

  • void insertionSort(Comparable[] a) {

  • for (int i = 1; i < a.length; i++)

  • for (int j = i;

  • j > 0 && a[j].compareTo(a[j - 1]) < 0; j--)

  • swap(a, j, j - 1);

  • }


0

i

a:

tmp:

j-1

j

Sortering ved indsættelse (iterativ udgave med flytninger)



Analyse af sortering ved inds ttelse

Tidsforbruget er lineært for “næsten sorterede” filer.

Analyse af sortering ved indsættelse

  • Antal sammenligninger:

  • Bedste tilfælde: n-1

  • Værste tilfælde: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2 = O(n2)

  • Gennemsnitlige tilfælde: n(n-1)/4 = O(n2)

  • Antal flytninger:

  • Bedste tilfælde: 0

  • Værste tilfælde: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2 = O(n2)

  • Gennemsnitlige tilfælde: n(n-1)/8 = O(n2)


Shellsort d l shell 1959
Shellsort(D. L. Shell, 1959)

  • Ide: Sortering ved indsættelse er meget effektiv, når filen er “næsten sorteret”. Men for “meget usorterede” filer er den langsom, da den kun tillader ombytning af naboelementer.

  • Spørgsmål: Kan vi sørge for at ombytte elementer, der ligger langt fra hinanden i starten, for så derefter at foretage en sædvanlig sortering ved indsættelse?

  • Svar: Ja, vi kan sortere de delfiler, der fås ved at tage hvert h´te element i den oprindelige fil, hvor h > 1.


4 sortering
4-sortering

  • 1. Opdel filen i 4 delfiler: hvert 4. element startende i det første, hvert 4. element startende i det andet, hvert 4. element startende i det tredje, hvert 4. element startende i det fjerde,

  • 2. Sorter hver af disse.

  • Filen siges da at være 4-sorteret.

  • På tilsvarende måde kan vi definere en h-sortering.

  • Bemærkning: En fil, der er 1-sorteret, er sorteret.


4 sortering ved inds ttelse
4-sortering ved indsættelse

Benyt sortering ved indsættelse med “skridtlængde” 4.

A S O R T I N G E X A M P L E

A S O R T I N G E X A M P L E

A I O R T S N G E X A M P L E

A I N R T S O G E X A M P L E

A I N G T S O R E X A M P L E

A I N G E S O R T X A M P L E

A I N G E S O R T X A M P L E

A I A G E S N R T X O M P L E

A I A G E S N M T X O R P L E

A I A G E S N M P X O R T L E

A I A G E L N M P S O R T X E

A I A G E L E M P S N R T X O


H sortering
h-sortering

  • void h_sort(Comparable[] a, int h) {

  • for (int i = h; i < a.length; i++) {

  • Comparable tmp = a[i];

  • int j = i;

  • for ( ; j >=h && tmp.compareTo(a[j - h]) < 0; j -= h)

  • a[j] = a[j - h];

  • a[j] = tmp;

  • }

  • }

  • I forhold til insertionSort er 1 blot erstattet med h.


Shellsort
Shellsort

Shellsort er h-sortering for en aftagende sekvens af h-værdier, afsluttende med h = 1.

  • void shellsort(Comparable[] a) {

  • int h;

  • for (h = 1; h < a.lenghth / 9; h = 3 * h + 1)

  • ;

  • for ( ; h >= 1; h /= 3)

  • h_sort(a, h);

  • }

I dette tilfælde sekvensen ..., 1093, 364, 121, 40, 13, 4, 1.

Det er en god ide, at vælge sekvenser, hvor successive værdier er indbyrdes primiske (deres største fælles divisor er 1).


Shellsort

Lærebogens algoritme:

  • void shellsort(Comparable[] a) {

  • for (int h = a.length / 2;

  • h > 0; h = h == 2 ? 1 : h / 2.2)

  • h_sort(a, h);

  • }



Analyse af shellsort
Analyse af Shellsort

Antal sammenligninger:

Bedste tilfælde: (n-1) + (n-4) + (n-13) + ... ≤ n log3n

Værste tilfælde: højst n1.5 (for sekvensen 1, 4, 13, ...)

Gennemsnitlige tilfælde: kendes ikke. To forslag er O(n1.25) og O(n(log n)2).

Antal flytninger:

Bedste tilfælde: 0

Værste tilfælde: højst n1.5 (for sekvensen 1, 4, 13, ...)

Gennemsnitlige tilfælde: kendes ikke. To forslag er O(n1.25) og O(n(log n)2).


C, tid i sekunder:

metode N = 32000 64000 128000 256000 512000 1024000

insertionSort 3.02 12.70 32.22 - - -

shellsort 0.03 0.05 0.13 0.35 0.80 1.97

Måling af køretider(PowerBook G3, 400 MHz, Metrowerks)

  • Java (JIT), tid i sekunder:

  • metode N = 32000 64000 128000 256000 512000 1024000

  • insertionSort 6.59 27.24 114.14 - - -

  • shellsort 0.04 0.08 0.18 0.41 1.03 2.37


Har du brug for en sorteringsmetode
Har du brug for en sorteringsmetode?

  • Så brug Shellsort.

  • lidt kode

  • bedste metode til små og middelstore filer

  • stadig OK for meget store filer


Quicksort c a r hoare 1962

venstre del

højre del

Quicksort(C. A. R. Hoare, 1962)

  • Quicksort er i praksis den hurtigste algoritme til intern sortering.

  • Ide: For at sortere et array, så del det i en venstre og en højre del, således at alle elementer i den venstre del er mindre end eller lig med alle elementer i den højre del.

Sorter derefter den venstre del og den højre del rekursivt.


Deling partition

≤ v

a[i]

a[j]

≥ v

Deling (partition)

  • Delingen af et array a kan foretages således:

  • (1) Vælg en delingsværdi, v, blandt værdierne i a.

  • (2) Gennemløb a fra venstre mod højre, indtil der findes et element a[i]≥ v.

  • (3) Gennemløb a fra højre mod venstre, indtil der findes et element a[j]≤ v.

  • (4) Ombyt a[i]og a[j].

  • (5) Fortsæt med at gennemløbe og ombytte, indtil de to gennemløb “krydser” hinanden.


≤ v

X

Y

≥ v

j

i

a[i] ≥ v

a[j] ≤ v

≤ v

≥ v

≤ v

Y

X

≥ v

j

i

v: delingsværdien

i: venstre-mod-højre-pegeren

j: højre-mod-venstre-pegeren


Implementering
Implementering

  • Deling af a[low:high]med hensyn til v:

  • i = low; j = high;

  • while (i <= j) {

  • while (a[i].compareTo(v) < 0) i++;

  • while (a[j].compareTo(v) > 0) j--;

  • if (i <= j)

  • { swap(a, i, j); i++; j--; }

  • }

Resultat: a[low:i] ≤ a[j:high]og i > j.

Kan bevises ved at påvise gyldigheden af løkkeinvarianten

{ a[low:i-1] ≤ v ≤ a[j+1:high]}for den yderste løkke.


Quicksort
Quicksort

Delingsværdien v (også kaldet pivot-værdien) kan være værdien af et vilkårligt element blandt a[low:high], f.eks. a[(low+high)/2].

  • void quicksort(Comparable[] a, int low, int high) {

  • if (low < high) {

  • Comparable v = a[(low + high)/2];

  • int i = low, j = high;

  • while (true) {

  • while (a[i].compareTo(v) < 0) i++;

  • while (a[j].compareTo(v) > 0) j--;

  • if (i >= j) break;

  • swap(a, i, j); i++; j--;

  • }

  • quicksort(a, low, j);

  • quicksort(a, i, high);

  • }

  • }


  • int partition(Comparable[] a, int low, int high) {

  • Comparable v = a[high];

  • int i = low - 1, j = high;

  • while (true) {

  • while (a[++i].compareTo(v) < 0) ;

  • while (v.compareTo(a[--j]) < 0)

  • if (j == low) break;

  • if (i >= j) break;

  • swap(a, i, j);

  • }

  • swap(a, i, high);

  • return i;

  • }

Alternativ implementering af delingen

Vi kan alternativt anvende a[high]som delingsværdi.

a[low:high-1] deles, hvorefter a[high]ombyttes med a[i].


Metoden quicksort

  • int quicksort(Comparable[] a, int low, int high) {

  • if (low < high) {

  • int i = partition(a, low, high);

  • quicksort(a, low, i - 1);

  • quicksort(a, i + 1, high);

  • }

  • }



Antal sammenligninger
Antal sammenligninger

Lad C(N) betegne antallet af sammenligninger ved kald af quicksort med N elementer.

Ved delingen foretages cirka N sammenligninger. Herefter sorteres den venstre del og den højre del hver for sig.

I gennemsnit består hver del af cirka N/2 elementer, og får vi derfor rekursionsrelationen:

C(N) = N + 2*C(N/2) for N ≥ 2, og C(1) = 0.

som har løsningen C(N) = N log2N.


Antal sammenligninger i gennemsnit

  • Mere præcise beregninger giver

  • Quicksort bruger i gennemsnit cirka 2N lnN sammenligninger.

  • hvor ln betegner den naturlige logaritme.

2N ln N ≈ 1.38 N log2N

Det gennemsnitlige antal sammenligninger er altså kun 38% højere end antallet af sammenligninger i det bedste tilfælde.


Antal sammenligninger i v rste tilf lde
Antal sammenligninger i værste tilfælde

  • Det værste tilfælde optræder, når delingen for hvert N resulterer i en del med 1 element og en del med N-1 elementer.

  • Vi få da C(N) = N + C(N-1), for N ≥ 2, og C(1) = 0.

  • som har løsningen C(N) = N(N+1)/2.

  • Det værste tilfælde optræder, når filen er sorteret (eventuelt i omvendt orden).

  • Valg af tilfældigt delingselement (eller “median af 3”) reducerer chancen for, at det værste tilfælde optræder.


Quicksort med median af 3
Quicksort med median af 3

  • void quicksort(Comparable[] a, int low, int high) {

  • if (low < high) {

  • if (a[high].compareTo(a[low]) < 0)

  • swap(a, low, high);

  • int mid = (low + high)/2;

  • if (mid == low) return;

  • if (a[mid].compareTo(a[low]) < 0)

  • swap(a, low, mid);

  • if (a[high].compareTo(a[mid]) < 0)

  • swap(a, mid, high);

  • swap(a, mid, high - 1);

  • int i = partition(a, low + 1, high - 1);

  • quicksort(a, low, i - 1);

  • quicksort(a, i + 1, high);

  • }

  • }


Benyt en simpel metode for sm delfiler
Benyt en simpel metode for små delfiler

if (high - low < CUTOFF) insertionSort(a, low, high);

elseindsættes i stedet for

if (low < high) i starten af quicksort, hvor CUTOFF f.eks. er 10.


Empirisk unders gelse af quicksort powerbook g3 400 mhz metrowerks
Empirisk undersøgelse af quicksort(PowerBook G3, 400 MHz, Metrowerks)

  • Tid i sekunder:

  • Metode N = 32000 64000128000 256000 512000 1024000

  • quicksort 0.03 0.05 0.09 0.17 0.36 0.76

  • shellsort 0.04 0.08 0.18 0.41 1.03 2.37

  • insertionSort 6.59 27.24 114.14 ≈ 8 min ≈ 32 min ≈ 2 timer

  • quicksort: median af 3 og insertionSort for små delfiler (CUTOFF = 10).


Udvælgelse

Problem: Find det k’te mindste element blandt en mængde af N elementer.

Eksempel: Det 3. mindste tal blandt {3, 6, 5, 2, 8, 4} er 4.

Løsningsmulighed 1: Sorter elementerne i stigende orden. Det k´te element i den sorterede rækkefølge er løsning på problemet.

Kompleksitet: afhænger af sorteringsmetode - med quicksort: O(N log N).


Løsningsmulighed 2: Hvis k er lille, så anvend sortering ved udvælgelse, men stop, når de første k elementer er på plads.

Kompleksitet: O(k N),

idet N + (N-1) + … + (N - k + 1)≈ k N

Løsningsmulighed 3: Anvend en “hob” (en datastruktur til repræsentation af prioritetskøer - mere herom senere).

Kompleksitet: O(k log N)

Kan vi gøre det bedre?


void quickSelect(Comparable[] a, int low, int high, int k) {

if (low < high) {

int i = partition(a, low, high);

if (i > k) quickSelect(a, low, i - 1, k);

if (i < k) quickSelect(a, i + 1, high, k);

}

}

void quickSelect(Comparable a[], int low, int high, int k) {

while (low < high) {

int i = partition(a, low, high);

if (i >= k) high = i - 1;

if (i <= k) low = i + 1;

}

}

Udvælgelse ved brug af partition

Metoden omordner a, så a[low:k-1] ≤ a[k] ≤ a[k+1:high].

Da der kun benyttes halerekursion, kan rekursionen let elimineres:


Kompleksitet af quickSelect

O(N) i gennemsnit,

idet N + N/2 + N/4 + … ≤ 2N.

Det er muligt (men ikke helt let) at sørge for garanteret lineær køretid.


Sortering ved del og hersk
Sortering ved del-og-hersk

  • void sort(Comparable[] a, int low, int high) {

  • if (low < high) {

  • // Del: Del a[low:high]i to delfiler, a[low:i]og a[j:high],hvor i ≥ j.

  • // Hersk:sort(a, low, i);

  • sort(a, j, high);

  • // Kombiner:Sammensæt de to sorterede delfiler, så de udgør en sortering af a[low:high].

  • }

  • }

Quicksort:

Del:Vælg en værdi, v. Ombyt elementerne i a[low:high],

således ata[low:i] ≤ v ≤ a[j:high], ogi≥j.

Kombiner:Intet.

Mergesort (sortering ved fletning):

Del:i = (low+high)/2; j = i+1;

Kombiner:Flet de to sorterede delfiler, og placer resultatet i a[low:high].


Fletning

0

i

M

a:

0

j

N

b:

0

k

M+N

c:

Fletning

for (i = j = k = 0; k < M + N; k++)

if (i >= M) c[k] = b[j++]; else

if (j >= N) c[k] = a[i++]; else

c[k] = a[i].compareTo(b[j]) < 0 ? a[i++] : b[j++];


Mergesort
mergeSort

void mergeSort(Comparable[] a, int low, int high) {

if (low < high) {

int mid = (low + high)/2;

mergesort(a, low, mid);

mergesort(a, mid + 1, high);

merge(a, low, mid, high);

}

}


Simpel fletning

low

mid + 1

mid

high

Fletning:

a:

b:

low

high

Kopiering:

a:

low

high

void merge(Comparable[] a, int low, int mid, int high) {

int i = low, j = mid + 1;

for (int k = low; k <= high; k++)

if (i > mid) b[k] = a[j++]; else

if (j > high) b[k] = a[i++]; else

b[k] = a[i].compareTo(a[j]) < 0 ? a[i++] : a[j++];

for (int k = low; k <= high; k++) a[k] = b[k];

}

Simpel fletning

  • Fletning af a[low:mid]med a[mid+1:high]over i a[low:high]:


  • A S O R T I N G E X A M P L E

  • A S O R T I N G E X A M P L E

  • A S O R T I N G E X A M P L E

  • A O R S T I N G E X A M P L E

  • A O R S I T N G E X A M P L E

  • A O R S I T G N E X A M P L E

  • A O R S G I N T E X A M P L E

  • A G I N O R S T E X A M P L E

  • A G I N O R S T E X A M P L E

  • A G I N O R S T E X A M P L E

  • A G I N O R S T A E M X P L E

  • A G I N O R S T A E M L L P E

  • A G I N O R S T A E M L E L P

  • A G I N O R S T A E E L M P X

  • A A E E G I L M N O P R S T X



Kaldtr er

16

8

8

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

21

10

11

6

5

5

5

2

3

3

3

2

2

3

3

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Kaldtræer

8


Vurdering af sortering ved fletning
Vurdering af sortering ved fletning

  • Fordele:

  • er ufølsom over for startorden i inddata

  • kræver cirka N log2N sammenligninger for at sortere enhver fil C(N) = 2C(N/2) + N, C(1) = 0

  • er stabil

  • kan benyttes til at sortere lister

  • er velegnet til ekstern sortering

  • Ulemper:

  • kræver (i praksis) ekstra plads proportional med N


Stabile metoder
Stabile metoder

  • En sorteringsmetode siges at være stabil, hvis den bevarer den relative orden af poster med samme nøgle i filen.

At en metode er stabil kan være hensigtsmæssigt ved sortering på flere nøgler.

Hans 9 Arne 9 Jørgen 03

Karen 11 Erling 11 Mette 7

Jørgen 03 Hans 9 Niels 7

Niels 7 Jørgen 03 Arne 9

Mette 7 Karen 11 Hans 9

Arne 9 Mette 7 Erling 11

Erling 11 Niels 7 Karen 11

Sorter på første nøgle. Derefter på anden.

For samme anden nøgle bevares rækkefølgen for ens nøgler fra første sortering.


Empirisk unders gelse af mergesort
Empirisk undersøgelse af mergesort

  • Tid i sekunder:

  • Metode N = 32000 64000 128000 256000 512000 102400

  • mergesort 0.06 0.12 0.25 0.54 1.15 2.67

  • quicksort 0.03 0.05 0.09 0.17 0.36 0.76

  • shellsort 0.04 0.08 0.18 0.41 1.03 2.37


Kompleksiteten af sortering
Kompleksiteten af sortering

  • Enhver sorteringsalgoritme, der er baseret på nøglesammenligninger, kræver i værste tilfælde mindst cNlog2N sammenligninger for at sortere N elementer, hvor c er en konstant > 0.

Uformelt bevis:

Sortering er ækvivalent med bestemmelse af en permutation. Sortering kan derfor modelleres ved et beslutningstræ, hvor hver interne knude svarer til en sammenligning af to nøgler, mens hver eksterne knude svarer til en af de N! mulige permutationer. Højden i dette træ er mindst log2(N!).

Af Stirlings formel

fås

log2(N!) ≈ Nlog2N - 1.44N.


Kriterier for valg af sorteringsmetode
Kriterier for valg af sorteringsmetode

  • • Størrelse af nøgler (sammenligninger)

  • • Størrelse af poster (flytninger/ombytninger)

  • • Størrelse af fil (elementær/avanceret metode)

  • • Nøgletype (sammenligninger/radix)

  • • Mange ens nøgler?

  • • Er filen næsten sorteret?

  • • Kræves stabilitet?



Behovet for tilfældige tal

  • Mange anvendelser: • Programafprøvning (generering af tilfældige inddata)

    • Sortering (f.eks. bestemmelse af pivot-elementet i quicksort)

    • Simulering (f.eks. generering af kunders ankomst til en bank)

    • Spil (f.eks. valg af åbningstræk)

    • Randomiserede algoritmer (f.eks. test af om et tal er et primtal)


Generering af tilfældige tal

Ægte tilfældighed på en computer er umuligt at opnå.

Vi må nøjes med pseudotilfældige tal, d.v.s. tal der forekommer at være tilfældige.

Sekvenser af genererede tal skal kunne modstå en lang række statistiske tests.

For det meste benyttes en lineær kongruens generator (Lehmer, 1951): Xi+1 = AXi + B (mod M) hvor Xi+1, Xi, A, B og M er heltal.

X0 kaldes for generatorens sæd.

A, B og M skal vælges således, at længden af en sekvens (perioden) bliver så lang som muligt. M bør være et stort primtal.


Generering af tilfældige tal i Java

Java tilbyder klassen java.util.Random.

public class Random {

public Random();

public Random(long seed);

public int nextInt();

public long nextLong();

public float nextFloat();

public double nextDouble();

public double nextBytes(byte[] bytes);

public double nextGaussian();

public void setSeed(long seed);

protected int next(int bits);

}


Til generering af tilfældige heltal benyttes Lehmers metode

public class Random {

private long seed;

private final static long multiplier = 0x5DEECE66DL; // = 25214903917

private final static long addend = 0xBL; // = 11

private final static long mask = (1L << 48) - 1;

public Random() { this(System.currentTimeMillis()); }

public Random(long seed) {

this.seed = (seed ^ multiplier) & mask;

}

public int nextInt() { return next(32); }

protected int next(int bits) {

long nextseed = (seed * multiplier + addend) & mask;

seed = nextseed;

return (int) (nextseed >>> (48 - bits));

}

}


void permute(Object[] a) {

Random r = new Random();

for (int i = 1; i < a.length; i++)

swap(a, i, r.nextInt(i + 1));

}

Generering af tilfældige permutationer

(kan f.eks. benyttes til blanding af kort)


Ugeseddel 623. oktober - 30. oktober

  • • Læs kapitel 10 og 11

  • Løs følgende opgaver

  • Opgave 20: 8.2 (1 point)

  • Opgave 21: 8.11 (2 point)

  • Opgave 22: Se de næste sider (4 - 6 point, ikke-obligatorisk)

  • Afleveringsfrist: tirsdag den 6. november