คณิตศาสตร์

1. คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

2. ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้ง สามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา

3. DE ˆ ˆ ˆ B C A A B C B C A พิสูจน์ DE//AB สร้าง ผ่านจุดCให้ 0 + 180 + = D C E A B กำหนดให้ DABCเป็นรูปDใดๆ ต้องการพิสูจน์ว่า

4. D C E DE AB A B AC เป็นเส้นตัด และ เนื่องจาก ˆ ˆ D C C A B A = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

5. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B D A E E C C B C C B C A A B = 0 + 180 + = D C E A B (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) (ขนาดของมุมตรง)

6. D C E A B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B A C C B D E A C C A B C A C C B B A A B C B B C C A B A (แทน ด้วย และ ด้วย ) 0 0 + + 180 180 + + = = (สมบัติการเท่ากัน)

7. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A A C C C C C D D B D B เรียก และ ว่าเป็นมุมประชิด เรียก ว่ามุมภายนอก หรือกล่าวว่า เป็นมุมประชิดของ A กำหนดD ABC และต่อด้านBC ออก ไปทางจุด C ถึงจุด D ของ DABC B D C

8. ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของ รูปสามเหลี่ยมออกไป มุม ภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เท่ากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไม่ใช่มุม ประชิดของมุมภายนอกนั้น

9. A ˆ ˆ ˆ ˆ B C D A A C A B C C A B D D D กำหนดให้ DABCมี เป็นมุม ออกไปทางจุด C BC ต้องการพิสูจน์ว่า = + ภายนอกที่ได้จากการต่อ

10. A เนื่องจาก + = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B C D B A A B C A C C B C B C A D A (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 0 0 0 + 180 180 180 + = (ขนาดของมุมตรง)

11. A จะได้ + + + = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B C D B A A A C A B C B C C C C B B A A C C A C A B D D A B ดังนั้น + = (นำ มาลบทั้งสองข้างสมการ) (สมบัติของการเท่ากัน)

12. ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมี มุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่และ ด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากัน คู่หนึ่ง แล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

13. ˆ ˆ ˆ ˆ A D C F A B E D F B C E, = = A D C F B E กำหนดให้ DABCและDDEF มี และ BC = EF ต้องการพิสูจน์ว่าDABC @ DDEF

14. เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B F C C A A D A E D B B A C E, F C B C B A = = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 0 0 + 180 180 + = A D C F B E (กำหนดให้)

15. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B F F D E D E A C F D D E F B A C E D F D E A F E C B + + + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 0 0 + 180 180 + = A D C F B E (สมบัติการเท่ากัน)

16. ˆ ˆ ดังนั้น = B E F C A D A D C F B E (สมบัติการเท่ากัน) BC = EF (กำหนดให้) ดังนั้น DABC @ DDEF(ม.ด.ม.)

17. รูปสามเหลี่ยมสองรูปใดมีขนาด ของมุมเท่ากันสองคู่ และมีด้านที่อยู่ ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนี้เท่ากันทุกประการนั้นมี ความสัมพันธ์แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

18. 120 0 ˆ ˆ A O C O D D = 36 0 = AB//CD ตัวอย่าง กำหนดให้ และมี และ ตัด ที่จุดO BD AC จงหาค่า x B X C O 36 36 120 D A

19. AB//CD เนื่องจาก มี เป็นเส้นตัด AC ˆ ˆ B O C A D O = = จะได้ 36 0 B X C O 36 36 120 D A (กำหนดให้ ) (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

20. เนื่องจาก เป็น B X C O 36 36 120 D A ˆ ˆ ˆ ˆ A A C D D C O O D D O O ดังนั้น + = มุมภายนอก DCOD (ขนาดมุมภายนอกของรูปDเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

21. จะได้ = + 180 120 120 0 0 0 - = = ˆ ˆ ˆ ˆ C C C C D D D D O O O O เนื่องจาก + = 84 x 36 36 0 0 0 0 B X C O 36 84 36 120 D A (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียว กันของเส้นตัดเส้นขนานรวมกัน เท่ากับ 180 องศา)

22. 180 180 0 0 จะได้ + = x x 84 x 96 84 0 0 0 0 0 0 - = ดังนั้น = B X C O 36 36 84 120 D A

23. AB//CD จงหาค่า x 1.จากรูป กำหนดให้ เนื่องจาก AB//CD E A 68 x 64 ˆ ˆ ˆ = B B A A C A E C C B C = 0 68 68 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) (สมบัติการเท่ากัน)

24. x x x 0 0 0 E A ˆ ˆ ˆ B A B A C B C A C 68 x 64 + + = B C = - - (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 180 48 68 68 180 64 180 180 64 + = = 68

25. ˆ ˆ C A C E E D AB//CD 2. จากรูป กำหนดให้ มี เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y และ B A x 105 D y E C

26. วิธีทำ = + ˆ ˆ A B D C C D 0 180 (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้น ตัดแล้วขนาดของมุม ภายในข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกัน เท่ากับ 180 องศา) B A x 105 D y E C

27. = - = = x = + ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A C C C C D D D D x = 0 0 0 0 0 0 105 75 180 75 105 180 B A x 105 D y E C (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) (สมบัติการเท่ากัน)

28. = y y y 0 0 0 เนื่องจาก + + = = - ˆ A C D y = 0 0 0 0 0 0 75 15 90 90 90 75 B (ขนาดของมุมฉาก) A x 105 D 75 y E C นั่นคือ x = 75 , y = 15