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LINGO 在图论中的应用

LINGO 在图论中的应用. 3. D. 1. 2. B. 3. 1. E. G. A. 3. 2. 4. 3. C. 4. 1. F. 一、最短路问题. 0 － 1 规划法建模. 目标函数是最短路上的各条弧的长度之和 ( 总里程 ) 最小，于是最短路问题可以用如下 0 － 1 规划来描述： 式中 表示全体边的集合 。. 对于上例，编写 LINGO 程序如下： model: sets: cities/A,B,C,D,E,F,G/; ! 定义 7 个城市 ;

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LINGO 在图论中的应用

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  1. LINGO在图论中的应用

  2. 3 D 1 2 B 3 1 E G A 3 2 4 3 C 4 1 F 一、最短路问题

  3. 0－1规划法建模 目标函数是最短路上的各条弧的长度之和(总里程)最小，于是最短路问题可以用如下0－1规划来描述： 式中 表示全体边的集合。

  4. 对于上例，编写LINGO程序如下： model: sets: cities/A,B,C,D,E,F,G/; !定义7个城市; roads(cities,cities)/ A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, X; !定义哪些城市之间有路相联，W为里程，X为0－1型决策变量; endsets data: W=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4; enddata

  5. N=@SIZE(CITIES); MIN=@SUM(roads:W*X); @FOR(cities(i) | i #GT# 1 #AND# i #LT# N: @SUM(roads(i,j): X(i,j))=@SUM(roads(j,i): X(j,i))); @SUM(roads(i,j)|i #EQ# 1:X(i,j))=1; @SUM(roads(i,j)|j #EQ# N:X(i,j))=1; end

  6. 计算结果与动态规划法相同．程序中的最后一个约束方程可以去掉，因为有了前面两个约束条件(共n-1个约束方程)可以导出最后一个约束方程，即终点的约束方程与前面n-1个约束方程线性相关．保留该约束方程，LINGO求解时也不会产生任何问题，因为LINGO会自动删除多余的方程．计算结果与动态规划法相同．程序中的最后一个约束方程可以去掉，因为有了前面两个约束条件(共n-1个约束方程)可以导出最后一个约束方程，即终点的约束方程与前面n-1个约束方程线性相关．保留该约束方程，LINGO求解时也不会产生任何问题，因为LINGO会自动删除多余的方程． 该方法与前面的方法相比，灵活性稍差，它一次只能求出指定起点到指定终点的最短路，如果更改起点，则必须改动程序然后重新求解．

  7. 二、 旅行售货商模型 旅行售货商问题(又称货郎担问题，Traveling Salesman Problem简称TSP模型），是运筹学的一个著名命题。 模型：有一个推销商，从某个城市出发，要遍访若干城市各一次且仅一次 ，最后返回出发城市。已知从城市i到j的旅费为Cij，问他应按怎样的次序访问这些城市，使得总旅费最少？ 称能到每个城市一次且仅一次的路线为一个巡回(圈)。

  8. TSP是典型的组合优化问题，也是公认的NP完全难题。TSP是典型的组合优化问题，也是公认的NP完全难题。 不算出发地。n个城市有(n-1)!种排列方法，每一种旅行路线是排列中的一种，当n变大时，计算量呈指数增长，穷举法所费时间是难以承受的。 为此，多年以来有许多人研究了一些近似算法。 我们把TSP问题转化为0-1规划，然后用LINGO来求解。

  9. 1. 方法一：判断各边是否包含在旅行路线中 引入0-1整数变量xij(且i≠j)：xij=1表示路线从i到j，即边i-j在旅行路线中，而xij＝0则表示不走i-j路线 目标函数 首先必须满足约束条件：对每个城市访问一次且仅一次。从城市i出发一次(到其它城市去),表示为

  10. 引入0-1整数变量xij(且i≠j)：xij=1表示路线从i到j，xij＝0则表示不走i-j路线引入0-1整数变量xij(且i≠j)：xij=1表示路线从i到j，xij＝0则表示不走i-j路线 目标函数 首先必须满足约束条件：对每个城市访问一次且仅一次。从城市i出发一次(到其它城市去),表示为 从某个城市到达j一次且仅一次，表示为： 以上建立的模型类似于指派问题的模型，对TSP问题只是必要条件，并不充分。

  11. 3 6 4 5 1 2 例如，用图示路线连接六个城市，满足以上两个约束条件，但这样的路线出现了两个子回路，两者之间不通，不构成整体巡回路线。 为此需要考虑增加充分的约束条件以避免产生子巡回。下面介绍一种方法： 增加变量ui,i=2,3,…,n，（它的大小可以取整数：例如从起点出发所达到的城市u=2,依此类推）。

  12. 附加约束条件： ui-uj+nxij≤n-1,i=1,…,n，j=2,…,n，且i≠j。

  13. TSP问题可以表示为规划：

  14. TSP问题的LINGO模型 !旅行售货员问题; model: sets: city / 1..6/: u;! 定义6个城市; link( city, city): dist, ! 距离矩阵; x; !决策变量; endsets n = @size( city);

  15. data: !距离矩阵; dist =0 702 454 842 2396 1196 702 0 324 1093 2136 764 454 324 0 1137 2180 798 842 1093 1137 0 1616 1857 2396 2136 2180 1616 0 2900 1196 764 798 1857 2900 0; !这里可改为你要解决的问题的数据; enddata !目标函数; min = @sum( link: dist * x);

  16. @FOR( city( K): !进入城市K; @sum( city( I)| I #ne# K: x( I, K)) = 1; !离开城市K; @sum( city( J)| J #ne# K: x( K, J)) = 1; ); !保证不出现子圈; @for(city(I)|I #gt# 1: @for( city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J: u(I)-u(J)+n*x(I,J)<=n-1); ); !限制u的范围以加速模型的求解，保证所加限制并不排除掉TSP问题的最优解; @for(city(I) : u(I)<=n-1 ); @for( link: @bin( x));!定义X为0\1变量; end

  17. 计算结果： 目标函数值：6610 路线：1-3-6-2-5-4-1

  18. 2. 方法二：对城市排序，找出最优排序 在现实中的城市交通图中，有些城市之间有直接道路，有些则没有，如果两点之间没有直接的通路，则两点之间的距离取最短路（经过其它点），即用任意两点之间的最短路Cij作为图的距离矩阵，于是该图可以看成是一个完全图（即任意一对顶点都有一条边相连的图），此时形式上的环形巡回路线实际上个别点有可能不止经过一次。

  19. 设某个城市为旅行的出发地和终点（相当于总部所在地），旅行者从该城市出发到其它n个城市各一次且仅一次，最后回到出发地。我们把行进路线分成n步，每一步到一个城市（第n+1步返回出发地），于是一条旅行路线就相当于n个城市的一种排列，n个城市共有n!种排列方式。排序不同则总里程（或费用）可能不同，总里程（或总费用）最小的排序就是我们要寻找的最优路线。设某个城市为旅行的出发地和终点（相当于总部所在地），旅行者从该城市出发到其它n个城市各一次且仅一次，最后回到出发地。我们把行进路线分成n步，每一步到一个城市（第n+1步返回出发地），于是一条旅行路线就相当于n个城市的一种排列，n个城市共有n!种排列方式。排序不同则总里程（或费用）可能不同，总里程（或总费用）最小的排序就是我们要寻找的最优路线。

  20. 引入0-1型决策变量Xkj，下标k表示旅行的步数，下标j表示到达哪一个城市，Xkj=1表示旅行者第k个目的地（到达点）是城市j，Xkj=0则表示否。用lj表示总部到各城市的距离，用Cij表示城市i与城市j之间的最短路。引入0-1型决策变量Xkj，下标k表示旅行的步数，下标j表示到达哪一个城市，Xkj=1表示旅行者第k个目的地（到达点）是城市j，Xkj=0则表示否。用lj表示总部到各城市的距离，用Cij表示城市i与城市j之间的最短路。 从出发地到第1个点的路程为 从最后一个点返回出发地的里程为

  21. 假设在第k步邮车达到城市i，在第k+1步达到支局j，即Xki=Xk+1,j=1，则走过的里程为：假设在第k步邮车达到城市i，在第k+1步达到支局j，即Xki=Xk+1,j=1，则走过的里程为： Cij·Xki·Xk+1,j 从第1点到第n点走过的总里程为 目标函数为

  22. 约束条件有以下2条： (1) 每一步到达一个城市，即 (2) 每一个城市必须到一次且只需一次，即

  23. 综上所述，可以把TSP问题转化成如下非线性0-1规划综上所述，可以把TSP问题转化成如下非线性0-1规划

  24. 以上规划种允许包含其它约束条件。 用LINGO可以求解该规划，举例如下。 某县邮局和10个乡镇支局组成该县的邮政运输网络，已知县局到各支局的距离和支局之间的距离矩阵（数据在程序中）。用一辆邮车完成邮件运输任务，邮车从县局出发到各支局去一次且只需一次，最后回到县局，求总路程最短的行驶路线。

  25. 编写LINGO程序如下： MODEL: SETS: CITY/1..10/: JL; STEP/1..10/; LINE( STEP, CITY): X; LINKS(CITY,CITY):C; ENDSETS

  26. DATA: JL=71,56,27,30,28,26,15,9,30,27; C= 0,15,44,47,64,83,86,75,93,98 15,0,29,32,49,68,71,60,78,83 44,29,0,20,37,53,42,31,49,54 47,32,20,0,17,36,42,39,60,57 64,49,37,17,0,19,37,37,58,55 83,68,53,36,19,0,18,35,56,47 86,71,42,42,37,18,0,24,38,29 75,60,31,39,37,35,24,0,21,26 93,78,49,60,58,56,38,21,0,29 98,83,54,57,55,47,29,26,29,0; ENDDATA

  27. @FOR( LINE : @BIN( X)); M1=@SIZE(STEP); @FOR(CITY(I): @SUM(STEP(N): X(N,I)) = 1); @FOR(STEP(N):@SUM(CITY(I):X(N,I))=1); L1=@SUM(CITY(I):(X(1,I)+X(M1,I))*JL(I)); LX=@SUM(STEP(N)|N#LT#M1:@SUM(LINKS(I,J):C(I,J)*X(N,I)*X(N+1,J))); MIN=L1+LX; END

  28. 在程序运行前需要对LINGO的参数作必要的设置。在程序运行前需要对LINGO的参数作必要的设置。 对于非线性规划，LINGO提供两种求解方法，一种是“Global Solver”（称为全局优化求解器），另一种是“Multistart Solver”（称为多起点算法），全局优化求解器优点是确保找到全局最优解，缺点是有时需要较长运行时间。多起点算法的优点是节省运行时间，但不能保证找到的解就是全局最优解，多设置起点数往往找到的解就是全局最优解。 点击菜单“Options”，再打开全局优化求解器“Global Solver”选项，可以选或不选“Global Solver”，当选择多起点算法“Multistart Solver”时，需要设置起点数，若选择“Solver Decides”表示由LINGO决定。

  29. 对以上程序，我们选择“Global Solver”，点击菜单“Options”，在全局优化求解器“Global Solver”选项框内打“√”，再点击“确定”。 运行以上程序，费时4分多钟，得到最优解： 目标函数值（总路程）260公里 邮车的行驶路线为： 县局→8→9→10→7→6→5→4→1→2→3→县局

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