Fundamentos matematicos iv
Download
1 / 28

Fundamentos Matematicos IV - PowerPoint PPT Presentation


  • 130 Views
  • Uploaded on

Fundamentos Matematicos IV. Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver. Programacion Lineal. Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b. Tang( α )=a. b. En general, las funciones lineales no estan acotadas.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Fundamentos Matematicos IV' - haroun


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Fundamentos matematicos iv

Fundamentos Matematicos IV

Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver


Programacion lineal
Programacion Lineal

  • Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b.

Tang(α)=a

b


Region Factible


Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7


x+y las restricciones: ≤ 8

x+y ≤ 8

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7


x+y las restricciones: ≤ 8

x+y ≤ 8

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7


x+y las restricciones: ≤ 8

x+y ≤ 8

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7


x+y las restricciones: ≤ 8

x+y ≤ 8

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

(1,7)

(0,7)

(0,2)

(8,0)

(2,0)


x+y las restricciones: ≤ 8

x+y ≤ 8

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Max

f(1,7)=22

f(0,7)=21

f(8,0)=8

f(0,2)=6

Min

f(2,0)=2

Y ≤ 7

(1,7)

(0,7)

(0,2)

(8,0)

(2,0)


  • Ejemplo B: Dada la funcion B(x,y)=3x+8y con las restricciones

  • x+y ≤ 3

  • 2x+y ≤ 5

  • 0≤ x, 0 ≤y

  • Determinar cual de los siguientes puntos pertenece a la region factible y calcular

  • es el valor de la funcion B: (1,1),(1,4),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(3,3),(6,6).

  • Encontrar el valor maximo de la funcion B sobre las restricciones del problema.

(1,1) pertenece ya que 1+1 ≤ 3 y 2+1 ≤ 5, B(1,1)=11

(1,4) NO pertenece ya que 1+4 no es menor que 3

(1,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 2 y el valor es 3 + 8a

(2,1) pertenece ya que 2+1 ≤ 3 y 4+1 ≤5, el valor es 14

(2,2) no pertenece ya que 2+2 no es menor que 3

(2,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 1 y el valor es 6 +8a

(3,3) no pertenece ya que 3+3 no es menor que 3

(6,6) no pertenece ya que 6+6 no e menor que 3


Maximizar B(x,y)=3x+8y restricciones

x+y ≤ 3

2x+y ≤ 5

0≤ x, 0 ≤y

(0,3)24

(0,5)

(2,1)14

(0,3)

(2.5,0)7,5

(2,1)

(3,0)

(5/2,0)


Problema 1: restricciones

Una planta Industrial tiene tres tipos de maquinas M1, M2 y M3 que fabrican

dos productos Pr1 y Pr2. Para producir una unidad de Pr1 se necesitan 2 horas de M1,

1 hora de M2 y 1 hora de M3. Para producir una unidad de Pr2 se necesita una hora de

M1,1 hora de M2 y 3 horaw de M3. Si el numero de horas disponibles de M1 es 70, de M2

es 40 y de M3 es 90 y el beneficio de Pr 1 es 40 euros y el de Pr2 es 60 euros.

¿Cual es el numero de unidades de Pr1 y Pr2 que se necesitan

para maximizar el beneficio?

Maximizar X1*40+X2*60

2*X1+X2 ≤70

1*X1+X2 ≤40

1*X1+3*X2 ≤90


(0,30)->1800 restricciones

(15,25)->2100

(30,10)->1800

(0,0)->0

(35,0)->1400

Maximizar X1*40+X2*60

2*X1+X2 ≤70

1*X1+X2 ≤40

1*X1+3*X2 ≤90

(15,25)

(0,30)

(30,10)

(0,0)

(35,0)


Problema 2 restricciones

Un fabricante de juegos produce dos juegos (Zip y Zap). El margen de los beneficios

es de 30 euros y del segundo es 20 euros. Zip requiere 6 horas de elaboracion, 4 de

ensamblaje y 5 de embalaje. Zap requiere 3 horas de elaboracion, 6 de

ensamblaje y 5 de embalaje. Si se disponen de 54 horas de elaboracion, 48 de

montaje y 50 de embalaje, ¿ Cuantas unidades de cada juego se deben producir

para obtener el maximo beneficio?

Maximixar X1*30+X2*20

6*X1 +3*X2 ≤ 54

4*X1 +6*X2 ≤ 48

5*X1 +5*X2 ≤ 50


Maximixar X1*30+X2*20 restricciones

6*X1 +3*X2 ≤ 54

4*X1 +6*X2 ≤ 48

5*X1 +5*X2 ≤ 50

(0,8)->160

(6,4)->260

(8,2)->280

(9,0)->270

(0,0)->0

(6,4)

(0,8)

(8,2)

(9,0)


El metodo simplex de optimizacion
El metodo Simplex de optimizacion restricciones

Imaginemonos que queremos maximizar

Z= 3x+5y

Sujeto a

x≤4

2y ≤12

2x+3y ≤18

0 ≤x,0 ≤y

(2,6)

(0,6)

(4,3)

(0,0)

(4,0)


(2,6) restricciones

(0,6)

(4,3)

(0,0)

(4,0)

Empezamos en (0,0) y miramos si la funcion crece cuando nos desplazamos por

alguna de las dos aristas que son incidentes a (0,0)


(2,6) restricciones

(0,6)

(4,3)

(0,0)

(4,0)

Iteracion 1:

Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)

Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 0,6)


(2,6) restricciones

(0,6)

(4,3)

(0,0)

(4,0)

Iteracion 2:

Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)

Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 2,6)


Ejemplo restriccionesSimplex:

Maximizar Z=2x1+4x2-x3 con las restricciones

3x2-x3≤ 30

2x1-x2+x3≤ 10

4x1+2x2-2x3 ≤ 40

0 ≤x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3

Primer Paso: Construir la matriz ampliada

Z-2x1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40


Segundo Paso: Construir la tabla asociada a lamatriz ampliada

Z-2x1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0

X4 0 0 3 -1 1 0 0 30

X5 0 2 -1 1 0 1 0 10

X6 0 4 2 -2 0 0 1 40


Z-2x ampliada1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0

X4 0 0 3 -1 1 0 0 30

X5 0 2 -1 1 0 1 0 10

X6 0 4 2 -2 0 0 1 40

Iteracion I

Paso 1: Seleccionar la variable saliente (que tiene el coeficiente más negativo) x2

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X4 30/3=10

X5 10/-1=-10

X6 40/2=20

(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)


Z-2x ampliada1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40

X2 0 0 3 -1 1 0 0 10

X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20

X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion I

Paso 3: Hacemos Gauss en la variable elegida


Z-2x ampliada1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40

X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10

X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20

X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion I

Paso 3: Hacemos que el pivote sea 1 para que luego seamas facil

Solucion iteracion 1: (0 10 0 0 20 20) Z=40


Prueba de optimalidad: Existen valores negativos en la ecuacion principal?

Z-2x1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40

X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10

X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20

X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion II

Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x1

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X2 10/0=INF

X5 20/2=10

X6 20/4=5

(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)


Z-2x ecuacion principal?1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50

X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10

X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10

X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5

Iteracion II

Solucion iteracion 2: (5 10 0 0 10 0) Z=50


Z-2x ecuacion principal?1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50

X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10

X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10

X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5

Iteracion II

Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x3

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X2 10/(-1/3)=-30

X5 10/(4/3)=30/4

X1 5/(-1/3)=-15

(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)


Z-2x ecuacion principal?1-4x2+x3=0

3x2-x3+x4= 30

2x1-x2+x3 +x5= 10

4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 0 3/2 3/4 1/8 230/4

X2 0 0 1 0 1/2 1/4 -1/8 50/4

X3 0 0 0 1 1/2 3/4 -3/8 30/4

X1 0 1 0 0 0 1/4 1/8 30/4

Iteracion III

Sol Final: (30/4, 50/4, 30/4, 0 0 0) Z=230/4


ad