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CONTROLE AVANÇADO. Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN. IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS. Introdução.

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Presentation Transcript
Controle avan ado

CONTROLE AVANÇADO

Prof. André Laurindo Maitelli

DCA-UFRN



Introdu o
Introdução

  • “É a determinação de um modelo matemático que represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída que estão relacionados através de uma função de transferência contínua ou discreta”

  • “É a determinação, com base em entradas e saídas, de um sistema em uma classe de sistemas especificados, ao qual o sistema em teste é equivalente”.

  • Para processos industriais, o modelo pode ser obtido a partir do tratamento das medidas coletadas através de uma realização experimental


Introdu o1

incertezas

entrada

saída

Processo

Técnicas de Identificação

Modelo matemático do processo

Introdução


Etapas
Etapas

  • Planejamento Experimental

    • o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema

    • um bom método de identificação deve ser insensível às características do sinal de entrada

  • Seleção da Estrutura do Modelo

    • pode ser feita a modelagem usando leis físicas

    • a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se tem nenhum conhecimento sobre o processo

    • pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento

  • Estimação de Parâmetros

    • baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma classe de modelos e um critério

  • Validação

    • verificação da adequação do modelo escolhido


La o de identifica o

conhecimento

a priori

Planejamento Experimental

Dados

Conjunto de modelos

Critério

Avaliação do modelo

Não OK

revisar

Validação

OK

usar

Laço de Identificação

  • * O modelo pode ser deficiente devido a:

  • falha do procedimento numérico

  • critério mal escolhido

  • conjunto de modelos inapropriado

  • dados não informativos


Procedimentos
Procedimentos

  • Diferentes procedimentos para a geração do sinal de entrada, medição da saída e armazenamento dos dados:

    • Teste de resposta ao degrau

    • Teste de resposta em freqüência

    • Off-line

    • On-line


Procedimentos1

entrada

saída

Armazenamento de dados

Processo

Procedimentos

  • Identificação de um processo pelo teste de resposta ao degrau:

  • O teste só tem validade para processos lineares ou não-lineares linearizados em pontos de operação

  • Não permite a identificação de modelos de ordem superior, pois o degrau tem pobre composição em freqüência


Procedimentos2

entrada

saída

Analisador de Espectro

Processo

módulo

fase

Procedimentos

  • Identificação de um processo pelo teste de resposta em freqüência:

  • Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável na entrada do processo

  • Analisa-se as curvas de resposta em freqüência, identificando-se pólos e zeros


Procedimentos3
Procedimentos

  • Identificação off-line:

    • Excita-se o processo e armazenam-se as medidas de entrada e saída para aplicação e avaliação a posteriori dos algoritmos não recursivos

    • É necessário o conhecimento da estrutura do modelo, envolvendo ordem e atraso de transporte


Procedimentos4
Procedimentos

  • Identificação on-line:

    • Excita-se o processo e trata-se em tempo real as medidas de entrada e saída obtidas

    • A aplicação em tempo real dos algoritmos de identificação é interessante para o rastreamento dos parâmetros variantes no tempo

    • Supera uma desvantagem da aplicação off-line que é a necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de dados.


Estima o de par metros

ESTIMADOR

Estimação de Parâmetros

Serão considerados modelos ARMAX:


M todo dos m nimos quadrados
Método dos Mínimos Quadrados

Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:

Definindo:

Tem-se:



M todo dos m nimos quadrados1
Método dos Mínimos Quadrados

  • Problema a ser resolvido:

    • Dados Y e X, obter θ

  • Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a função erro J:

Mínimo quando:


M todo dos m nimos quadrados2

yr

Min Σ

yp

x

Método dos Mínimos Quadrados

  • Observações:

    • A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-inversa, for não-singular

    • A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve garantir a existência da não-singularidade

    • Se não houver a presença de incertezas (ruídos) podemos achar em N=n+m passos

    • A matriz X cresce a medida que N cresce


Exemplo1
Exemplo

Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada:

u(0)=1 e u(1)=-1

Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1

y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8


Propriedades estat sticas do estimador
Propriedades Estatísticas do Estimador

  • Assumindo que e(k) é uma variável aleatória independente, gaussiana com média zero e variância σ2, ou seja,

1) Média

Mas

Logo:


Propriedades estat sticas do estimador1
Propriedades Estatísticas do Estimador

2) Covariância

Assim,

Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias

de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ


Propriedades estat sticas do estimador2
Propriedades Estatísticas do Estimador

Para N observações:

Calculando:

Se o estimador for consistente:

em que Γ é uma matriz constante não-singular

Então,


Propriedades estat sticas do estimador3
Propriedades Estatísticas do Estimador

Conclusão:

Se e

Então quando

O estimador é consistente


M todo dos m nimos quadrados recursivo
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

  • Ideal para aplicações on-line em sistemas com parâmetros constantes e desconhecidos

Generalizando, temos:


M todo dos m nimos quadrados recursivo1
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

Considerando:

Já sabemos que:

Logo, com (N+1) amostras:


M todo dos m nimos quadrados recursivo2
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

Lema de Inversão de Matrizes:

Sejam Anxn

bnx1, cnx1

A, (A+bcT) matrizes não-singulares

Então:


M todo dos m nimos quadrados recursivo3
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

Definindo:

E usando o lema de inversão de matrizes, com:

Temos que:


M todo dos m nimos quadrados recursivo4
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

Assim:

Finalmente, temos que:


M todo dos m nimos quadrados recursivo5
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

Assim:

Em que:

É chamado deregressor e contém as informações de

entrada e saída


Sele o de p 0 e
Seleção de P0 e

1) Calculando os primeiros k pontos:

2) arbitrário

Na k-ésima iteração os valores de e se aproximam

daqueles calculados em 1) se α→infinito




Sele o de p 0 e3
Seleção de P0 e

Conclusão:

Para (α grande) e arbitrário:

Isto significa que, nestas condições, o método recursivo

aproxima-se do exato.


Excita o persistente

+1

-1

Excitação Persistente

  • O sinal de controle deve ser escolhido de forma a excitar todos os modos do sistema;

  • Para tanto deve ser rico em freqüências

  • Um sinal muito utilizado na prática é o PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por possuir estas características


M todo dos m nimos quadrados recursivo com fator de esquecimento
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento

  • Utilizado para sistemas variantes no tempo;

  • A idéia é dar um maior “peso” aos dados mais atuais;

  • Deve-se ter um cuidado na escolha do fator de esquecimento;

  • Alternativamente, pode-se utilizar outros métodos como o “reset” da matriz de covariância.


M todo dos m nimos quadrados recursivo com fator de esquecimento1
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento

Definindo:


M todo dos m nimos quadrados recursivo com fator de esquecimento2
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento

Assim,


M todo dos m nimos quadrados recursivo com fator de esquecimento3
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento


M todo dos m nimos quadrados recursivo com fator de esquecimento4
Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento

Definindo:

E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,

obtém-se:

Usualmente λ entre 0.995 e 1


Sele o da estrutura do modelo
Seleção da Estrutura do Modelo

  • A seleção da estrutura de um modelo, no caso de sistemas monovariáveis limita-se à determinação da ordem do modelo e a determinação do atraso de transporte;

  • A partir desta afirmação surge um compromisso entre a capacidade de representação da dinâmica essencial do sistema e um número adequado de parâmetros que possibilite menor esforço para o processamento dos algoritmos de identificação e controle;


Sele o da estrutura do modelo1
Seleção da Estrutura do Modelo

  • Definindo:

  • Podemos utilizar o critério de Akaike para determinar a melhor estrutura:

  • em que N é o numero de medidas realizadas durante o experimento e p é o número de parâmetros utilizados no modelo estimado;


Sele o da estrutura do modelo2
Seleção da Estrutura do Modelo

  • O critério é utilizado da seguinte maneira:

    • inicia-se com a utilização de um modelo de baixa ordem, n=m=1, por exemplo;

    • aumenta-se a ordem do modelo estimado e o critério é avaliado para cada incremento na ordem, utilizando um determinado conjunto de medidas;

    • A escolha da estrutura adequada é baseada na menor taxa de variação do critério.


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