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第二章 直線與圓

第二章 直線與圓. 2-1 直線方程式及其圖形. 目錄. 2-1 直線方程式及其圖形 甲 ﹑ 直線的斜率 乙 ﹑ 直線方程式 丙 ﹑ 直線的平行與垂直 丁 ﹑ 二元一次方程組的解與其幾何意義. 請看課本 p.84. 我們在第一冊討論過一次函數 y ＝ ax ＋ b 坐標平面的圖形為一直線 , 並利用 來定義直線的斜率 , 藉此討論直線的傾斜程度 , 底下我們再進一步探討直線的斜率與直線方程式及其圖形. 例題 1. 隨堂練習 1-1. 下一主題. (a). (b). 甲 ﹑ 直線的斜率. 請看課本 p.84.

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第二章 直線與圓

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  1. 第二章 直線與圓 2-1直線方程式及其圖形

  2. 目錄 • 2-1直線方程式及其圖形 • 甲﹑直線的斜率 • 乙﹑直線方程式 • 丙﹑直線的平行與垂直 • 丁﹑二元一次方程組的解與其幾何意義

  3. 請看課本p.84 • 我們在第一冊討論過一次函數y＝ax＋b坐標平面的圖形為一直線, 並利用 • 來定義直線的斜率, 藉此討論直線的傾斜程度, 底下我們再進一步探討直線的斜率與直線方程式及其圖形. 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  4. (a) (b) 甲﹑直線的斜率 請看課本p.84 • 　　設 A ( x1, y1 ) , B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , D ( x4 , y4 )為直線 L 上相異四點, 其中x1≠x2 , x3≠ x4, 今過A,C分別作直線平行x軸, 過B,D分別作直線平行y軸, 如圖(a)(b)所示. 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  5. 請看課本p.84 • 因為△ABE ~△CDF , 所以　　　　 （相似三角形對應邊成比例）, • 由圖(a)可得 •  由圖(b)可得 • 　整理得 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  6. 設 A ( x1, y1 ) , B ( x2 , y2 ) 為直線L上相異兩點, 若x1x2 , 則稱 為直線 L的斜率. 若x1 = x2, 則直線 L為鉛直線, 我們規定鉛直線L的斜率不存在. 請看課本p.84 • 　　由上述的討論可知, 若在直線L上任取相異兩點, 則這兩點縱坐標y與橫坐標x的相對變化之比值為一定值, 我們稱此定值為直線L的斜率,定義如下： 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  7. 請看課本p.85 • 由斜率的定義與上述討論可知： • 若直線 L 為水平線 （y1 = y2）, 則這條直線的斜率 m = 0. • 一條直線的斜率m是一定值, 不會因為選取的兩點不同而改變. • 當直線L與x軸相交於一點時, 將x軸繞著交點逆時針方向旋轉到和直線L重合所轉的最小正角, 稱之為直線L的傾斜角.如圖所示. 另當直線L與x軸平行或重合時, 其傾斜角為0°. 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  8. 請看課本p.85 • 設一直線L的傾斜角為θ（θ≠90°）, 則根據廣 • 義角正切的定義可知 • 所以, tanθ也可以用來表示直線的斜率.例如：若一直線的傾斜角為45°, 則此直線的斜率為tan45°=1. 例題1 隨堂練習1-1 下一主題

  9. 例題1 請看課本p.85 設L1 , L2為過原點O的直線, 如右圖所示. 試說明L1 , L2的斜率為正或為負？　試比較L1 , L2斜率的大小 . • 解：設L1的斜率為m1, L2的斜率為m2 . • 方法一 • 作直線L: x = 1, • 則直線L與L1 , L2的交點 • 分別為(1, y1) ,(1, y2), • 則 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  10. 例題1 請看課本p.86 設L1 , L2為過原點O的直線, 如右圖所示. 試說明L1 , L2的斜率為正或為負？　試比較L1 , L2斜率的大小. • 解： • 　因為 ( 1 , y1 ), ( 1 , y2 ) 在第一象限, 　所以y1 0, y2 0, 故m1 0, m2 0 . • 因為 ( 1 , y1 ) 在 ( 1 , y2 ) 的上方, 　所以　y1y2 , , 故m1 > m2. 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  11. 例題1 請看課本p.86 設L1 , L2為過原點O的直線, 如右圖所示. 試說明L1 , L2的斜率為正或為負？　試比較L1 , L2斜率的大小. • 解：方法二 • 設L1, L2的傾斜角分別為θ1, θ2, • 則L1, L2的斜率分別tanθ1, tanθ2. • 因為0°<θ1<90°, 0°<θ2<90°, • 所以 tanθ1>0, tanθ2>0. • 故　m1 0, m2 0. 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  12. 例題1 請看課本p.86 設L1 , L2為過原點O的直線, 如右圖所示. 試說明L1 , L2的斜率為正或為負？　試比較L1 , L2斜率的大小. • 解： • 當0°<θ<90°時, 且θ愈大時, • tanθ的值也會愈大, • 所以當0°<θ2<θ1<90°時, • tanθ2< tanθ1, 故m2< m1. 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  13. 隨堂練習1-1 請看課本p.86 設L1 , L2為過原點O的直線, 如右圖所示.試說明L1 , L2的斜率為正或為負？試比較L1 , L2斜率的大小. • 解： • 過(1, 0)作一直線垂直x軸, • 分別交L1, L2於(1, y1), (1, y2)兩點, 則y1 < y2 < 0, • 又因為L1的斜率為 • 同理L2的斜率為y2, 所以 • L1, L2的斜率為負. • L2的斜率大於L1的斜率. 例題1 隨堂練習1-1 返回 下一主題

  14. 請看課本p.87 • 　　由斜率的定義, 我們可推知直線傾斜的方向﹑傾斜的程度和斜率的關係如下： •  當直線 L 由左下方往右上方上升時, 其斜率為正, 且傾斜程度愈大, 其斜率愈大. •  當直線 L 由左上方往右下方下降時, 其斜率為負, 且傾斜程度愈大, 其斜率愈小. 前一主題 隨堂練習1-2 返回 下一主題

  15. 隨堂練習1-2 請看課本p.87 設ABCDE是坐標平面上一個正五邊形且 軸, 試將直線AB的斜率, 直線BC的 斜率, 直線CD的斜率, 直線DE的斜率, 直 線EA的斜率由大到小排列. • 解： • 設直線AB的斜率為m1, 直線BC的斜率為m2, • 直線CD的斜率為m3, 直線DE的斜率為m4, • 直線EA的斜率為m5, 前一主題 隨堂練習1-2 返回 下一主題

  16. 隨堂練習1-2 請看課本p.87 設ABCDE是坐標平面上一個正五邊形且 軸, 試將直線AB的斜率, 直線BC的 斜率, 直線CD的斜率, 直線DE的斜率, 直 線EA的斜率由大到小排列. • 解： • (a)因為m1 > 0且m4 > 0, 而且　　傾斜程度比　　 大, 所以m4 > m1. • (b)m3 = 0. • (c)因為m2 < 0且m5 < 0, 而且　　傾斜程度比　　 大, 所以m5 > m2. • 故m4 > m1 > m3 > m5 > m2. 前一主題 隨堂練習1-2 返回 下一主題

  17. 乙﹑直線方程式 請看課本p.87 • 　　我們在國中學過, 坐標平面上的直線可以表示成二元一次方程式ax＋by＋c = 0的形式. 底下我們再以斜率的概念討論之. 前一主題 例題2 下一主題

  18. 例題2 請看課本p.87 求過點A ( 1 , 3 ) 且斜率為 2 的直線方程式. • 解： • 設 P ( x , y ) 為直線上異於A (−1 , 3 ) • 的任意一點, 則由斜率的定義可得 • 即 y − 3 = − 2 [ x − (−1 ) ], • 整理得 2x + y − 1 = 0 , • 又點A的坐標也滿足此式, • 所以過點 A (−1 , 3 ) 且斜率為 2 的直線方程式為 2x + y − 1 = 0. 前一主題 例題2 返回 下一主題

  19. 請看課本p.88 • 　　一般而言, 當直線L過定點 • A (x0 , y0 ) 且其斜率為m時, 如圖, • 我們可仿照例題2的方法推導出 • 直線L的方程式, 說明如下： • 若P( x , y ) 為直線L上異於A的點, • 則　　　　　整理得 y − y0 = m (x − x0 ) . • 又點A ( x0 , y0)也滿足上式. • 我們將上述討論整理如下： 當直線L過定點A (x0 , y0) 且其斜率為m時, 則直線L的方程式為 y −y0 = m (x − x0) . （此式稱為直線L的點斜式） 前一主題 隨堂練習2 例題3 下一主題

  20. 隨堂練習2 請看課本p.88 求過點 A ( 3 , 5 ) 且斜率為　的直線方程式. • 解： • 由點斜式得： • 直線方程式為 • 整理得4x − 3y = 27. 前一主題 隨堂練習2 例題3 返回 下一主題

  21. 例題3 請看課本p.88 求過點 ( 4, 2 ) 且與x軸垂直的直線方程式. • 解： • 設直線L與x軸垂直且經過 ( 4 , 2 ) , • 則直線L上每一點的x坐標都是4 , • 而y坐標可為任意實數, 這時我們通常省略 • 「 y 為任意實數」, 簡記此方程式為 x = 4. 前一主題 隨堂練習2 例題3 返回 下一主題

  22. 請看課本p.89 • 　　仿照例題3的討論, 我們可得下列結果： 當直線過定點A ( x0 , y0 ) 且與x軸垂直（斜率不存在）時, 則直線L的方程式為 x = x0 . 前一主題 隨堂練習3 返回 下一主題

  23. 隨堂練習3 請看課本p.89 設點A (−3 , 5 ), 試求：過A點且與x軸垂直的直線方程式.過A點且與y軸垂直的直線方程式. • 解： • x = 3. • y = 5. 前一主題 隨堂練習3 返回 下一主題

  24. 請看課本p.89 • 　　由上述討論, 不論直線的斜率是否存在, 平面上的直線方程式都可整理化為二元一次方程式 ax + by + c = 0 的形式, 其中 a , b 不全為0. • 　　另外, 當方程式表示成ax + by + c = 0的形式,其中a , b不同時為0 時, 其圖形為一直線, 說明如下: • 若 a 0 , b = 0 , • 則方程式為 ax + c = 0, 即 • 此時方程式的圖形為一鉛直線（ 斜率不存在 ）. 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 下一主題

  25. 請看課本p.89 • 若 a = 0 , b  0, 則方程式為 by + c = 0, • 即 • 此時方程式的圖形為一水平線（斜率為 0 ）. • 若 a 0 , b 0 , • 則方程式為 ax + by + c = 0可化為 • 即 • 由點斜式知道：此時方程式的圖形為過點 • 且斜率是　　的直線. 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 下一主題

  26. 例題4 請看課本p.90 試求直線L：2x + 3y  6=0的斜率. • 解： • 方法一 • 直線的斜率不會因為選取的兩點不同而改變, • 所以可在直線L上取A(3, 0), B(0, 2) 兩點, • 故直線L 的斜率為 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 返回 下一主題

  27. 當b  0時, ax + by + c = 0 的斜率為 例題4 請看課本p.90 試求直線L：2x + 3y −6=0的斜率. • 解： • 方法二 • 因為 2x + 3y −6=0, 整理得 3y − 6=−2x, • 即 • 由點斜式知直線L的斜率是  前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 返回 下一主題

  28. 隨堂練習4 請看課本p.90 試求直線L：3x − 2y  6=0的斜率. • 解： • 因為 3x −2y – 6 = 0, • 整理得 2y + 6 = 3x, • 即 • 由點斜式知直線L的斜率是 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 返回 下一主題

  29. 例題5 請看課本p.90 試求過 A ( 2 , 4 ) , B ( 5 , 2 ) 兩點的直線方程式 . • 解： • 直線 AB 的斜率 • 又此直線過 A ( 2 , 4 ) , • 由點斜式知： • 直線方程式為 • 整理得 2x + 3y  16 = 0. 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 返回 下一主題

  30. 隨堂練習5 請看課本p.90 試求過 A ( 1 , − 4 ) , B ( 3 , 1 ) 兩點的直線方程式.試求過A ( 2 , −1 ) , B ( 3 , −1 ) 兩點的直線方程式. • 解： • 因為直線AB的斜率為 • 由點斜式得：直線方程式為 • 整理得 5x −2y = 13. • 因為直線AB的斜率為 • 由點斜式得：直線方程式為 y−(−1)=0．(x −2), • 整理得 y = − 1. 前一主題 例題4 隨堂練習4 例題5 隨堂練習5 返回 下一主題

  31. 請看課本p.91 • 若直線 L 與 x 軸交於 ( a , 0 ), 則稱直線L的x截距為a.若直線 L 與 y 軸交於 ( 0 , b ), 則稱直線L的 y 截距為b. • 例如： • 直線 L1：2x− y  4 = 0與x軸交於 ( 2 , 0 ) , 與 y 軸交於 ( 0 , −4 ), 所以直線L1的x截距為2 ,y截距為−4. • 直線 L2： x + 1 = 0與x軸交於 ( 1 , 0 ), 與 y 軸沒有交點, 所以直線L2的x截距為 −1, 沒有y截距. 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 下一主題

  32. 例題6 請看課本p.91 若直線L的斜率為3且y截距為4, 求直線L的方程式.  試說明: 若直線L的斜率為m且y截距為b, 則直線L的方程式　 為y =mx + b. • 解： •  因為y截距為4, • 　所以直線L通過( 0 , 4 ), • 又因為直線L的斜率為3, • 由點斜式得 y −4 = 3 ( x  0 ) , • 整理得 y = 3x + 4 . • 所以直線L的方程式為 y = 3x + 4 . 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  33. 例題6 請看課本p.91  若直線L的斜率為3且y截距為4, 求直線L的方程式. 試說明: 　若直線L的斜率為m且y截距為b, 則直線L的方程式　 　為y =mx + b. • 解： • 因為y截距為b, 所以直線L通過( 0 , b ), • 又因為直線L的斜率為m, • 由點斜式得 y − b = m ( x  0 ) , • 整理得 y =mx + b . • 所以直線L的方程式為 y =mx + b . 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  34. 隨堂練習6 請看課本p.92 試求斜率為　　且 y截距為−2的直線方程式. • 解： • 因為y截距為−2, 所以直線通過(0, −2), • 由點斜式得：直線方程式為 • 整理得 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  35. 例題7 請看課本p.92 若直線L的x截距為3, y截距為4, 求直線L的方程式.試說明:設a≠0,b≠0, 若直線L的x截距為a, y截距為b, 則直線L的方程式為 • 解： • 因為直線L的x截距為3且y截距為4, • 所以直線L過兩點 ( 3 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , • 得直線L的斜率為 • 由點斜式得 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  36. 例題7 請看課本p.92 若直線L的x截距為3, y截距為4, 求直線L的方程式.試說明:設a≠0,b≠0, 若直線L的x截距為a, y截距為b, 則直線L的方程式為 • 解： • 整理得 4x + 3y = 12 . • 所以直線L的方程式為 4x + 3y = 12 . • （上式亦可整理得　　　　 ） • 因為直線L的x截距為a且y截距為b, • 所以直線L過兩點( a , 0 ) , ( 0 , b ) , 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  37. 例題7 請看課本p.92 若直線L的x截距為3, y截距為4, 求直線L的方程式.試說明:設a≠0,b≠0, 若直線L的x截距為a, y截距為b, 則直線L的方程式為 • 解： • 得直線L的斜率為 • 由點斜式得 • 整理得bx+ay = ab, 即 • 所以直線L的方程式為 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  38. 隨堂練習7 請看課本p.92 試求x截距為4且y截距為−5的直線方程式. • 解： • 因為x截距為4且y截距為−5, • 所以直線過兩點(4, 0), (0, −5), • 且其斜率為 • 由點斜式得：直線方程式為 • 整理得 前一主題 例題6 隨堂練習6 例題7 隨堂練習7 返回 下一主題

  39. 丙﹑直線的平行與垂直 請看課本p.92 • 　　底下我們來討論在斜率存在的情形下, 當兩直線平行或兩直線垂直時, 此兩直線斜率的關係. • 一﹑兩直線平行 • 如圖所示, L1 , L2為不垂直於x軸的 • 兩平行直線, 且其斜率依次為m1 , m2 . • 設L1 , L2分別交y軸於A (0 , a ), • B (0 , b ) 兩點, • 過 (1 , 0 ) 作一直線L垂直x軸, 設L分別交L1 , L2於D ( 1 , d ), C ( 1 , c )兩點, 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

  40. 請看課本p.93 • 則 • 因為L1 // L2且L // y軸, • 所以四邊形ABCD為平行四邊形, • 故　　　　即a − b = d −c , • 整理得 c− b = d − a , 所以 m1 = m2 . • 反之, 若m1 = m2, 利用上述的方法逆推回去, 可得到 L1 // L2. 我們將上述的結果整理如下： 設相異兩直線L1 , L2都不垂直x軸, 且其斜率依次為m1 , m2 , 若L1 // L2 , 則m1= m2 , 反之亦然. 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

  41. 例題8 請看課本p.93 設坐標平面上有 A ( 2 , 1 ) , B ( 2 , 3 ) , C ( 6 , 5 ) 三點,試求直線AB與直線AC的斜率.請由的結果判斷A , B , C三點是否共線？ • 解： • 設直線AB的斜率為mAB, 直線AC的斜率為mAC .  因為 mAB = mAC , 且兩直線有一共同點A, 故A, B, C三點共線. 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

  42. 隨堂練習8 請看課本p.94 已知坐標平面上三點A ( 1 , 2 ) , B ( a , 3 ) , C ( 2 , 8 ) 在同一直線上, 求a的值 . • 解： • 設直線AB的斜率為m1, 直線AC的斜率為m2, • 則 • 因為A, B, C三點共線, 所以m1 = m2, • 所以 　　　　故 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

  43. 請看課本p.94 • 二﹑兩直線垂直 • 設L1, L2為不垂直於x軸的兩直線,其斜率依次為m1 , m2 , 且L1⊥L2 , • 若L1 , L2不通過原點, 我們可分別將兩直線平行移動, • 使得L1 , L2 通過原點, • 則L1 , L2斜率依然為m1 , m2 , • 如圖,過 ( 1 , 0 ) 作一直線L垂直 • 於x軸, 分別與L1, L2交於 • P1 ( 1 , y1 ) , P2 ( 1 , y2 ) , 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 下一主題

  44. 請看課本p.94 • 則 • 因為 △OP1P2為直角三角形, 由畢式定理可得： • 即 ( y1 − y2 )2 = ( 1 + y 12 ) + ( 1 + y22 ) ,展開得 y12 − 2 y1y2 + y22 = 2 + y12 + y22,整理得 y1y2 = −1 , 所以 m1m2 = y1y2 = −1. • 反之, 若m1m2= −1, 利用上述的方法逆推回去, • 可得到 L1⊥L2. 我們將上述的結果整理如下： 設相異兩直線 L1 , L2 都不垂直x軸, 且其斜率依次為 m1 , m2 , 若 L1⊥L2 , 則 m1m2= −1 , 反之亦然. 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 下一主題

  45. 例題9 請看課本p.94 設A ( 2 , 2 ) , B (−2 , 5 ) , 點P在y軸上, 且 試求點P的坐標？ • 解： • 設直線AP的斜率為m1, 直線BP的斜率為m2, P點坐標為(0, t), • 則 • 因為　　　　則 • 整理得 t2−7t＋6 = 0,因式分解得 (t −1)(t －6) = 0, 解得t = 1或 6, • 所以P點坐標為( 0, 1)或( 0, 6). 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

  46. 隨堂練習9 請看課本p.95 以A ( 1, −3 ) , B ( 7, −1) ,C ( 2 , −6 )為頂點的三角形是否為直角三角形？ • 解： • 設直線AB的斜率為m1, 直線BC的斜率為m2, • 直線AC的斜率為m3, • 則 • 因為m1．m3= −1則 • 所以△ABC為直角三角形. 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

  47. 例題10 請看課本p.95 坐標平面上有一直線 L：3x + 5y = 6 , 試求：與直線L平行且過點 A ( 2 , − 1 ) 的直線方程式.與直線L垂直且過點 A ( 2 , − 1 ) 的直線方程式. • 解： • 直線L：3x + 5y = 6的斜率為 • 與直線L平行的直線的 • 斜率也是 • 又此直線過 A ( 2 , − 1 ) , • 由點斜式知： • 此直線方程式為 • 整理得 3x + 5y − 1 = 0. 若L1// L2 , 則m1 = m2.若L1⊥L2, 則m1m2 = 1.  前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

  48. 例題10 請看課本p.95 坐標平面上有一直線 L：3x + 5y = 6 , 試求：與直線L平行且過點 A ( 2 , − 1 ) 的直線方程式.與直線L垂直且過點 A ( 2 , − 1 ) 的直線方程式. • 解： • 與直線L垂直的直線的斜率是 • 又此直線過A( 2, 1), 由點斜式知： • 此直線方程式為 • 整理得 5x − 3y − 13 = 0. 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

  49. 隨堂練習10 請看課本p.96 坐標平面上直線L：4x + ky = 14, 過點 ( 1, 2 ), 試求：直線L的斜率. 與直線L平行且過A ( −3, 2 ) 的直線方程式.與直線L垂直且過A ( −3, 2 ) 的直線方程式. • 解： • 因為直線L：4x + ky = 14過點(1, 2), • 所以4 + 2k = 14, 即k = 5, • 故直線L方程式為4x + 5y = 14, • 所以斜率為 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

  50. 隨堂練習10 請看課本p.96 坐標平面上直線L：4x + ky = 14, 過 ( 1, 2 ), 試求：直線L的斜率. 與直線L平行且過A ( −3, 2 ) 的直線方程式.與直線L垂直且過A ( −3, 2 ) 的直線方程式. • 解： • 與直線L平行的直線之斜率為　 且過(−3, 2), • 由點斜式得： • 此直線方程式為 • 整理得4x + 5y + 2 = 0. 前一主題 例題9 隨堂練習9 例題10 隨堂練習10 返回 下一主題

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