slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 18

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές - PowerPoint PPT Presentation


  • 145 Views
  • Uploaded on

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές. Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές. Εισαγωγή (1). Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου: Πηγή -source s με d + (s)=0 Νεροχύτης- sink t με d - (s)=0 Χωρητικότητα c(a) " a Î A in(v), out(v), I: intermediate κορυφές V={s} È {t} È {I}

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές' - hao


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Θεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

slide2
Εισαγωγή (1)
  • Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου:
    • Πηγή-sources με d+(s)=0
    • Νεροχύτης-sink t με d-(s)=0
    • Χωρητικότητα c(a) " a Î A
  • in(v), out(v), I: intermediate κορυφές
    • V={s}È{t}È{I}
  • Νόμιμη ροή f, αν:
    • f(a)<c(a) " a Î A(περιορισμός χωρητικότητας)
    • ΣaÎin(v)f(a)=ΣaÎout(v)f(a) (διατήρηση ροής)
  • Κορεσμένο τόξο, αν f(a)=c(a)
    • Αγνοούμε βρόχους και παράλληλες ακμές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

slide3
Εισαγωγή (2)
  • Αποθήκευση: επιπλέον δομές για ροές
  • Συνολική ροή: F= ΣaÎin(v)f(a) - ΣaÎout(v)f(a)
    • Αν υπάρχει μόνο ένα μονοπάτι, τότε F=min{c(i)}
  • Έστω σύνολο κορυφών S
    • Τομή Κ=σύνολο ακμών out(s)Èin(s)
    • Χωρητικότητα τομής c(k)= ΣaÎKc(a)
  • Για κάθε S έτσι ώστε sÎS, tÏS
    • F= ΣaÎout(v)f(a)- ΣaÎin(v)f(a)
  • Maxflow-mincut: 1956, Ford-Fulkerson
    • max(F(N))=min(K(S,S))

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

slide4
Αλγόριθμοι Υπολογισμού Ροών
  • Ford-Fulkerson 1956 O(|A|*F)
  • Edmonds-Karp 1972 O(V*A2)
  • Parzanov+(Malhotra, Kumar, Maheshwari) 1978 O(V3) (πυκνά δίκτυα)
  • Sleator 1980 O(V*A*logV) (αραιά δίκτυα)
  • Goldberg-Tarjan 1986 O(V*A*log(V2/A)) (πυκνά δίκτυα)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 1
Ford-Fulkerson (1)
  • Υλοποίηση με λίστες γειτνίασης
  • Θεωρεί υποκείμενο γράφο και βρίσκει μονοπάτια st που δεν χρησιμοποιούνται κατά τον καλύτερο τρόπο: f(a)<c(a)
  • Προσπαθεί να επαυξήσει τη ροή διαμέσου των μονοπατιών
  • Αυξανόμενα μονοπάτια (augmenting)
  • Υπολογίζει το min slack-διαφορά-χαλαρότητα και ενημερώνει τις ροές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 2
Ford-Fulkerson (2)
  • upper hand στο f είναι το 7
  • 1) S-3-4-2-t slack 2
  • 2) S-1-2-4-t slack 2
  • 3) S-1-2-tslack 1
  • 4) S-3-4-t slack 1
  • Με απλά λόγια, ξεκίνα με μηδενική αρχική ροή, βρες αυξανόμενα μονοπάτια, αύξησε τη ροή μέχρι να μην μπορείς να βρεις τέτοια μονοπάτια
  • Είναι περισσότερο μέθοδος παρά αλγόριθμος

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 3
Ford-Fulkerson (3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 4
Ford-Fulkerson (4)
  • 1) S-1-3-2-4-t slack 4
  • 2) S-1-2-4-3-t slack 7
  • 3) S-2-1-3-t slack 8
  • 4) S-2-3-t slack 4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 5
Ford-Fulkerson (5)

SV1V3V2V4t slack 4

SV1V2V4V3t slack 7

SV2V1V3t slack 8

SV2V3t slack 4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 6
Ford-Fulkerson (6)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ford fulkerson 7
Ford-Fulkerson (7)
  • Εικασία: Καλύτερα μακρινά μονοπάτια
  • Αντιπαράδειγμα:
    • S-1-2-t
    • S-2-1-t
    • 2000 επαναλήψεις αντί για 2
  • Άρα O(A*F)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

edmonds karp
Edmonds-Karp
  • Τροποποίησαν τον αλγόριθμο Ford-Fulkerson με εύρεση μονοπατιών με BFS
  • Ο(V*Α2)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

karzanof malhotra kumar maheshwari 1
Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (1)
  • Εξέταση δικτύου κατά στρώματα (layers)
  • Στηρίζεται στην έννοια του δυναμικού p(v), όπου p(v)=min(ΣaÎin(v)c(a), ΣaÎout(v)c(a))
  • Συνεπώς ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι κορυφές με το μικρότερο δυναμικό
  • Προσπαθούμε να κορέσουμε τις κορυφές αυτές τραβώντας ροή από τις πηγές και ωθώντας την προς το νεροχύτη
  • Στη συνέχεια, απλοποιούμε το δίκτυο και λαμβάνουμε το εναπομείνον δίκτυο
  • Ο(V3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

karzanof malhotra kumar maheshwari 2
Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (2)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

pert 1
PERT (1)
  • Program Evaluation & Review Techniques (U.S. Navy 1958)
  • Πλήθος πρακτικών εφαρμογών όπου πρέπει να συντονισθούν ένα πλήθος εργασιών μη αλληλοκαλυπτόμενων
  • Συμβολίζουμε με κατευθυνόμενο ζυγισμένο γράφο όπου έχουμε δραστηριότητες (ακμές, τόξα) και events/γεγονότα (αρχή, τέλος εργασιών)
  • Ο γράφος πρέπει να είναι άκυκλος. Αυτό διαπιστώνεται με τοπολογική ταξινόμηση

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

pert 2
PERT (2)
  • Μεταβλητές:
    • Κανονικός χρόνος τερματισμού
    • Ελάχιστος χρόνος τερματισμού
    • Ποσό για να μειωθεί ο χρόνος τερματισμού κατά 1 μονάδα
  • Βρίσκουμε το μακρύτερο μονοπάτι (κρίσιμο μονοπάτι)
  • Dijkstra
  • Κρίσιμες/ενεργές & χαλαρές ακμές
  • Πρέπει να δουλεύουμε στις κρίσιμες
  • Κρίσιμο μονοπάτι είναι το μονοπάτι 1-2-3-4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

pert 3
PERT (3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

pert 4
PERT (4)
  • Άπληστη τεχνική: Θα δουλέψουμε όσο πιο φτηνά μπορούμε
    • Επιταχύνουμε την εργασία με το μικρότερο κόστος (2-3) πάντα. Προσέχουμε αν το μονοπάτι είναι ακόμα κρίσιμο
    • Μετά από 1 επανάληψη για το (2-3), έχουμε 2 κρίσιμα μονοπάτια:
      • 1-2-3-4
      • 1-3-4
    • Το (2-3) γίνεται άκαμπτο

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

ad