Θεωρία Γράφων
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 18

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές PowerPoint PPT Presentation


  • 115 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές. Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές. Εισαγωγή (1). Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου: Πηγή -source s με d + (s)=0 Νεροχύτης- sink t με d - (s)=0 Χωρητικότητα c(a) " a Î A in(v), out(v), I: intermediate κορυφές V={s} È {t} È {I}

Download Presentation

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


4209532

Θεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Κεφάλαιο 8: Δίκτυα & Ροές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


4209532

Εισαγωγή (1)

  • Δίκτυο: Γράφος N(V,A) όπου:

    • Πηγή-sources με d+(s)=0

    • Νεροχύτης-sink t με d-(s)=0

    • Χωρητικότητα c(a) " a Î A

  • in(v), out(v), I: intermediate κορυφές

    • V={s}È{t}È{I}

  • Νόμιμη ροή f, αν:

    • f(a)<c(a) " a Î A(περιορισμός χωρητικότητας)

    • ΣaÎin(v)f(a)=ΣaÎout(v)f(a) (διατήρηση ροής)

  • Κορεσμένο τόξο, αν f(a)=c(a)

    • Αγνοούμε βρόχους και παράλληλες ακμές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


4209532

Εισαγωγή (2)

  • Αποθήκευση: επιπλέον δομές για ροές

  • Συνολική ροή: F= ΣaÎin(v)f(a) - ΣaÎout(v)f(a)

    • Αν υπάρχει μόνο ένα μονοπάτι, τότε F=min{c(i)}

  • Έστω σύνολο κορυφών S

    • Τομή Κ=σύνολο ακμών out(s)Èin(s)

    • Χωρητικότητα τομής c(k)= ΣaÎKc(a)

  • Για κάθε S έτσι ώστε sÎS, tÏS

    • F= ΣaÎout(v)f(a)- ΣaÎin(v)f(a)

  • Maxflow-mincut: 1956, Ford-Fulkerson

    • max(F(N))=min(K(S,S))

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


4209532

Αλγόριθμοι Υπολογισμού Ροών

  • Ford-Fulkerson 1956 O(|A|*F)

  • Edmonds-Karp 1972 O(V*A2)

  • Parzanov+(Malhotra, Kumar, Maheshwari) 1978 O(V3) (πυκνά δίκτυα)

  • Sleator 1980 O(V*A*logV) (αραιά δίκτυα)

  • Goldberg-Tarjan 1986 O(V*A*log(V2/A)) (πυκνά δίκτυα)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 1

Ford-Fulkerson (1)

  • Υλοποίηση με λίστες γειτνίασης

  • Θεωρεί υποκείμενο γράφο και βρίσκει μονοπάτια st που δεν χρησιμοποιούνται κατά τον καλύτερο τρόπο: f(a)<c(a)

  • Προσπαθεί να επαυξήσει τη ροή διαμέσου των μονοπατιών

  • Αυξανόμενα μονοπάτια (augmenting)

  • Υπολογίζει το min slack-διαφορά-χαλαρότητα και ενημερώνει τις ροές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 2

Ford-Fulkerson (2)

  • upper hand στο f είναι το 7

  • 1) S-3-4-2-tslack 2

  • 2) S-1-2-4-tslack 2

  • 3) S-1-2-tslack 1

  • 4) S-3-4-tslack 1

  • Με απλά λόγια, ξεκίνα με μηδενική αρχική ροή, βρες αυξανόμενα μονοπάτια, αύξησε τη ροή μέχρι να μην μπορείς να βρεις τέτοια μονοπάτια

  • Είναι περισσότερο μέθοδος παρά αλγόριθμος

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 3

Ford-Fulkerson (3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 4

Ford-Fulkerson (4)

  • 1) S-1-3-2-4-tslack 4

  • 2) S-1-2-4-3-tslack 7

  • 3) S-2-1-3-tslack 8

  • 4) S-2-3-tslack 4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 5

Ford-Fulkerson (5)

SV1V3V2V4tslack 4

SV1V2V4V3tslack 7

SV2V1V3tslack 8

SV2V3t slack 4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 6

Ford-Fulkerson (6)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Ford fulkerson 7

Ford-Fulkerson (7)

  • Εικασία: Καλύτερα μακρινά μονοπάτια

  • Αντιπαράδειγμα:

    • S-1-2-t

    • S-2-1-t

    • 2000 επαναλήψεις αντί για 2

  • Άρα O(A*F)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Edmonds karp

Edmonds-Karp

  • Τροποποίησαν τον αλγόριθμο Ford-Fulkerson με εύρεση μονοπατιών με BFS

  • Ο(V*Α2)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Karzanof malhotra kumar maheshwari 1

Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (1)

  • Εξέταση δικτύου κατά στρώματα (layers)

  • Στηρίζεται στην έννοια του δυναμικού p(v), όπου p(v)=min(ΣaÎin(v)c(a), ΣaÎout(v)c(a))

  • Συνεπώς ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι κορυφές με το μικρότερο δυναμικό

  • Προσπαθούμε να κορέσουμε τις κορυφές αυτές τραβώντας ροή από τις πηγές και ωθώντας την προς το νεροχύτη

  • Στη συνέχεια, απλοποιούμε το δίκτυο και λαμβάνουμε το εναπομείνον δίκτυο

  • Ο(V3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Karzanof malhotra kumar maheshwari 2

Karzanof-Malhotra-Kumar-Maheshwari (2)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Pert 1

PERT (1)

  • Program Evaluation & Review Techniques (U.S. Navy 1958)

  • Πλήθος πρακτικών εφαρμογών όπου πρέπει να συντονισθούν ένα πλήθος εργασιών μη αλληλοκαλυπτόμενων

  • Συμβολίζουμε με κατευθυνόμενο ζυγισμένο γράφο όπου έχουμε δραστηριότητες (ακμές, τόξα) και events/γεγονότα (αρχή, τέλος εργασιών)

  • Ο γράφος πρέπει να είναι άκυκλος. Αυτό διαπιστώνεται με τοπολογική ταξινόμηση

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Pert 2

PERT (2)

  • Μεταβλητές:

    • Κανονικός χρόνος τερματισμού

    • Ελάχιστος χρόνος τερματισμού

    • Ποσό για να μειωθεί ο χρόνος τερματισμού κατά 1 μονάδα

  • Βρίσκουμε το μακρύτερο μονοπάτι (κρίσιμο μονοπάτι)

  • Dijkstra

  • Κρίσιμες/ενεργές & χαλαρές ακμές

  • Πρέπει να δουλεύουμε στις κρίσιμες

  • Κρίσιμο μονοπάτι είναι το μονοπάτι 1-2-3-4

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Pert 3

PERT (3)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


Pert 4

PERT (4)

  • Άπληστη τεχνική: Θα δουλέψουμε όσο πιο φτηνά μπορούμε

    • Επιταχύνουμε την εργασία με το μικρότερο κόστος (2-3) πάντα. Προσέχουμε αν το μονοπάτι είναι ακόμα κρίσιμο

    • Μετά από 1 επανάληψη για το (2-3), έχουμε 2 κρίσιμα μονοπάτια:

      • 1-2-3-4

      • 1-3-4

    • Το (2-3) γίνεται άκαμπτο

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων


  • Login