Nem euklidesz i kalandok matematika r n avagy hogyan tan tom a g mbi geometri t fels tagozatosoknak
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 39

Kuczmann Erika PowerPoint PPT Presentation


  • 73 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

NEM-EUKLIDESZ I KALANDOK MATEMATIKAÓRÁN, avagy hogyan tanítom a gömbi geometriát felső tagozatosoknak. Kuczmann Erika. Bevezetés. HEFOP 3.1.3. keretében: kísérletsorozat ESZA és Komensk ý Egyetem e-learning tanfolyama, összehasonlító geometria Szlovákiában nincs NAT Központi tantervek 1997

Download Presentation

Kuczmann Erika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Nem euklidesz i kalandok matematika r n avagy hogyan tan tom a g mbi geometri t fels tagozatosoknak

NEM-EUKLIDESZI KALANDOK MATEMATIKAÓRÁN, avagy hogyan tanítom a gömbi geometriát felső tagozatosoknak

Kuczmann Erika


Bevezet s

Bevezetés

  • HEFOP 3.1.3. keretében: kísérletsorozat

  • ESZA és Komenský Egyetem e-learning tanfolyama, összehasonlító geometria

  • Szlovákiában nincs NAT

  • Központi tantervek 1997

  • 1999. szept.1. ún. műveltségi standardok (curriculum)

  • Ellenőrzés: Monitor és más tesztek során


Melyik oszt lyban mit tan tunk

Melyik osztályban mit tanítunk?

1.o.: Háromszög, kör, négyzet, téglalap, gömb, kocka, henger felismerése

2.o.: Pont, szakasz, egyenes jelölése, rajzolása, szakasz hossza, hosszegységek

3.o.: Szakaszok hosszának összehasonlítása, adott középpontú, sugarú kör, háromszög, négyszög rajzolása, csúcsok elnevezése

4.o.: karcos vonalzóval merőleges szerk., szakaszok összege, háromszög, négyzet K


T mak r k a fels tagozaton

Témakörök a felső tagozaton

1.A szög, szögmérés, -másolás, szögek egybevágósága, összeadása, kivonása, felezése, kétszerezése, csúcs- és mellékszögek (5.o.) - min. 80%

váltó- és egyállású szögek (6.o.)

2. A háromszög – min. 70%

5.o.: háromszög-egyenlőtlenség

6.o.: fajtái, területe, külső és belső szögei és tul.-i, nevezetes pontok és vonalak


Kuczmann erika

7.o.: A Pitagorasz tétel és gyakorlati alk.

9.o.: A derékszögű háromszög hegyesszögének szögfüggvényei

3. A paralelogramma és tul.-i –

min. 75 %

5.o.: Téglalap, négyzet, rombusz kerülete, területe, szerkesztése, mértékegységátváltás

6.o.:Romboid, paralelogramma

4. Trapéz és szerkesztése, kerülete, területe (7.o.) - 75%


Kuczmann erika

5. A kör, körvonal - min. 80%

5.o.: elnev., koncentrikus körök

8.o.: egyenes és kör, két kör

kölcsönös helyzete, érintőszer-kesztés, Thalesz-tétel, kör, körív kerülete, kör, körcikk területe

6. Síkidomok egybevágósága (6.o.)

min. 75%

Tükrözések, szimmetrikus alakzatok, a háromszögek egybevágósági tételei


7 s kidomok hasonl s ga 9 o min 60

7. Síkidomok hasonlósága (9.o.) min. 60%

A hasonlóság aránya, gyakorlati alkalmazása, szerkesztési feladatok, a háromszögek hasonlósági tételei

8. Szerkesztési feladatok - min. 60%

5.o.: adott tulajdonságú pontok halmaza, szakasz-, szögfelező, párhuza-mosok, merőlegesek, háromszögek, négyzet, téglalap szerkesztése

6.o.: háromszögek, paralelogramma

7.o.: trapéz

8.o.: Thalesz-kör


Kuczmann erika

9. A hegyesszög szögfüggvényei (9.o.) min. 75%sin, cos, tg mint a derékszögű háromszög oldalainak aránya, számológép, táblázat, gyakorlati feladatok

10. Testek felszíne és térfogata - min. 75%

6.o.: kocka, téglatest, mértékegységek

7.o.: hasáb

9.o.: henger, gúla, kúp, gömb


A heti rasz mok fels tagozaton ill nyolc ves gimn ziumban

A heti óraszámok:felső tagozaton ill. nyolcéves gimnáziumban

5. oszt.: 5 óra , prima : 5 óra

6. oszt.: 5 óra , secunda: 5 óra

7. oszt.: 4 óra , tertia : 4 óra

8. oszt.: 4 óra , quarta : 4 óra

9. oszt.: 4 óra

nagy 1. oszt.: 4 óra , quinta : 3 (!) óra

2. oszt.: 4 óra, sexta : 3 óra

3. oszt.: 3 óra, septima : 3 óra

4. oszt., ill octáva: szeminárium az érettségizőknek, heti 4 óra


A matematikak nyvek

A matematikakönyvek

Šedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť Bálint –féle tankönyvek magyar fordításai, (RNDr. Horváth Géza)

1997-2002

a gömbi geometria tanításához szükséges:

  • az igazgató beleegyezése

  • Szülői Szövetség pénzügyi támogatása

  • iskola programjába beveheti,

  • összhangba hozni a követelményekkel


Mi rt j s hasznos az sszehasonl t geometria tan t sa

Miért jó és hasznos az összehasonlító geometria tanítása?

  • gömbfelületen élünk, a természetben ez a forma a leggyakoribb (lásd: gyümölcsök, égitestek, labdák, vízcsepp )

  • a síkgeometriában használt alapfogalmak elmélyítését segíti,

  • a gömb gyakran áttekinthetőbb a gyerekek számára

  • a gömbözés során a gyerekek élvezik a jó hangulatú kooperációt,

  • felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt,

  • a földrajzi fogalmak kialakulását is segíti,


Hasznos s fontos mert

Hasznos és fontos, mert

  • segíti a vitakultúra kialakulását,

  • segíti a tolerancia létrejöttét,

  • sok szakember munkájában hasznos: pl. pilóta, hajós, csillagász, mérnök, építész, atomfizikus, biológus, kémikus

  • a manipuláció a gyerekek számára sikerélményt nyújt,

  • önállóságra neveli őket,

  • művészi képességeiket is fejleszthetjük a gömb segítségével.


A munkaforma

A munkaforma

  • kooperatív csoportokban dolgoznak (2-4 fő)

  • vegyes csoportok

  • a padokat a táblára kb. merőlegesen állítják fel

  • Lénárt István: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön c. munkája diák-oldalai

  • összehasonlító táblázat


Az els l p sek a felfedez sek fel

Az első lépések a felfedezések felé

  • NASA által készített Földtérkép,

  • alapfogalmak,

  • legegyszerűbb elem,

  • rajzeszközökkel ismerkedtünk, forgószínpados módszerrel.


1 csoport g mbvonalz

1.csoport, gömbvonalzó


Hf g mb alak dolgok neve

HF.:gömb alakú dolgok neve

Föld, bolygók, csillagok, hógolyó, üveggolyó, léggömb, röplabda, gyöngyök, higanycsepp, a modellezőkészlet atomjai, ágyúgolyó, gombolyag, hagyma, szőlőszem, dinnye, citrusfélék termései, kókuszdió, alma, barack, meggy, cseresznyepaprika, paradicsom, borsószem, káposzta, szilvásgombóc, tarhonyaszem, kaviár, nyalóka, rágógumi, bogáncs, emberi fej, szemgolyó, varázsgömb, süni, ha összehúzódik,

a harang golyója rúd nélkül.


Kuczmann erika

További alapfogalmak bevezetéseA 3. órán távolságmérés, sarkpontok és hozzájuk tartozó egyenlítő szerkesztése


Amit rdekesnek tal ltak

Amit érdekesnek találtak

  • A távolságot a gömbön fokokban mérjük.

  • Gömbi vonalzóval egyszerre mérhetünk távolságot és szöget is.

  • Hol található a Greenwich-i hosszúsági főkörhöz tartozó két sarkpont? Az egyik a Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra nyugatra esik az Egyenlítőn (a Galápagos szigetek) , a másik pedig 90°-ra keletre az Indiai-óceánban, Szumátrán.


A 4 5 ra p rhuzamoss g s mer legess g s kon s g mb n

A 4-5. óra: Párhuzamosság és merőlegesség síkon és gömbön

Hány közös pontja lehet két egyenes vonalnak ?

1.lépés: Rajzolj egy e egyenest.

2.lépés: Rajzolj egy egyenes vonalat,

aminek nincs közös pontja e-vel.

3.lépés: Rajzolj egy b egyenest, amelyiknek

pontosan egy közös pontja van e-vel.

4.lépés: Rajzolj egy c egyenest, amelyiknek

pontosan két közös pontja van e-vel.

5.lépés: Rajzolj egy d egyenest, amelyiknek

több, mint 2 közös pontja van e-vel.


A k t egyenes helyzete

A KÉT EGYENES HELYZETE


Mit mondhatunk k t mer leges egyenesr l a s kon s k t mer leges f k rr l a g mb n

Mit mondhatunk két merőleges egyenesről a síkon és két merőleges főkörről a gömbön?

Síkon: Rajzolj két metsző egyenest, amelyek a síkot 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg valamennyi szögét.

Gömbön: Rajzolj két főkört, amelyek a gömböt 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg a két főkör metszésénél keletkező összes szöget.


Mer leges egyenesek f k r k

SÍKON

KÉT MERŐLEGES EGYENES EGYPONTBAN METSZI EGYMÁST.

4DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK MEG.

4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT.

GÖMBÖN

KÉT MERŐLEGES EGYENES KÉTPONTBAN METSZI EGYMÁST.

8DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK MEG.

4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT.

MERŐLEGES EGYENESEK - FŐKÖRÖK


H ny k z s mer legese lehet 2 egyenes vonalnak ill g mbi f k rnek

Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes vonalnak, ill. gömbi főkörnek?

Szerkesztés a síkon:

1.lépés: Rajzolj két metsző egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.

2.lépés: Rajzolj két párhuzamos egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.

Szerkesztés a gömbön:

1.lépés: Rajzolj két különböző gömbi főkört.

2.lépés: Próbálj olyan főkört szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.

Vizsgáld meg, hány közös merőlegese van két különböző főkörnek!


A soksz gekr l

A sokszögekről

Az 1. óra ismétlés, majd a gömbi kétszögek (2 óra) ill. gömbháromszögek (3 óra)

a “zárt sokszög” fogalma ???:

Nevezzük zárt n-szögnek (ahol n tetszőleges természetes szám) n db síkbeli, ill. gömbi egyenesdarab rendezett sorozatát, ahol bármelyik egyenesdarab végpontja megegyezik a rákövetkező egyenesdarab kezdőpontjával, az utolsó, n-edik egyenesdarab végpontja pedig megegyezik az első egyenesdarab kezdőpontjával.


Kuczmann erika

  • matematikai jelölés

  • szemléltetés: 4 kislány kézfogása - négyszög

  • rajzoljanak sokszöget --ívháromszögek

  • gömbi kétszögek: Két átellenes pont félfőkörívekkel (meridiánokkal) összekötve

    oldalösszegük alsó és felső határa :360°,

    azaz 360 gömbi lépés

    A szögösszeg nem állandó, hanem 0 ° és 360° közé eshet !!Szabályos sokszög-e?

    Létezik-e gömbi egyszög?


G mbk tsz g

Gömbkétszög


G mbk tsz g szerkeszt se

Gömbkétszög szerkesztése


G mbk tsz g sz geinek m r se

Gömbkétszög szögeinek mérése


Sszehasonl t t bl zat g mbk tsz gek

Összehasonlító táblázat, gömbkétszögek


Sszehasonl t t bl zat 2 g mbk tsz gek

Összehasonlító táblázat 2., gömbkétszögek


Euler f le g mbh romsz g

EULER-FÉLE GÖMBHÁROMSZÖG


Nem euler f le g mbh romsz g

Nem Euler-féle gömbháromszög


A h romsz gek bels sz geinek sszege s kon s g mb n

A háromszögek belső szögeinek összege síkon és gömbön

Síkon: tépéssel-ragasztással, hajtogatással, méréssel, bizonyítással

Szerkesztés: két háromszög egymás belsejében

A gömbön a szögösszeg nem állandó,

a kisebb háromszög szögei is kisebbek, szögösszege is kevesebb.


Bels sz g sszeg g mbh romsz gekn l

Belső szögösszeg gömbháromszögeknél

  • elfajult esetek

  • Mikor lesz egy gömbháromszög belső szögeinek összege 180°?

  • Ha a=80°, akkor mérésük 252° és 240°

  • Ha a=70°, akkor 225°, 228 és 231°

  • Ha a=60°, akkor 207°, 210 ° és 213°

  • Ha a=30°, akkor mérésük 183° és 189°

  • Kísérlet: a= 20 °, ill. a=10 °

  • 180° és 540° közé esik !!


Tov bbi vizsg l d si lehet s gek

További vizsgálódási lehetőségek

  • Oktáns

  • Pitagorasz tétele : vajon a gömbön érvényes-e ?

  • Van-e hasonlóság a gömbön? Nincs!

  • A háromszög magasságvonalainak, középvonalainak, súlyvonalainak vizsgálata

  • Négyszögek


A k r ker lete

A KÖR KERÜLETE

  • Hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez?

  • Kísérletek: különböző méretű poharak

  • Síkon: 3,14

  • Gömbön: az arány nem állandó, hanem a kör nagyságával változik. Nagyon kicsi gömbi körökre ez az arány közel áll píhez, de annál mindig kisebb.

    Főkörre ez az arány éppen 2.

    Egészen 0-ig is zsugorodhat.


Sszegz s

ÖSSZEGZÉS

  • induktív érvelés: tapasztalatszerzés, általánosítás, az első felfedezések

  • deduktív érvelés: axiómák harca,logikai következtetés

  • mindkettő megértését segíti

  • rengeteg pozitív élményt nyújt

  • egyidejű bevezetés


Kuczmann erika

„Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges. A legkevésbé sem tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, csalhatatlansághoz. éppolyan gyarló, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.”

  • (Lénárt István)


Felhaszn lt irodalom

Felhasznált irodalom:

1. Lénárt István: Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Múzsák kiadó Kft., Budapest (1999

2.Sedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2.részek, Slovenské pedagogické nakladateľstvo (1997-2002)

3.www.lenartgomb.hu

4.www.ematik.sk


  • Login