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M (1) t = M (1) t –1 +x t -x t-n /n

市场预测与决策 陈晓慧 (8) 2009.1. M (1) t = M (1) t –1 +x t -x t-n /n. chap8 趋势外推预测法. 趋势外推法概述 曲线趋势外推法 增长曲线趋势外推法. 趋势外推预测法概述. 一、趋势外推法 (Trend extension ) 1. Concept 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 2. Postulate （ 1 ）假设事物发展过程没有跳跃式变化；

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M (1) t = M (1) t –1 +x t -x t-n /n

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  1. 市场预测与决策 陈晓慧 (8) 2009.1. M(1)t= M(1)t –1+xt-xt-n/n

  2. chap8趋势外推预测法 • 趋势外推法概述 • 曲线趋势外推法 • 增长曲线趋势外推法

  3. 趋势外推预测法概述 一、趋势外推法(Trend extension ) 1.Concept 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 2. Postulate （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。

  4. 二 、趋势模型类型(Tend model types) 1.多项式曲线(Multinomial curve)

  5. 2.指数曲线外推模型 一般形式 ： 对数曲线 3.增长曲线外推法： 修正的指数曲线 罗吉斯曲线 龚珀兹曲线

  6. 差分概念 一阶差分 二阶差分 三阶差分 一阶差分环比指数 注意： 增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数为一常数的特征。

  7. 曲线趋势外推预测法 y • 一、直线趋势外推法(Liner tend ) • 1、principle • 最小二乘法(Least square method), • 将时间序列拟合成一条预测直线趋势， • 使预测值与实际值之间的离差和 • 为最小。 (t4,y4) B (t2,y2) (t1,y1) (t3,y3) A ei t 图 拟合直线方程原理 设有n个点即：(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn), 如图，AB为拟合直线，n个观察值对该直线的离差分别为e1,e2, …,en。令：

  8. 在Q中,描述了直线方程 与n个观察点的接近程度。误差的大小随直线的位置变化而变化。即误差的值会随着a和b变化而变化。即是a和b的二元函数。 2.forecast model （1） （2） 为了使误差最小,即Q为最小值;可分别对a,b求偏导,并令其为0.则有:

  9. （2） （3） （4） （5）

  10. Action：在确定直线方程时,时间序列为奇数时,取中间数(n+1/2)的编号为0,那么x的编号就构成了以0中心,的正、负数对称的编号。Action：在确定直线方程时,时间序列为奇数时,取中间数(n+1/2)的编号为0,那么x的编号就构成了以0中心,的正、负数对称的编号。 例如,当n=9时,9+1/2=5,那么就可以编成-4,-3,-2,- 1,0,1, 2,3,4,这时由于∑x=0,可简化计算。此时的a,b公式为: (6) (7) 3.拟合直线方程的步骤 (1)绘制散点图 (2)列表计算求待定系数所需的数据 (3)确定待定系数a、b,建立预测模型 (4)用拟合直线方程求预测值

  11. 线性趋势外推法举例 某家用电器厂1994年~2004年利润数据资料如表所示，试预测2005、2006年利润各为多少？ 表 某家用电器厂1985年~1995年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元 中心 解： （1）画散点图并观察各个点变化趋势是否可用直线方程来拟合。 （2）列表计算求待定系 数所需要的数据资料， 由于时间序列为11个， 即n+1/2=11+1/2=6。故以 1990年为中点编号： -5，-4，-3，-2，-1， 0，1，2，3，4，5。 1200 1000 800 600 400 200 1994 1995 1996 1997 1998 1999 图 直线绘制图

  12. 表 某家用电器厂1994年~1904年利润及拟合直线方程法计算表单位：万元

  13. 表的以左边∑t=0, ∑yt=6650, ∑t²=110;∑tyt =9100. 表的右边以0，1，…,10对自变量t进行编号,并求得：∑t=55, ∑t²=385; ∑tyt =42350 (3)确定待定系数,建立预测模型 ①按表的左边t编号,有：a= ∑yt/n=6650/11=604.3; b= ∑ty/ ∑t²=9100/110=82.7 故左边预测的直线方程为： ②按表右边的x编号方法有：

  14. （4）用拟合直线方程求预测值 分别按左、右边直线方程 进行预测结果相同，故拟合直线有效。见表 ⒊ 特点 （1）拟合直线方程的一阶差分为一常数，即： （2）直线外推法只适用时间序列呈直线趋势预测。 （3）无论远、近的数据不考虑权重。 （4）用最小二乘法拟合直线方程消除了不规则的影响，使内插值和外推值都落在拟合的直线上。

  15. 二、二次曲线外推法(Twice curve extension) 在实际预测中,常常碰到的是其他的曲线形式。在这样的情况下,就要用到曲线外推趋势法。这种方法仍然是利用最二乘法来拟合曲线方程。介绍如下： 设曲线预测模型为： （一）model （1） 利用最小二乘法得：

  16. （2）

  17. 三、加权拟合直线方程 原理 拟合直线方程根据最小二乘法原理，使观察期对于估计值的离差平方和 ，再求偏导并令其等于0，求出a,b,最后建立直线方程进行预测。 但这种方法的问题是在拟合直线过程，对时间的近期和远期的数据同等对待，求出的预测方程不够精确。而加权拟合法就较好的解决了这个问题。(例题略)

  18. 增长曲线预测方法 生物的生长过程经历了出生、成长、成熟三个阶段，在这三个阶段生物的生长速度是不一样的。 例如,南瓜的重量增长速度,在第一阶段增长的较慢,在成长时期则突然加快,而到了成熟期又趋减慢,形成一条S形曲线-增长曲线。 增长曲线 是描绘经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线。 用增长曲线进行预测的方法称为增长曲线预测法。它是一种很常用的方法。 例如新技术、新产品的开发和更新换代过程,需求增长规律等均可用增长曲线来描述。

  19. 一、例子 1.人类增长曲线 人类身高的成长曲线的生长规律如表5-1所示 单位：cm 身 高 年龄 图 人身高成长曲线

  20. 2.生物增长曲线 如表 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。 重量 天 图 南瓜重量生长曲线

  21. 3.商品寿命曲线 销量 t 如图 自行车寿命周期曲线

  22. （一）简单指数 yt 1.Model 其中：a,b—参数， t—时间序列, yt— 经济目标值 （1） 0＜b＜1 ( 0，a) b＞1 t 图 简单指数型增长曲线图 2.Application condition 当时间序列呈单纯的增加或减少的趋势，且各期的增长率或减少率基本相等，则可用指数曲线描述时间序列是比较好的。

  23. 将（1）取对数，有： （2） （3） （4） 3.Characteristic 由(3)和(4)可知： ①其对数曲线方程为一条直线; ②其对数曲线一阶差分为一常数。

  24. （二）修正指数曲线(Amend exponential curve) 1.Model（1） 2. Characteristic 一阶差分环比指数为一常数。

  25. 3.修正曲线模型的几种类型图 k＞0， 0＜a＜1，0＜b＜1 k＞0，a ＞ 1，b ＞ 1 y0=K+a t t 图(a) 成长期 图（b）饱和期 k＞0，a ＞ 0，0＜b＜1 k＞0， 0＜a＜1，b ＞ 1 t t 图(d) 衰退后期 图（c） 衰退期前期 图7-6 修正曲线的几种类型

  26. （三）罗吉斯曲线 1.Model (1) (2) 式中:k,a,b为待定参数. 由(1)可得一阶、二阶导数为：

  27. 2.characteristic 罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。 （1）当t=0时,有：y0 =1/k+a, （2）当t→∞时， yt →1/k 当t→-∞时， yt →0 都是罗吉斯曲线的渐进线。 罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。 y∞ =1/k • k ＞0，a＞1 0＜b＜1 y0=1/(k+a) 图 罗吉斯曲线

  28. （四）龚柏兹曲线(Gompertz curve) 1.Model（1） （2） （3） 2.Characteristic 导数的一阶差分环比指数为一常数或其对数方程为一修正曲线。

  29. 4.龚柏兹曲线的几种类型图 3.应用范围 耐用消费品或技术含量较高商品的市场需求变化。 0＜a＜1 ，0＜b＜1 0＜a＜1，b ＞ 1 y0=K t t 图（a）成长期和成熟前期 图(b) 成熟期后半期和衰退期 a ＞ 1 ，b ＞ 1 a ＞ 1， 0＜b＜1 y0=K t t 图（c）成长期 图(d) 衰退期

  30. （五）增长曲线预测法 1.常用的增长曲线(In common use the growthcurve ) 修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。 利用这三种曲线可描述产品市场增长周期的不同阶段,从而揭示产品增长周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变,预测产品的市场需求潜量、最大销售量以及达到饱和状态的时间等。 2.Forecast method 常用的方法有:三和法、三点法、最小二乘法等。 3.Action 当极限值k可确定,可采用最小二乘法可简化计算；不能确定时就用三和法或三点法;当时间序列数据收集资料不全的情况下用三点法。

  31. 二、三和法(Trisect method) 以修正曲线为例，具体步骤如下： 1、将时间序列分为项数相等的三段，每段的项数为r (r=n/3,n为时间序列总项数)，若原序列项数不能被3整除，需删除序列最初一期或两期数据； 2、时间序列t取值 第一段，0，1， …，r-1； 第二段，r, r+1, …，2r-1; 第三段，2r, 2r+1, … , 3r-1; 3、分别求出序列每段数据的和 第一，第二，第三段数据的和分别用∑1Yt、 ∑2Yt、 ∑3Yt表示，

  32. 解此方程组，得a,b,k值：

  33. 三和法举例 某地区电冰箱销售资料如表所示，试预测2005年的销售量和达到饱和状态的时间。 某地区电冰箱销售资料 单位：万台 解：(1)画散点图 ∵环比系数为0.81,0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大体相同，∴用修正曲线进行预测。 N=9,r=3,t=0,1,2,……,8, 计算得∑1Yt=1142, ∑ 2Yt =1956, ∑ 3Yt=2392 900 600 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  34. 故所求得的修正指数曲线模型为： 将t=9代入上式模型可得2003年的销售量： 在t=23时，所求得的修正指数曲线模型为：

  35. 三、三点法(Three point method) 这种方法是用在观察数据不全的情况下，假定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点（必要条件），现假设： (1) （2） (3) （4） (5) (6)

  36. (5) ÷(6)有： (7) (8) 将（7）代入（5）有： （9） 将（9）代入（2）得： （10） 将a,b,k代入（1），即可得预测值。

  37. characteristic ⒈在计算模型参数时，仅用了三个数据点，因而选用数据时，要尽量未受到随机因素干扰的数据，因此，在可能情况下，最好选均值。 ⒉计算简单。

  38. 作业 ⒈常用的增长曲线是指简单指数、修正指数、————和————曲线。 ⒉对于某一产品销售量时间序列，当一阶差分近似相等，其曲线可近似用————数学模型描述。 ⒊对于某一产品销售量时间序列，当各期销售量倒数一阶差分近似相等，其曲线可近似用————数学模型描述。 ⒋当产品的销售量接近罗吉斯曲线的1/k，说明产品由成长发展到市场———— ⒌龚伯兹是一条不对称的S曲线，k为曲线的上渐进线，其经济意义为市场———状态下的需求量。

  39. ——本章完——

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