第二十章  重积分
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21.5 三重积分 PowerPoint PPT Presentation


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第二十章 重积分. 21.5 三重积分. ( 一 ) 教学目的: 掌握三重积分的定义和性质 . ( 二 ) 教学内容: 三重积分的定义和性质;三重积分的积分换元法;柱面坐标变换;球面坐标变换 . 基本要求: 掌握三重积分的定义和性质,熟练掌握化三重积分为累次积分,及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法.. §5 三重积分. 一、三重积分的定义. 二、三重积分的计算. 三 、 三重积分换元法. 一、 三重积分的概念. 问题的提出. 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z ).

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21.5 三重积分

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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21 5

第二十章 重积分

21.5 三重积分


21 5

(一) 教学目的:

掌握三重积分的定义和性质.

(二) 教学内容:

三重积分的定义和性质;三重积分的积分换元法;柱面坐标变换;球面坐标变换.

基本要求:

掌握三重积分的定义和性质,熟练掌握化三重积分为累次积分,及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法.


21 5

§5 三重积分

一、三重积分的定义

二、三重积分的计算

三、 三重积分换元法


21 5

一、三重积分的概念

问题的提出

设空间立体 V的密度函数为 f ( x, y, z )

求立体 V的质量 M

为了求 V的质量,仍采用:分割、近似代替、

求和、取极限四个步骤.

首先把 V分成 n个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积

记为


21 5

其次在每个小块Vi上任取一点

则Vi的质量

然后对每个小块Vi的质量求和:

最后,取极限

其中


21 5

定义 1

设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积

的有界区域 V上的有界函数, 把 V任意地分成 n个小

区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积记为

在每个小块Vi上任取一点

若极限

存在,则称 f ( x, y, z ) 在 V上可积,并称此极限为

f ( x, y, z ) 在 V上的三重积分,记为


21 5

三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.

例如

V的体积


21 5

定理 设 在长方体 上可积,并且

含参变量积分

存在,则


21 5

即三重积分的计算可采用先计算一个定积分再计算一个二重积分的方法。

三重积分的计算也可以采用先计算一个二重积分再计算一个定积分的办法:

前面讨论了长方体上的三重积分的计算方法,下面考虑一般区域上三重积分的计算。


21 5

二、化三重积分为累次积分

设 f ( x, y, z ) 在长方体

上连续,则


21 5


21 5

例.计算

其中V为三个坐标

面及平面

所围成的闭区域 .


21 5

计算

例1

其中 V为由平面 x = 1, x = 2, z = 0

y = x, z = y所围的区域.


21 5

若 V可以表示为:

则三重积分可采用先在区域 Dz上计算二重积分,

再计算一个定积分的方法来计算


21 5

例. 计算

其中 V是椭球体

解:


21 5

计算

例3

其中 V是椭球体


21 5

二、三重积分的计算

直角坐标系中将三重积分化为三次积分.


21 5

是 x、y的函数。


21 5

注意


21 5

得到

事实上,

三重积分化为三次积分的过程:


21 5

得到

事实上,


21 5

得到

事实上,


21 5

z

dz

dx

dy

y

x

0

§9-3. 三重积分

当   R3,有 X=(x, y, z) , d = dv

三重积分

1. 直角坐标系下三重积分的计算

直角坐标系下,记体积元素

dv=dxdydz


21 5

z

z=z2(x, y)

y

z=z1(x,y)

D

x

0

(1) 化成一个定积分和一个二重积分

y=y2(x)

a

b

y=y1(x)

设 D 为  在 xy 平面上投影区域.

思考问题


21 5

z

x+y+z=1

y

0

1

y

x+y=1

D

x

x

1

例1.计算

其中是由平面x+y+z=1

与三个坐标面所围闭区域.

解:D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1


21 5

例1 计算三重积分 ,其中 为三个坐标

面及平面 所围成的闭区域.

得到

于是,


21 5

z

解:D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤

x

0

y

y

D

x

0

例2.计算

其中  是由抛物

柱面

及平面y=0, z=0,


21 5

z

y=y2(x, z)

y=y1(x, z)

Dxz

y

0

x


21 5

z

Dyz

y

0

x

x=x1(y, z)

x=x2(y, z)


21 5

z

z=1

z= x2+y2

y

0

1

Dxy

x

化为三次定积分,其中

例3. 将

 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.

解:先对 z 积分,将 向 xy 平面投影.

x2+y2=1

z= x2+y2

z=1

z=1

D: x2+y2≤1


21 5

z

z=1

z= x2+y2

y

0

1

Dxy

x


21 5

z

Dxz

y

1

0

1

x

解2:先对 y 积分,将  向 xz 平面投影:

z= x2+y2

z=1

Dxy: x2 ≤z ≤1,

 1 ≤x≤1

z= x2+y2

思考问题 先对 x 积分,怎样做?


21 5

z

z2

z

D(z)

z2

y

0

x

(2) 化为一个二重积分和一个定积分

 :(x, y)D(z), z1≤z≤z2


21 5

z

1

D(z)

y

0

1

x

例4.计算

其中  是由 z=x2+y2 和 z=1

所围成的闭区域.

解:D(z): x2+y2≤z

z[0, 1]


21 5

z

1

1

0

y

y

1x

z=1xy

x

1

D(x)

x

0

1x

例5.计算

其中  是由平面 x+y+z=1

与三个坐标面所围闭区域.

解:D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤1xy

x : 0 ≤ x ≤ 1


21 5

例 3 计算积分

积分区域 V 为椭球体

积分区域如图,


21 5

类似地,有

所以


21 5

过点

与椭球截得的截面 是

平面上的椭圆:

作垂直于 轴的平面

另解

此椭圆的面积为:

于是


21 5

例2 化三重积分 为三次积分,

其中积分区域 为由曲面 及

所围成的闭区域.

得交线投影区域


21 5

例3 计算三重积分 。

其中 :平面 及

所围成的闭区域.

解:


21 5

截面法的一般步骤:

(1) 把积分区域 向某轴(例如在Z轴)投影,得投影

区间;

(2) 对 用过Z轴且平行平面XOY的平面去截

,得截面 ;

(3)计算二重积分

其结果为Z的函数f(z);

(4) 最后计算单积分

即得三重积分值.


21 5

例4 计算三重积分 其中 是由椭球面

所成的空间闭区域.

解:

原式


21 5

因此,

原式


21 5

例5 计算三重积分 ,其中 由曲

面 , , 所围成

解:如图,将 投影到在ZOX平面得

先对y积分,再求 上二重积分,


21 5

三、三重积分换元法


21 5

1、柱面坐标变换

坐标面分别为

圆柱面

半平面

垂直于轴 z的平面


21 5

其中 V为由

例. 计算

柱面

及平面

所围成半圆柱体.

解:作柱面坐标变换


21 5

例.计算

其中由抛物面

与平面

所围成 .

解:在柱面坐标系下

原式 =


21 5

球面

半平面

锥面

2. 球坐标变换

坐标面分别为


21 5

例. 计算

其中 V为锥面

所围立体.

与球面

在球面坐标系下


21 5

例. 计算

其中 V为锥面

所围立体.

与平面


21 5


21 5


21 5

思考

若平面区域 D关于 x轴对称,则下列积分的值为零

若平面区域 D关于 y轴对称,则下列积分的值为零

例如,若 D是以原点为圆心的圆,则

进一步,对于变量的奇、偶函数,

可得到与定积分类似的性质.


21 5

思考

若空间区域 V关于 xy平面对称,则有:

若空间区域 V关于 xz平面对称,则有:

若空间区域 V关于 yz平面对称,则有:

例如,若 V是以原点为球心的球体,则


21 5

立体体积

  • 曲顶柱体的顶为连续曲面

则其体积为

  • 占有空间有界域 V的立体的体积为


21 5

例4 求由圆锥体

和球体

所确定的立体体积,其中

立体的体积为


21 5

例4 求

其中 V为由

所确定的区域.

作广义球坐标变换

于是


21 5

x=x(u, v, w)

y=y(u, v, w)

z=z(u, v, w)

2. 三重积分的换元公式

设变换T:

将 uvw 空间中的有界闭域  * 变成 xyz 空间中的有界闭域  ,且满足

(1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)


21 5

(2) (u, v, w)* 有

0


21 5

(3) T :  * 是一一对应

若 f (x, y, z)C( ),则


21 5

其中是由曲面

例5. 计算

所围成的区域.

解: 作变换


21 5

由公式(5),


21 5

规定:

1、利用柱面坐标计算三重积分

简单地说,柱面坐标就是

xoy 面上的极坐标 + z 坐标


21 5

如图,三坐标面分别为

圆柱面;

半平面;

平 面.

柱面坐标与直角坐标的

关系为


21 5

从而

= r


21 5

所以,

     ,

一般, r z 表为:

r1( )   r2( ),

z1(r, )   z2 (r , )).


21 5

于是,

如图,柱面坐标系中的体积元素为

再根据  中 z,r, 的关系,化为三次积分。

一般,先对 z积分,再对 r ,最后对  积分。


21 5

z

0

y

x

3. 利用柱面坐标计算三重积分

M (r, , z)

z

M

x=rcos

y=rsin

y

r

z=z

x

(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)


21 5

z

o

y

x

柱面坐标的三组坐标面分别为

r=常数

=常数

z=常数


21 5

= r

故 dxdydz=rdrddz


21 5

z

z =0

z =1

y

0

D

x

其中 由

例1.计算

与 z=1 所围闭区域.

解:

z=1

z=r

D: x2+y2≤1

z =r


21 5

z

z=1

z=r

y

0

1

x

D


21 5

z

y

0

1

x

例2.计算

 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解:

D: x2+y2≤1

思考问题


21 5

z

y

x

其中是由

例3.再解例1

与 z=1 所围闭区域.

解:用 =  截  得 D()

而 0≤  ≤2 故

原积分=


21 5

z

1

D( )

z= r

r

0

1

z

y

x


21 5

z

y

0

x

例4.再解例2

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解:用 =  截  得 D()

而 0≤  ≤2 故

原积分 =


21 5

z

1

r

0

1

z

y

0

x


21 5

例6利用柱面坐标计算三重积分

其中

解: (1) 画  图

(2) 确定z,r, 的上下限

将  向 xoy面投影,得

过 (r,  )∈D做平行于 z轴的直线,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得

于是,


21 5

例6 求 ,其中 是球面

与抛物面 所围的立体.

解:求交线:

将  向 xoy面投影,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴的直线,得


21 5

其中  是由曲

例7计算三重积分

解:

将  向 xoy面投影,得

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴的直线,得


21 5


21 5

2、利用球面坐标计算三重积分

规定:


21 5

如图,三坐标面分别为

球 面;

圆锥面;

半平面.

球面坐标与直角坐标的关系为


21 5


21 5

所以


21 5

如图,

球面坐标系中的体积元素为

再根据再  中 r, ,  的关系,化为三次积分。

一般,先对 r积分,再对  ,最后对  积分。


21 5

z

z

M

r

y

y

0

x

x

P

4. 利用球面坐标计算三重积分

M (r, ,)

x=OPcos 

= r sin cos

y= OPsin 

= rsin sin

z= r cos

(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)


21 5

z

y

x

球面坐标的三组坐标面:

r =常数

 =常数

 =常数

dxdydz= r2sindrdd


21 5

z

y

0

x

例5.计算

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解:x2+y2+z2=1  r=1

用 =  截  得 D()

而 0≤  ≤2 故

原积分


21 5

1

r=1

0

1

z

y

0

x

z


21 5

z

y

a

x

例6.

和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域.

解:x2+y2+z2=a2r=a

原积分


21 5

z

y

z

a

r=a

x


21 5

z

y

z

0

x

y

例7.计算

表为球坐标系中的三

次积分,其中 为x2+y2+(z1)2≤1.

解:x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos

思考问题

1.若 :x2+(y -1)2+z2≤1?

2. ?


21 5

(3) 在半平面上,任取一

过原点作

射线,得


21 5

例9计算

其中  由曲面

围成。

过 z

任取一

在半平面上,任取一

解:

将  向 xoy面投影,得

轴作半平面,得

过原点作射线,得


21 5

过原点作射线,得

在半平面上,任取一


21 5

由三重积分的性质,有


21 5

由三重积分的性质,有


21 5

例11 计算积分

积分区域 V 为椭球体

积分区域如图,

解:


21 5

类似地,有

所以


21 5

另解

过点

作垂直于Z轴的平面

与椭球截得的截面 平面上的椭圆:

此椭圆的面积为:

于是


21 5

其中V是椭球体 与 所围区域.

例12. 计算三重积分

解: 作广义球坐标变换:


21 5

=

=

=

=

于是在上述广义球坐标变换之下,V的原象为


21 5

三、小结

三重积分的定义和计算

(计算时将三重积分化为三次积分)

在直角坐标系下的体积元素


21 5

柱面坐标

柱面坐标的体积元素

球面坐标

球面坐标的体积元素

作业:P251: 1,2,3, 4, 5.


21 5

一、三重积分的定义


21 5

三重积分的性质与二重积分的类似。

特别地,


21 5

二、三重积分的计算

直角坐标系中将三重积分化为三次积分.

如图,


21 5

是 x、y的函数。


21 5

注意


21 5

三重积分化为三次积分的过程:

得到

事实上,


21 5

得到

事实上,


21 5

得到

事实上,


21 5

得到

于是,


21 5

得到

于是,


21 5


21 5

得到


21 5

得到

于是,


21 5


21 5

因此,

原式


21 5

如图,


21 5

二、换元法定理

设变换T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域uvw变成 xyz空间中的有界闭区域xyz , 且满足

1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)


21 5

例5.计算

其中是由曲面

所围成的区域.

解: 作变换


21 5

2)

 0, (u, v, w)uvw

若 f(u, v, w)R(), 则有


21 5

由公式(5),


21 5

z

M(x, y, z)

(r, , z)

o

y

(x, y, 0)

x

三、柱面坐标下的三重积分的计算

M直角坐标 (x, y, z) 与柱面坐标 (r, , z)形成一一对应(原点除外)

其关系是

x = r cos 

y = r sin 

z = z


21 5

z

o

y

(x, y, 0)

x

柱面坐标系中 z族坐标面分别是

r =常数,

以 z 为中心轴的园柱面

=常数,

过 z 轴的半平面

z=常数,

垂直于 z 轴的平面.


21 5

从而

= r


21 5

所以,

一般, r z 表为:

     ,

r1( )   r2( ),

z1(r, )   z2 (r , )).


21 5

例6.

解: 为上半球体, 它在 xy平面上的投影为区域 D :

运用柱面坐标计算, 令

z = z.


21 5

则  变成 *

从而


21 5

例7.

解: 在 xy平面上的投影为区域为 D :

而被积函数也包含了 x2 + y2项, 故可运用柱面坐标计算, 令

z = z.


21 5

则  变成 *

于是


21 5

z

y

0

x

例9.设锥面

被圆柱面x2+y2=2x所截,

求锥面下方, xy 平面上方,圆柱内的区域  的体积V

解:运用柱面坐标,令

x = rcos

y = rsin

z = z

则 锥面方程为 z = r

圆柱面方程为: r = 2cos


21 5

由对称性, 只需计算第一卦限中的体积V1, 则V=2V1.

 在 xy平面上的投影为D:

D={(x, y)|x2+y2≤2x}.

由图可知,在柱坐标系下1(在第一卦限中的部分)变成1*:


21 5

于是


21 5

z

y

o

D

y

D

o

a

2a

x

x

例11.

解:由对称性, 所求体积


21 5

式中

运用极坐标系, 则 D变成 D* :


21 5

z

z

 =常数

r =常数

M(x, y)

(r, , z)

y

o

y

o

y

x

M'(x, y, 0)

 =常数

x

x

四、球面坐标系下的三重积分

点M的直角坐标 (x, y, z) 与球面坐标系 (r, ,  )也形成一一对应 (原点除外)


21 5

其关系是

x = r sin cos 

y = r sin sin 

z = r cos

对应坐标面为

r = 常数, 以 o为中心的球面

= 常数, 过 z 轴的半平面

= 常数, 以原点为顶点, z为轴的圆锥面.


21 5


21 5

所以


21 5

一般化为先对r , 次对 , 再对 的累次积分.

注意 x2 + y2 + z2 = r2


21 5

z

O

y

x

例8. 计算

其中, 是由锥面

与球面

所围成的区域.

解: 积分区域如图所示.

运用球面坐标计算, 令

则锥面

方程变为

球面方程变为r = a, 区域变为*


21 5

(该题也可选择柱面坐标计算,请读者自行完成.)


21 5

例9. 计算

其中,为两个半球面

及平面z = 0所围成的区域.

解: 令

则区域变成*:


21 5


21 5

例10. 计算曲面

所围成的立体体积V.

解:该曲面关于yz平面和xz平面对称,且位于xy平面上方,故只需计算在第一卦限中1的体积V1,则

运用球系:

则曲面方程为


21 5

而在第一卦限中,

所以曲面方程可表示为


21 5


21 5

补充例.

解: (1)


21 5

三、利用柱面坐标计算三重积分

规定:

简单地说,柱面坐标就是

xoy 面上的极坐标 + z 坐标


21 5

如图,三坐标面分别为

圆柱面;

半平面;

平 面.

柱面坐标与直角坐标的

关系为


21 5

如图,柱面坐标系中的

体积元素为

于是,

再根据  中 z,r, 的关系,化为三次积分。

一般,先对 z积分,再对 r ,最后对  积分。


21 5

例6利用柱面坐标计算三重积分

其中

(1) 画  图

(2) 确定z,r, 的上下限

将  向 xoy面投影,得

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得

于是,


21 5

求交线:

将  向 xoy面投影,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得


21 5

例7计算三重积分

其中  是由曲

将  向 xoy面投影,得

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得


21 5

过 (r,  )∈D做平行于 z轴

的直线,得


21 5


21 5

四、利用球面坐标计算三重积分

规定:


21 5

如图,三坐标面分别为

球 面;

圆锥面;

半平面.

球面坐标与直角坐标的关系为


21 5

如图,

球面坐标系中的体积元素为

再根据再  中 r, ,  的关系,化为三次积分。

一般,先对 r积分,再对  ,最后对  积分。


21 5

(2) 任取一

过 z轴作半平面,得

(3) 在半平面上,任取一

过原点作

例8用球面坐标计算

其中

画  图。

确定r, ,  的上下限。

(1) 将  向 xoy面投影,得

射线,得


21 5

(3) 在半平面上,任取一

过原点作

射线,得


21 5

任取一

过 z

在半平面上,任取一

例9计算

其中  由曲面

围成。

将  向 xoy面投影,得

轴作半平面,得

过原点作射线,得


21 5

过原点作射线,得

在半平面上,任取一


21 5

由三重积分的性质,有


21 5

由三重积分的性质,有


21 5

三、小结

三重积分的定义和计算

(计算时将三重积分化为三次积分)

在直角坐标系下的体积元素


21 5

柱面坐标

柱面坐标的体积元素

球面坐标

球面坐标的体积元素

作业:P251: 1,2,3, 4, 5.


21 5

§9.3 三重积分

一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

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结束


21 5

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重

一、三重积分的概念

  • 三重积分的定义

设f(xyz)是空间有界闭区域上的有界函数

将任意分成n个小闭区域

v1v2vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积

在每个小闭区域vi上任取一点(iii)作作和

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21 5

一、三重积分的概念

  • 三重积分的定义

  • 三重积分中的各部分的名称

  •  ————积分号

  • f(xyz)——被积函数

  • f(xyz)dv—被积表达式

  • dv ————体积元素

  • xyz———积分变量

  •  ————积分区域

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一、三重积分的概念

  • 三重积分的定义

  • 直角坐标系中的三重积分

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixiyizi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作

  • 三重积分的性质

三重积分的性质与二重积分的性质类似

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二、三重积分的计算

1利用直角坐标计算三重积分

设积分区域为

{(xyz)| z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb}

>>>

>>>

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平面x2yz1所围成的闭区域

区域可表示为

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  • 先二重积分后定积分的方法

一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分

设积分区域为

{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}

其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则

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空间区域可表为

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21 5

2利用柱面坐标计算三重积分

  • 点的柱面坐标

设M(xyz)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P( )则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为

0< 02<z<

  • 直角坐标与柱面坐标的关系

xcosysinzz

  • 柱面坐标系中的体积元素

dvdddz

提示

简单来说dxdy

dd

dxdydz

dxdydz

dddz

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21 5

2利用柱面坐标计算三重积分

  • 点的柱面坐标

设M(xyz)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P( )则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为

0< 02<z<

  • 直角坐标与柱面坐标的关系

xcosysinzz

  • 柱面坐标系中的体积元素

dvdddz

  • 柱面坐标系中的三重积分

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由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域

闭区域可表示为

2z4

02 02

提示

提示

的上边界曲面为z=4 下边界曲面为zx2y2用极坐标可表示为z2 所以2z4

在xOy面上的投影区域为x2y24, 用极坐标可表示为: 02, 0q2.

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3利用球面坐标计算三重积分

  • 点的球面坐标

这样的三个数r、、叫做点M的球面坐标 这里r、、的变化范围为

0r< 0< 02

设M(xyz)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、来确定 如图

  • 直角坐标与球面坐标的关系

xrsincosyrsinsinzrcos

  • 球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd

  • 球面坐标系中的三重积分

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例4求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

该立体所占区域可表示为

0r2acos

0 02

于是所求立体的体积为

提示

此球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az

在球面坐标下此球面的方程为r22arcos即r2acos

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例4求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

该立体所占区域可表示为

0r2acos

0 02

于是所求立体的体积为

结束


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