第一章 静电场 ( 一 )

1. 第一章 静电场(一)

2. 定义： 指对研究者（所采用的坐标）而言，电场与激发电场的电荷的分布都是相对静止的，不随时间的变化而改变。 内容： 静电场的基本规律 这些规律的简单应用 即求解一些简单的静电场问题。 研究对象：静电场

3. 静电场的基本特征： 对静止电荷施力。 静电场的基本规律： 两个积分形式的定理 两个微分形式的定理 静电场 • 静电场的求解： 边值问题－边界条件 泊松方程 拉普拉斯方程

4. 第一章 静电场(一) §1-1 电场与电场强度 §1-2 电场的叠加原理 §1-3 电场的图示 §1-4 真空中的高斯通量定理 §1-5 电介质中的高斯通量定理 §1-6 电场强度 的环路定理与电位函数 §1-7 电位梯度 §1-8 静电场的边界条件 §1-9 微分形式的高斯定理 §1-10 微分形式的电场强度环路定理 §1-11 泊松方程与拉普拉斯方程 §1-12 静电场的边值问题

5. 电场与电场强度 §1-1 电场与电场强度 一、电场的物质性 带电体周围的空间，存在着一种特殊形态的物质——电场 当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场给予的力，通常称之为电场力 电场能对电荷施力作功，说明电场具有能量，这是电场物质性的重要表现。两点电荷间(或两带电体间)的力，正是通过电场而进行传递的。

6. 电场与电场强度 二、电场强度 1. 电场强度的定义 微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点电荷电量之比的极限，通常以 表示  Δq为正的试验点电荷的电量，国际单位制，单位为库仑(C)； 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，国际单位制 单位为伏特每米(V/m) 。 2.说明

7. 电场与电场强度 三、点电荷的电场强度 1. 库仑力,库仑定律

8. 电场与电场强度 为从点电荷q指向场中任意被研究点的单位矢量 2. 点电荷电场强度 注意：(1)这一表达式只适用于点电荷的情况。 (2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状如何。库仑定律都适用。

9. 电场与电场强度 例：真空中XOY平面上有三个点电荷，已知他们所带的电量和位置，试确定坐标原点处的电场强度。

10. 电场与电场强度

11. 电场的叠加原理 §1-2 电场的叠加原理 一、电场的叠加原理 “力”服从叠加原理 电场强度是单位正点电荷所受的电场力。线性媒质（在媒质电容率与场强无关)中，电场强度亦服从叠加原理。 在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的矢量和(矢量叠加)。这一结论称之为场的叠加原理。 表达式

12. 电场的叠加原理 二、电荷作任意分布时电场强度的计算 线电荷 电荷线密度 dq为线元dl上所具有的电量。 τ的单位为库仑每米(C/m)。 当电荷沿空间曲线 连续分布时， 空间任一点的场强

13. 面电荷 电荷面密度 dq为面元 上所具有的电荷量 σ的单位为库仑每平方米(C/m2) 电荷沿空间曲面S连续分布 空间任一点的电场强度为 R为面元至研究点的距离 为面元指向研究点方向上的单位矢量。

14. 体电荷电荷体密度 ρ的单位为库伦每立方米(C/m3) 当电荷在空间作体积分布 空间任一点的电场强度为 R为体积元dV至研究点的距离 为体积元dV指向研究点方向上之单位矢量。

15. 本节小结 电场的定义 叠加原理 点电荷、线电荷、面电荷、体电荷 电场的计算 定义：力－叠加原理 点电荷电场强度－线、面、体积分－线电 荷、面电荷、体电荷分布的电场强度 电荷任意分布时电场强度计算思路列表

16. 例1-1 真空中长度为2L的均匀带电直线，它所带的电荷量为q，试确定直线外任一点处的电场强度。 解：建立一直角坐标系 坐标原点o位于带电直线的中点 电场对带电直线作轴对称分布 研究坐标平面xoz上的电场分布具有普遍性 取圆柱坐标系α＝0的半平面上任一点P，令其圆柱坐标为(r，0，z)，此点即在平面xoz上。

17. 线电荷密度τ为 线电荷元dq=τdl在场点P处场强 的方向是不同 l、R、θ对于不同的线电荷元都是变量，有联系 可统一用一个变量θ来表示

18. 点P处场强的z轴分量Ez为 场强的径向分量Er为 r为场点到带电直线的距离；θ1和θ2分别是带电直线的两端点到场点的矢径方向与正z轴方向之间的夹角。

19. 讨论： 1.当L→∞，带电直线为无限长直线 θ1→0,θ2→π 电场强度只有径向分量 2. 当场点到带电直线的距离较之到直线两端的距离小得多时,运用无限长带电直线的场强计算公式求解该点场强，可以获得足够精确的结果。 3. 在远离长度为2L的带电直线处的电场强度，相当于全部电荷量q集中在直线中点处的点电荷所产生的电场强度。

20. 电场的图示 §1-3 电场的图示 一、电力线 1 电力线是空间有向曲线，线上每点的切线方向，代表该点处的电场强度方向 2 电力线在空间是不能彼此相交的。电力线只能起自正电荷而止于负电荷，它不能中断于无电荷处，也不能自行闭合 3 通过垂直于力线的微小面元单位面积上的力线数等于该面元上的电场强度的数值 4 各点电场强度的大小，就能以电力线分布的疏密程度来表示

21. 电场的图示 - +

22. 电场的图示 二、电场的形象化 电场的规律： 1 电力线(场强矢量线)是有源头的，正电荷是其正源头，负电荷是其负源头，因此，静电场为有源场； 2 电力线(场强矢量线)不能自行闭合，它不是旋涡矢量线，因而静电场中既没有旋涡线，也没有旋涡点，静电场为无旋涡场，或者是无旋场。 静电场的特点 二

23. §1-4 真空中的高斯通量定理 一、电场强度通量 伏特米(V·m) 闭合曲面S的场强通量 以均匀电场为例说明场强通量的大小

24. 真空中的高斯通量定理 二、真空中的高斯通量定理 静电场中，当媒质为真空时，以点电荷为中心的球面电场强度的通量 结论： 1、静电场中，当媒质为真空时，以点电荷为中心的球面电场强度的通量等于所包含的电荷量与真空电容率之比，与面积无关； 2、闭合面不一定是球面； 3、若干电荷，电场强度可以叠加，积分可以相加，等式右边可以是电荷的代数和。

25. 真空中的高斯通量定理 高斯通量定理 静电场中，当媒质为真空时，通过任一闭合曲面S的电场强度通量，等于该曲面所包含的电荷量的代数和与真空电容率ε0之比。 高斯定理在大的空间范围内描述了静电场的性质 静电场是一个有源场

26. 真空中的高斯通量定理 高斯定理的应用------求对称电荷分布的场强分布 球、面、轴对称的电场分布以及球、面、轴对称的电场的叠加 利用高斯定理的解题步骤： １、对称分析 ２、选择合适的高斯面 要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将电场强度提到积分号外；   要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cosθ提到积分号外   要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积 ３、利用高斯定理求电场分布

27. 真空中的高斯通量定理 例1-2 真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度为ρ，同心球面内外半径分别为R1和R2。试求球层内外的电场强度。 解 电荷分布为球对称 R<R1 R1<R<R2任意作半径为R的同心球面S，在面S上各点处电场强度的大小相等，方向沿径向，由高斯定理有

28. 真空中的高斯通量定理 同点电荷电场强度 R>R2 讨论

29. 真空中的高斯通量定理 例1-3 真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷体密度为常数ρ，球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心距离为a，且 a+R1<R2。试证明球形空腔内的电场是均匀的。 证：若将球形空腔填满体电荷ρ，则可得出半径为R2的球体内各点的场强 为球心02至场点P的矢径

30. 真空中的高斯通量定理 单独考虑填充了-ρ的R1球体内 为球心o1至半径为R1的球体内场点P的矢径,取球形空腔内任一点P,它的场强为  球形空腔内任一点处的电场强度

31. 真空中的高斯通量定理 本节小结 通量的定义 高斯定理 描述、静电场的性质、应用

32. §1-5 电介质中的高斯通量定理 一、静电场中的导体 导体的特点： 大量自由电子 可以在导体中自由运动 导体放入静电场： 自由电子会在导体中定向移动并 累积在导体表面，建立附加电场。 当感应电荷建立的附加电场与外电场 在导体内处处抵消，导体中达到新的 平衡 静电场中导体： E＝0，等位体自由电子不再移动 表面E垂直于表面，电荷分布于表面

33. 电介质中的高斯通量定理 二、静电场中的电介质 1 电介质的极化现象 若在电容率为ε0的真空媒质中，放入其它电介质，在电场的作用下，电介质将受到极化。形成电偶极子；在均匀介质内部仍然呈现中性；介质的左、右两侧边缘处，则附着了过剩的或正或负的束缚电荷。 2 电介质边缘束缚电荷对电场的影响 分子极化示意 介质极化示意

34. 电介质中的高斯通量定理 3 高斯定理的修正 考虑了介质边缘处的束缚电荷，可认为场中介质的电容率为ε0，或者考虑了介质边缘所出现的束缚电荷之后，可认为电场处在真空媒质之中。 式中：q′为闭合曲面S内存在于介质交界面上的所有束缚电荷量。

35. 电介质中的高斯通量定理 为包括束缚电荷在内的全部电荷所激发的电场的场强 三、电介质中的高斯定理 1 电极化强度矢量 当介质受到极化时，不同介质交界边缘处的束缚电荷，是介质内分子束缚电荷微观位移的结果。 在各向同性线性介质中 Χe 电极化率

36. 电介质中的高斯通量定理 高斯定理 2 电介质中的高斯定理——高斯定理的一般形式 电场中，通过某闭合曲面S的电位移矢量D的通量(电通量)，等于该闭合曲面内所包含的自由电荷量的代数和。

37. 电介质中的高斯通量定理 称之为电位移矢量 线类比电力线，可引入电位移矢量的通量概念，称之为 电通量 线必发自正的自由电荷，而止于负自由电荷 在引入电位移矢量后，高斯定理在形式上撇开了电介质影响。 为包括束缚电荷在内的全部电荷所激发的电场的场强 εr=ε/εo称为电介质的相对电容率 静电场中基本定理的积分形式——电介质中的高斯定理

38. 同一介质内的电位移线分布 穿过两不同介质的电位移线分布 而D 的分布与ε有关。如图所示这样两个电场，场中导体形状相同，所带电荷量亦完全相同，但介质分布状况彼此不同。此时它们的电位移矢量D 的分布则完全不同，其电场强度E的分布也完全不同。但是，通过包围导体高斯面S的D的通量却是完全相同的。

39. 例： 一导体球q=1.26×10-9C，半径R1=10cm，周围介质的电容率为2ε0的固体电介质，均匀。求电介质在导体球表面上的电位移、电场强度E 以及极化电荷面密度。 解：

40. 例1-4 一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属层的内半径R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量为τ= 5.56×10-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率εr1=5的固体电介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外充满相对电容率εr2=2.5的绝缘油。求电缆内电场强度E 的分布以及介质交界面上的极化电荷面密度。

41. 解：对称性，离轴线R处的电位移矢量大小相等，方向为径向，选择与轴线垂直的上下底面S1、S2与半径为R的圆柱面S3共同组成高斯面S，设S1与S2之间距离为单位长度，则根据高斯定理解：对称性，离轴线R处的电位移矢量大小相等，方向为径向，选择与轴线垂直的上下底面S1、S2与半径为R的圆柱面S3共同组成高斯面S，设S1与S2之间距离为单位长度，则根据高斯定理

42. 芯线表面R=R1+处的极化电荷面密度为 交界面上极化电荷面密度为

43. 对 比 绝缘配合时，芯线表面R=R1+处的极化电荷面密度为 若不采用绝缘配合，芯线表面R=R1+处的极化电荷面密度为 E 的最大值会高些，极化电荷密度小，削弱E 的能力差，故采用绝缘配合可以降低电缆中电场强度最大植（芯线表面处）

44. 三 本节小结 1、电介质中电位移D、电场强度E、电极化强度P关系 2、高斯定理

45. §1-6 电场强度E的环路定理与电位函数 一、静电场中电场强度E的环路定理 静电场中，电场强度沿任意闭合环路l的有向曲线积分恒等于零 这一积分形式定理说明，静电场是无旋场，静电场中场强矢量线(电力线)不可能是闭合曲线或旋涡线

46. 电场强度E的环路定理与电位函数 二、静电场中的电位函数 取任意闭合路径AmBnA有 (1-22) 1、A、B两点间电位差或电压 其值为将单位正点电荷从点A搬移至点B时，电场力所作之功 单位：伏特(V)（国际单位制）

47. 电场强度E的环路定理与电位函数 2.点A的电位 3.点电荷电场的电位 场中某点的电位亦是表征该点电位能的物理量，它表示单位正点电荷在电场中该点所具有的位能 4.等位线 由电位差的表达式可知，等位线或等位面恒与电场强度E 线(电力线)垂直。 5.电位的相对性与电压的绝对性 电位是一个相对量。场中任一点的电位数值，随参考点选取不同而不同，但场中任意两点间电位差或电压却是固定的，它们与参考点的选择无关。

48. 电场强度E的环路定理与电位函数 例1-5 长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度L远大于截面尺寸，若缆芯的外半径为R1，外皮的内半径为R2，其间绝缘介质的电容率为ε，试确定其中电场强度与电压的关系。 解：作半径为R的同轴圆柱面，R1<R<R2。设缆芯单位长度上的电荷量为τ，由高斯定理 两柱面间的电压

49. 电场强度E的环路定理与电位函数 例1-6圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为ρ的均匀体积电荷，电容率为ε。内、外柱面的半径分别为R1和R2，施加电压U12。求电容器内电场强度和电位函数的分布。 解：设其单位长度柱面的电荷量为τ，取半径为R (R1<R<R2)，高度为1个单位的同轴圆柱面，则其所包围的电荷为τ+π(R2-R21)ρ。根据高斯定理