1 / 25

第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 — 点 , 线 , 面 数量关系 — 坐标 , 方程（组）

第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 — 点 , 线 , 面 数量关系 — 坐标 , 方程（组） 基本方法 — 坐标法 ; 向量法. 本章教学要求： （ 1 ）理解空间直角坐标系。 （ 2 ）理解向量的概念。. （ 3 ）掌握向量的坐标表示及运算（线性运算、内积及外积）会求两个向量的夹角，知道向量的方向余弦，知道两个向量平行与垂直的充要条件。. （ 4 ）了解平面方程、直线方程的概念，会求简单的平面方程，直线方程。.

hammer
Download Presentation

第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 — 点 , 线 , 面 数量关系 — 坐标 , 方程（组）

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式— 点, 线, 面 数量关系—坐标,方程（组） 基本方法— 坐标法; 向量法

  2. 本章教学要求：（1）理解空间直角坐标系。（2）理解向量的概念。本章教学要求：（1）理解空间直角坐标系。（2）理解向量的概念。 （3）掌握向量的坐标表示及运算（线性运算、内积及外积）会求两个向量的夹角，知道向量的方向余弦，知道两个向量平行与垂直的充要条件。 （4）了解平面方程、直线方程的概念，会求简单的平面方程，直线方程。 （5）了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面的方程其图形，知道以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。 （6）知道空间曲线的参数方程和一般方程，会求简单空间曲线在坐标平面上投影。 单元教学重点：向量的概念，向量的坐标表示及运算，两个向量平行与垂直的充要条件。简单的平面方程与直线方程的确定，常用二次曲面的方程及其图形。

  3. 第七章 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示 四、向量的模、方向角、方向余弦

  4. Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅴ 一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 由三条互相垂直的数轴按右手规则 过空间一定点 o , 组成一个空间直角坐标系. z轴(竖轴) • 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 zox面 • 卦限(八个) y轴(纵轴) x轴(横轴)

  5. 在直角坐标系下 向径 点M 有序数组 (称为点M的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

  6. 坐标轴 : 坐标面 :

  7. 二、向量与向量的线性运算 1、向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 或 a , 有向线段 M1M2 , 表示法: 向量的大小, 向量的模 : 起点为原点的向量. 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 模为 0 的向量, 零向量:

  8. 则称 a 与 b 相等, 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 记作－a ; 与 a的模相同, 但方向相反的向量称为 a的负向量, 记作 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线. 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面.

  9. 2、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

  10. 2. 向量的减法 三角不等式

  11.  与 a的乘积是一个新向量, 记作 3. 向量与数的乘法  是一个数 , 规定 : 可见 总之: 结合律 运算律 : 分配律 因此

  12. a∥b 设 a∥b 证: “ ”. , a , b同向时 则 b与  a同向, 设又有 b＝a , 设a为非零向量 , 则 定理1. ( 为唯一实数) , 取 ＝± 取正号, 反向时取负号, 且 再证数  的唯一性 . 则

  13. “ ” 已知b＝ a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 ABCD 对角线的交点, 则 例1.设 M为 解:

  14. 任意向量 r可用向径 OM表示. 此式称为向量r的坐标分解式, 三. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点M 的坐标为 则 沿三个坐标轴方向的分向量.

  15. 设 则 平行向量对应坐标成比例:

  16. 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

  17. 为顶点 例2.求证以 的三角形是等腰三角形 . 证: 即 为等腰三角形 .

  18. 因此所求点C（0，2，0） • 例3在y轴上求与点A（1，-3，7）和B（5，7，-5）等距离的点。 解：设所求点的坐标为C（0,y,0） 由题意|AC|=|BC| 由两点间距离公式得： 解之y=2

  19. 记作 2. 方向角与方向余弦 任取空间一点 O , 设有两非零向量 称  =∠AOB (0≤ ≤  )为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

  20. 方向余弦的性质:

  21. 和 计算向量 例4. 已知两点 的模 、方向余弦和方向角 . 解:

  22. 向径 OA与 x轴 y 轴的夹 例5. 设点 A位于第一卦限, 角依次为 求点 A的坐标 . 则 解: 已知 于是 故 因点 A在第一卦限 , 故点 A的坐标为 作业P8 3 , 5, 9, 12, 13

  23. 备用题 1.设 求向量 在 x轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 解:因 故在 x轴上的投影为 在 y轴上的分向量为

  24. 2. 为边的平 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 解： 对角线的长为 该平行四边形的对角线的长度各为

More Related