Modelizaci n de distribuciones
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MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES. 1 . FUNCIONES DE PROBABILIDAD. 1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. 1.2 RELACIONES ENTRE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ESPECÍFICAS. Normal: n N(, 2 ) Normal estándar: z N(0,1) Chi-cuadrado: x X 2 (g) Si z i N(0,1) son independientes =>

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MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES

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Modelizaci n de distribuciones

MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES

RATS


1 funciones de probabilidad

1. FUNCIONES DE PROBABILIDAD

RATS


1 1 distribuciones de probabilidad

1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

RATS


1 2 relaciones entre distribuciones de probabilidad espec ficas

1.2 RELACIONES ENTRE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ESPECÍFICAS

  • Normal: nN(, 2)

  • Normal estándar: zN(0,1)

  • Chi-cuadrado: x X2(g)

    Si zi N(0,1) son independientes =>

  • F-snedecor: f F(g1 ,g2)

    Si xi X2(gi )son independientes =>

  • t-student: t t(g)

    Si zN(0,1) y xX2(g)son independientes =>

RATS


1 3 funciones de distribuci n emp ricas no param tricas

1.3 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN EMPÍRICAS NO PARAMÉTRICAS

  • Histograma:Diagrama de frecuencia relativas. No es una función continua (no se solapan los intervalos) y depende del número de puntos (o unidad de medida) en que centremos cada estimación x0.

    • En dónde I(·) es la función Indicador:

RATS


Modelizaci n de distribuciones

  • Mediante funciones núcleo (Kernel):La función K(·) supone una medida de la densidad o “importancia” relativa de las observaciones entorno al punto de referencia x0.

  • La función se va desplazando por el número de puntos de la muestra (N), de forma que consigue una curva continua.

RATS


Modelizaci n de distribuciones

  • Respecto a la ponderación de los puntos de la muestra que entran en

    1.- Depende del tamaño de la ventana (h).

    Conforme , más alisada será la forma de la curva de ,pero estará menos ponderada la importancia del punto de referencia x0 (estará menos concentrada la probabilidad entorno al punto x0), con lo cual será menos exacta. Existe un trade-off entre exactitud y suavidad de la curva.

    2.- El tipo de ponderación depende del tipo de núcleo o Kernel K(·).

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Algunos tipos de núcleo o KernelK(v);

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Tipos de núcleos o Kernels:

1: Cuadrático;

2: Triangular;

3: Epanechnikov;

4: Gaussiano o Normal;

5: Uniforme o rectangular.

RATS


Modelizaci n de distribuciones

  • Respecto a la elección del tipo de núcleo o Kernel K(·), cabe decir que se ha demostradoque aquel más eficiente es el de Epanechnikov, pero la diferencia de la entre una u otra forma funcional, no resulta tanrelevante en la práctica.

RATS


Modelizaci n de distribuciones

  • No pasa lo mismo con la elección del tamaño de la ventana h, que puede producir una estimación de sesgada o con una alta variablidad. Silverman propone un tamaño de h óptimoque pretende equilibrar dicho trade-off:

    • Dónde RIQ en es rango intercuartílico (diferencia entre la observación del percentil 75 y del percentil 25), y es la desviación típica de la serie x.

    • Nota: el h que se utiliza por defecto en RATS no depende de N,

      ; en EViews utiliza el h de Silverman, ponderado con un parámetro que difiere entre K(·).

RATS


2 modelizaci n de distribuciones usando winrats v5 0

2.MODELIZACIÓN DE DISTRIBUCIONES

USANDOWinRATS v5.0

RATS


Instrucci n density density opciones serie inicio fin nombre serie eje nombre serie densidad

Instrucción DENSITY:DENSITY (opciones) serie inicio fin nombre_serie_eje nombre_serie_densidad

  • Estima la función de densidad de una serie aleatoria de datos. Puede ser mediante la utilización de funciones Kernel o un Histograma.

    • Opciones:

      • TYPE=[EPANECHNIKOV]/TRIANGULAR/GAUSSIAN/

        /HISTOGRAM

        » BANDWITH=h » Por defecto:

      • GRID=[AUTOMATIC] » Escalona el eje de ordenadas en 100 unidades equidistantes que representan la amplitud de la muestra. /INPUT » Serie que se introduzca

RATS


Instrucci n accumulate accumulate opciones serie inicio fin nueva serie nuevo inicio

Instrucción ACCUMULATE:ACCUMULATE(Opciones) serie inicio fin nueva_serie nuevo_inicio

  • Realiza la suma la parcial de serie y guarda los resultados en nueva_serie .

    • Opciones:

      • SCALE/[NOSCALE] » Divide los datos de entrada de la nueva_serie por la suma total, de forma que acaba con el valor 1.0

RATS


Funciones

FUNCIONES

  • %RAN(s)» Junto con la instrucción SET genera una serie de datos ‘aleatorios’ de distribución normal con media 0 desviación típica s nN(0, s 2)

  • SQRT(x) » Devuelve el valor de la raíz cuadrada de x

RATS


3 1 normal est ndar z n 0 1 input z prg

3.1 Normal estándar: zN(0,1) input_z.prg

* Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de

* muestra N=1000:

ALLOCATE 1000

*Para generar una serie aleatoria N(0,1):

SET Z1 = %RAN(1)

GRAPH 1

# Z1

*Vemos algunos estadísticos descriptivos:

TABLE / Z1

STATISTICS Z1

RATS


Modelizaci n de distribuciones

*Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma

*y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov)

DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) z1 / EGRIDZ EDENSZ

DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) z1 / HGRIDZ HDENSZ

SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$

HEADER= ’FDE DE UNA N(0,1)', KEY=UPLEFT) 2

# HGRIDZ HDENSZ

# EGRIDZ EDENSZ

*Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación

*de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov)

ACCUMULATE(SCALE) EDENSZ / EDISTRIZ

GRAF 1

# EDISTRIZ

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Normal estándar: zN(0,1)

Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum

Z1 1000 -0.0030477023 1.0173309898 -3.1715377196 3.8485497781

Statistics on Series Z1

Observations 1000

Sample Mean -0.0030477023 Variance 1.034962

Standard Error 1.0173309898 SE of Sample Mean 0.032171

t-Statistic -0.09473 Signif Level (Mean=0) 0.92454435

Skewness -0.04086 Signif Level (Sk=0) 0.59837281

Kurtosis -0.09030 Signif Level (Ku=0) 0.56132486

Jarque-Bera 0.61808 Signif Level (JB=0) 0.73415167

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Normal estándar: zN(0,1)

RATS


3 2 chi cuadrado x x 2 3 input x prg

3.2 Chi-cuadrado: x X2(3) input_x.prg

* Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de

* muestra N=1000:

ALLOCATE 1000

*Para generar una serie aleatoria x X2(3)

SET Z1 = %RAN(1)

SET Z2 = %RAN(1)

SET Z3 = %RAN(1)

SET X = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2)

GRAPH 1

# X

TABLE / X

STATISTICS X

RATS


Modelizaci n de distribuciones

*Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma

*y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov)

DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) X / EGRIDX EDENSX

DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) X / HGRIDX HDENSX

SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$

HEADER= ’FDE DE UNAX(3)', KEY=UPLEFT) 2

# HGRIDX HDENSX

# EGRIDX EDENSX

*Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación

*de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov)

ACCUMULATE(SCALE) EDENSX / EDISTRIX

GRAF 1

# EDISTRIX

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Chi-cuadrado: x X2(3)

Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum

X 1000 3.0782714711 2.5028280911 0.0092591082 20.0198238661

Statistics on Series X

Observations 1000

Sample Mean 3.07827147105 Variance 6.264148

Standard Error 2.50282809114 SE of Sample Mean 0.079146

t-Statistic 38.89340 Signif Level (Mean=0) 0.00000000

Skewness 1.77806 Signif Level (Sk=0) 0.00000000

Kurtosis 4.79507 Signif Level (Ku=0) 0.00000000

Jarque-Bera 1484.94398 Signif Level (JB=0) 0.00000000

RATS


Modelizaci n de distribuciones

Chi-cuadrado: x X2(3)

RATS


3 3 f snedecor f f 3 2 input f prg

3.3 F-snedecor: f F(3 ,2) input_f.prg

* Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de

* muestra N=1000:

ALLOCATE 1000

*Para generar una serie aleatoria f ?F(3 ,2)

SET Z1 = %RAN(1)

SET Z2 = %RAN(1)

SET Z3 = %RAN(1)

SET Z4 = %RAN(1)

SET Z5 = %RAN(1)

SET X1 = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2)

SET X2 = (Z4**2)+(Z5**2)

SET F = (X1/3)/(X2/2)

GRAPH 1

# F

TABLE / F

STATISTICS F

RATS


Modelizaci n de distribuciones

*Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma

*y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov)

DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV) F / EGRIDF EDENSF

DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) F / HGRIDF HDENSF

SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$

HEADER= ’FDE DE UNA F(3,2)', KEY=UPLEFT) 2

# HGRIDF HDENSF

# EGRIDF EDENSF

*Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación

*de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov)

ACCUMULATE(SCALE) EDENSF / EDISTRIF

GRAF 1

# EDISTRIF

RATS


Modelizaci n de distribuciones

F-snedecor: f F(3 ,2)

Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum

F 1000 5.810238071 23.699459256 0.007862182 504.124912038

Statistics on Series F

Observations 1000

Sample Mean 5.8102380711 Variance 561.664369

Standard Error 23.6994592563 SE of Sample Mean 0.749443

t-Statistic 7.75274 Signif Level (Mean=0) 0.00000000

Skewness 12.96581 Signif Level (Sk=0) 0.00000000

Kurtosis 226.67497 Signif Level (Ku=0) 0.00000000

Jarque-Bera 2168916.35184 Signif Level (JB=0) 0.00000000

RATS


Modelizaci n de distribuciones

F-snedecor: f F(3 ,2)

RATS


3 4 t student t t 3 input t prg

3.4 t-student: t t(3) input_t.prg

* Instrucción para operar con series de datos sin fechas y con un tamaño de

* muestra N=1000:

ALLOCATE 1000

*Para generar una serie aleatoria t t(3)

SET Z1 = %RAN(1)

SET Z2 = %RAN(1)

SET Z3 = %RAN(1)

SET Z4 = %RAN(1)

SET X = (Z1**2)+(Z2**2)+(Z3**2)

SET TS = Z4/(SQRT(X/3))

GRAPH 1

# TS

TABLE / TS

STATISTICS TS

RATS


Modelizaci n de distribuciones

*Para calcular su Función de Densidad Empírica (Histograma

*y mediante núcleo o Kernel de Epanechnikov)

DENSITY(TYPE=EPANECHNIKOV)TS / EGRIDT EDENST

DENSITY(TYPE=HISTOGRAM) TS / HGRIDT HDENST

SCATTER(STYLE=BARGRAPH,OVERLAY=LINE,$

HEADER= ’FDE DE UNA t(3)', KEY=UPLEFT) 2

# HGRIDT HDENST

# EGRIDT EDENST

*Para calcular su Función de Distribución Empírica (Acumulación de la estimación

*de la FDE medinate núcleo o Kernel de Epanechnikov)

ACCUMULATE(SCALE) EDENST / EDISTRIT

GRAF 1

# EDISTRIT

RATS


Modelizaci n de distribuciones

t-student: t t(3)

Series Obs Mean Std Error Minimum Maximum

TS 1000 0.071069498 1.526850132 -11.279162151 9.758813299

Statistics on Series TS

Observations 1000

Sample Mean 0.07106949844 Variance 2.331271

Standard Error 1.52685013190 SE of Sample Mean 0.048283

t-Statistic 1.47193 Signif Level (Mean=0) 0.14135502

Skewness -0.19858 Signif Level (Sk=0) 0.01047413

Kurtosis 6.96155 Signif Level (Ku=0) 0.00000000

Jarque-Bera 2025.87015 Signif Level (JB=0) 0.00000000

RATS


Modelizaci n de distribuciones

t-student: t t(3)

RATS


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