隨機變數機率分配二元隨機變數之機率分配隨機變數函數之機率分配

隨機變數機率分配 二元隨機變數之機率分配隨機變數函數之機率分配

4.1 隨機變數 4.1.1 隨機變數之型態 (一)離散型隨機變數 (二)連續型隨機變數 4.2 機率分配 4.2.1 離散型隨機變數之機率分配 4.2.2 連續型隨機變數之機率分配

4.1.1 隨機變數之型態 隨機變數依其產生結果之數值個數可分為以下兩種型態： (一)離散型隨機變數 (discrete R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為有限或無限可數的隨機變數。 (二)連續型隨機變數 (continuous R.V. ) 指所有可能產生的數值個數為無限且不可數之隨機變數。

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(1/7) (一)離散型隨機變數之機率函數當隨機變數為離散型，其機率函數必須滿足以下三個條件： (1) (2)，對所有實數 (3)，代表隨機變數X 所有可能產生的值。參見例4.2

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(2/7) 例題 4.2 投擲硬幣二次，令隨機變數表出現正面的次數，請找出R.V.X 的機率函數。【解】因為X的所有可能值為0, 1, 2。所以當「X=0」，表示其樣本點為 (反, 反) 的事件，因此，「X=1」，表示其樣本點為 (正, 反) 及 (反, 正) 的事件，因此，「X=2」，表示其樣本點為 (正, 正) 的事件，因此，

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(3/7) 承上頁所以R.V.X之機率函數其機率分配可表示如表 4.1：

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(4/7) 承上頁，其機率分配圖如圖 4.2：

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(5/7) (二)離散型隨機變數X 之累積分配函數假設X 為一離散型隨機變數，且為R.V. X 的機率函數，則之累積分配函數為 (三)累積分配函數特性 (1)為遞增函數（如果，則） (2)，若隨機變數X 為離散型且其所有變量由小到大依序排列為，則參見例4.6

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(6/7) 例題 4.6 某公司考慮一個新的生產計劃。而該計劃可能報酬之機率分配如下： (1)試問該計劃報酬之累積分配函數為何？ (2)試問該計劃報酬為正值的機率為何？

4.2.1 離散型隨機變數之機率分配(7/7) 承上頁【解】 (1)因為累積分配函數，所以 (2) ，或

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配(1/4) (一)連續型隨機變數之機率函數若函數滿足下列三個條件，則稱為一連續型隨機變數之機率密度函數。 (1) (2) 若X 為一實數，則 (3) 參見例4.10

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配(2/4) 例題 4.10 若函數，請問為一機率密度函數？【解】 (1)當 ，當或，所以對所有實數x 時， (2) 所以當一隨機變數X定義為，則即為R.V.X之機率密度函數

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配(3/4) (二)連續型隨機變數之累積分配函數假設X 為一連續型隨機變數，且為其機率密度函數，則 X 之累積分配函數：例題 4.13 令一連續型隨機變數X 之p.d.f 如下：請找出R.V.X之累積機率函數參見例4.13

4.2.2 連續型隨機變數之機率分配(4/4) 承上頁【解】 (1)當， (2)當， (3)當，因此，

4.3 二元隨機變數之機率分配 4.3.1 離散型二元隨機變數 4.3.2 連續型二元隨機變數 4.3.3 邊際機率函數 (一)離散型二元隨機變數之邊際機率函數 (二)連續型二元隨機變數之邊際機率函數 4.3.4 條件機率分配 (一)離散型隨機變數之條件機率函數 (二)連續型隨機變數之條件機率函數 4.3.5 獨立隨機變數 4.3.6 多元隨機變數

4.3.1 離散型二元隨機變數 (1/3) (一)離散型二元隨機變數(X,Y)之聯合機率(質量)函數若X，Y為離散型隨機變數，且為 R.V.X之所有變量，為 R.V.Y之所有變量，則為二元隨機變數之聯合機率函數，若且為若滿足下列三個條件： (1) (2)對所有的， (3) 參見例4.16

4.3.1 離散型二元隨機變數 (2/3) 例題 4.16 在一產品之市場調查中，發現消費者欲購買此產品與否 (以X 表示)與消費者年齡 (以Y 表示)之資料如下：請問 (1) 之聯合機率函數為何？ (2) 16~25歲且欲購買此產品之比例為何？

4.3.1 離散型二元隨機變數 (3/3) 承上頁【解】 • 之聯合機率函數如下表所示： (2)

4.3.2 連續型二元隨機變數 (1/5) (一)連續型二元隨機變數(X,Y)之聯合機率函數若為連續型二元隨機變數 (X, Y)之聯合機率密度函數，若且為若需滿足下列三個條件： (1) ，對任何xy平面之區域A註1， (註1：表函數以A為底所形成之體積) (2) 對所有實數x , y (3) 參見例4.18

4.3.2 連續型二元隨機變數 (2/5) 例題 4.18 (1)請問是否可為一連續型二元隨機變數之聯合機率密度函數j.p.d.f.？ (2)若(1)成立，試求 (3)若(1)成立，試求

4.3.2 連續型二元隨機變數 (3/5) 承上頁【解】 (1) 定義 當當在上述條件之外，因此，對任意x，y，  由上述之條件得知為連續型隨機變數之 j.p.d.f.。

4.3.2 連續型二元隨機變數 (4/5) 承上頁 (2)

4.3.2 連續型二元隨機變數 (5/5) 承上頁 (3)要計算，即計算函數在以底為的條件下所對應之體積，所以

4.3.3 邊際機率函數 (1/2) (一)離散型二元隨機變數之邊際機率函數令為一離散型二元隨機變數，且為X 之所有變量，為Y 之所有變量，為二元隨機變數之聯合機率函數，隨機變數X、Y之邊際機率函數分別可以、表示如下： R. V. X 之邊際機率函數： R. V. Y 之邊際機率函數：

4.3.3 邊際機率函數 (2/2) (二)連續型二元隨機變數之邊際機率函數令為一連續型二元隨機變數且為之聯合機率密度函數，則

4.3.4 條件機率分配 (1/5) (一)離散型隨機變數之條件機率函數令為離散型二元隨機變數且為其聯合機率函數，為 X 之邊際機率函數，則 R.V.Y 在 X＝x 的條件下之條件機率函數定義為參見例4.21

4.3.4 條件機率分配 (2/5) 例題 4.21 由例4.16之聯合機率分配中，求(1)隨機抽取一位16～25歲之消費者，其欲購買此產品之機率為何？(2)欲購買此商品之消費者中，何種年齡層發生之機率最大？(3)試求。【解】 (1) (2) (3)

4.3.4 條件機率分配 (3/5) (二)連續型隨機變數之條件機率函數令為一連續型二元隨機變數且為其聯合機率密度函數，為X之邊際機率密度函數，R.V.Y 在 X＝x 的條件機率密度函數定義為參見例4.22

4.3.4 條件機率分配 (4/5) 例題 4.22 若連續型二元隨機變數之聯合機率密度函數 (1)試問 R.V. X 在之條件機率密度函數為何？ (2)試求 (3)試求

4.3.4 條件機率分配 (5/5) 承上頁【解】 (1) (2) (3)

4.3.5 獨立隨機變數 (1/2) 在隨機實驗中，當一隨機變數 X 發生的機率不受另一個隨機變數 Y 產生的數值所影響，則X、Y 稱之為獨立隨機變數。以條件機率(密度)函數來表示，定理4-1 令 (X , Y) 為一二元隨機變數，f (x, y)為其聯合機率(密度)函數，而g(x)、h(y)分別為R.V. X、Y之邊際機率密度函數，則以下四個敘述互為等價： (1)R.V.X、Y互為(統計)獨立。 (2)對所有x , y， (3)對所有滿足之x , y， (4)對所有滿足之x , y，參見例4.24

4.3.5 獨立隨機變數 (2/2) 例題 4.24 已知R.V. X、Y互為獨立，且R.V. X、Y之機率密度函數分別為試問二元隨機變數之聯合機率密度函數為何？【解】因為R.V.X、Y獨立，所以當時，當或或時，因此，

4.3.6 多元隨機變數 (1/6) 多元隨機變數之聯合機率函數 1.若為 n 個離散型隨機變數，如果滿足下列三個條件，則稱為 n 元隨機變數之聯合機率(質量)函數， (1) (2)對所有的， (3)

4.3.6 多元隨機變數 (2/6) 承上頁 2.若為 n 個連續型隨機變數，如果滿足下列三個條件，則稱為n元隨機變數之聯合機率密度函數： (1) (2)對所有的， (3)

4.3.6 多元隨機變數 (3/6) 多元隨機變數之邊際機率分配如下，以X1之邊際機率函數為例： (1)當為離散型， (2)當為連續型，多元隨機變數之聯合邊際機率分配如下，以之聯合邊際機率函數為例：

4.3.6 多元隨機變數 (4/6) 多元隨機變數之條件機率定義，如R.V. 在的條件機率函數為同理也可推廣至聯合條件機率分配，如在之聯合條件機率函數為

4.3.6 多元隨機變數 (5/6) 定理4-2 令為 n元隨機變數，為其聯合機率 (密度) 函數，而為 R. V.之邊際機率函數，則R.V. 互為 (統計) 獨立對所有參見例4.25

4.3.6 多元隨機變數 (6/6) 例題 4.25 已知明偉燈泡公司所生產之燈泡壽命為一隨機變數，且其機率函數為，今隨機從公司中抽出四個燈泡，令其壽命分別為，且已知互為(統計)獨立，試求，【解】因互為獨立，所以之聯合機率函數如下：當時，否則，。因此，

4.4 隨機變數函數之機率分配 (一)離散型隨機變數函數之機率分配 (二)連續型隨機變數函數之機率分配

4.4 隨機變數函數之機率分配(1/9) (一)離散型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中，定理4-3假設X 為一個離散型隨機變數且其機率函數為，如果為之一對一轉換的函數 (即，可以由此找出唯一一個關係式 )，則的機率函數參見例4.26

4.4 隨機變數函數之機率分配(2/9) 例題 4.26 若離散型之機率函數，令試問之機率函數【解】對於，Y為X 之一對一轉換的函數，即；對於，此時。所以之機率函數

4.4 隨機變數函數之機率分配(3/9) 定理4-4假設(X1, X2)為二元離散型隨機變數且其聯合機率函數為，如果和為之一對一轉換的函數，即時，可以由此找出唯一一個關係式，則之聯合機率函數

4.4 隨機變數函數之機率分配(4/9) (二)連續型隨機變數函數之機率分配我們將此定義陳述在以下定理中，定理4-5假設X為一個連續型隨機變數且其機率密度函數為，如果為之一對一轉換的函數 (即，可以由此找出唯一一個關係式 )，則的機率函數參見例4.29

4.4 隨機變數函數之機率分配(5/9) 例題 4.29 若連續型之機率密度函數，令，試問之機率密度函數【解】因為Y為X之一對一轉換的函數，即( ) 所以，，且之機率函數

4.4 隨機變數函數之機率分配(6/9) 定理4-6假設( )為二元連續型隨機變數且其聯合機率密度函數為，如果和為之一對一轉換的函數(即時，可以由此找出唯一一個關係式 )，則二元的聯合機率密度函數參見例4.30

4.4 隨機變數函數之機率分配(7/9) 例題 4.30 已知連續型的聯合機率密度函數令，試問， • 的聯合機率密度函數 • 之機率密度函數

4.4 隨機變數函數之機率分配(8/9) 承上頁【解】 (1)因為 ( )，所以且，因此之機率函數

4.4 隨機變數函數之機率分配(9/9) 承上頁 (2) 因為之機率函數為之邊際機率密度函數，所以當即

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