离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing_2009@scu.edu.cn 二零一三

重点词 -- 定义 命题(简单命题\复合命题) 命题表示基本连接词重点掌握命题的翻译上次课重点:

本次课重点 • 命题公式解释及真值表 • 等价的定义 • 证明推理的基础: 基本等价式

第二节命题合适公式与真值表 一、命题合适公式定义 1。原子命题标识符是合适公式 2。如果P、Q都是合适公式，则 P、 Q、（P Q）、（P  Q）、（PQ）、（P  Q）也都是合适公式。 3。只有按照1 和 2 产生的公式是合适公式。

约定： 1）以后我们用WFF (well-formed formula)表示术语“合适公式”。 2）简称合适公式为公式。 3）合适公式的外层括号可以去掉。例如（（ P Q）（ PQ））可以写成（P Q）（ PQ）。

二、子合适公式 定义：设G是WFF，A是G的一部分，且A也是WFF，则称 A是G的子合适公式。简称A 是G的子公式。例如：P、Q、（P   Q）、（PQ）都是（P   Q）（PQ）的子公式。

三、命题公式的解释 1。对公式G中的每个原子代以具体的命题称为对G的解释。 2。对原子代以真命题可以用对原子赋值 1来表达，对原子代以假命题可以用对原子赋值 0 来表达。 3。公式在每种解释下取得唯一的值。

例：下面是对公式G=（R   Q）（PQ） 的一个解释： P Q R 0 1 0 在这个解释下，公式G的值是 (0  0） （01）=1。

四、公式的真值表 1。真值表：由公式的全部解释构成的表。 2。真值表类似于联结词功能表，公式的原子列于最前几列，表中每行对应一种解释。 3。如果公式中有n个原子，则表中有 2 n 个不同的解释行。

例：构造公式G=（R   Q）（PQ） 的真值表。解：公式中含 3 个原子，故有 8 种可能的解释，见下表。

P Q R | R   Q PQ | G 0 0 0 | 0 1 | 1 0 0 1 | 1 1 | 1 0 1 0 | 0 1 | 1 0 1 1 | 0 1 | 1 1 0 0 | 0 0 | 0 1 0 1 | 1 0 | 1 1 1 0 | 0 1 | 1 1 1 1 | 0 1 | 1

例：构造公式G1= P（PQ）和 G2= P   (P Q)的真值表。解：下面把两个公式的真值表放在一起。 P Q | P（PQ）| P  （P  Q） 0 0 | 1 | 0 0 1 | 1 | 0 1 0 | 1 | 0 1 1 | 1 | 0

五、公式的分类 1。永真式：在任何解释下都取真值 1 的公式。也叫做重言式，如P（PQ）。永真式通常用符号T表示。 2。永假式：在任何解释下都取真值 0的公式。也叫做矛盾式，如 P  （P  Q）。永假式通常用符号F表示。

3。可满足式：至少在一种解释下取真值 1 的公式。如 P Q等。 • 显然，永真式是可满足公式，而矛盾式是不可满足公式。作业: 习题一 3,4(3)(7) 习题1. 2 1, 2(3)(7)

第三节命题公式的等价 一、定义：设A是 B两个WFF，如果在任何解释下A和B都取相同的值，则说公式A和B 是等价的。 1。A和 B等价记为 A  B。 2。定理1： A  B当且仅当A B是永真式。

定理1：证明要点：当A  B时，任何解释下A 和 B同值，因此 A B 是永真式。反之，当A B是永真式时，在任何解释下A和 B必须同值，因此 A  B。

例：验证 PQ  P Q 解：列出真值表如下： P Q | PQ |P  Q 0 0 | 1 | 1 0 1 | 1 | 1 1 0 | 0 | 0 1 1 | 1 | 1 从值表可以看出，等价式成立。

例：验证  （P Q）  P Q 解：列出真值表如下： P Q | （PQ）|P   Q 0 0 | 1 | 10 1 | 0 | 01 0 | 0 | 01 1 | 0 | 0 从真值表可以看出，等价式成立。

二、基本等价式 • 在教材中列出了常用的 14个等价式，可以利用真值表加以验证。它们表达了逻辑联结词满足的运算定律，具有普遍意义，必须记住。 1。  （P）  P （双重否定律） 2。P  P  P，P  P P （幂等律） 3。P  Q  Q P，P QQP （交换律）

4。P （Q  R） （PQ） R （ PQ R） P （Q R）（PQ） R （ PQ R）（结合律） • 根据结合律，只含  或只含 的公式，可以去掉括号。

5。 P （Q R）  （P  Q）  （P  R） P （Q  R）  （P  Q）  （P  R）（分配律） 6。 P （P R） P （吸收律） P （P  R）  P 7。  （ P  Q） P   Q （德。摩根律）  （P  Q）  P   Q

8。P FP，PT  P（同一律） 9。P  T  T，P F F （零律） 10。P  P T，P  P F（矛盾律） 11。 PQ  P Q (条件词转化) 12。 P Q（PQ）（Q P）  （P  Q） ( P   Q ） (双条件词转化)

三、公式等价的性质 1。 A  A （自反性） 2。如果A  B，则 B A （对称性） 3。如果A  B， B C 则A  C （传递性） 4。设A是公式 X 的一个子公式，且A  B。又设用 B取代X中的子公式A后得到的新公式为Y，则 X  Y。

证明要点：因为A  B，因而在任何解 释下，A和B取相同的值，因而X和 Y的取值也都相同。 • 利用上面的性质和基本等价式，就可以使用等价变换的方法去证明公式的等价问题，下面是两个例子。

例1：证明 P  Q Q   P 证明： P  Q P  Q   （ Q）   P  Q  P

煤是黑的(原命题) • 如果是煤,则是黑的( P->Q) • 煤是不黑的(否命题) • ~(P->Q) • 黑的是煤(逆命题) • 如果是黑的,则是煤( Q->P) • 不黑不是煤(逆否命题) • 如果不黑,则不是煤( ~Q->~P)

例2：证明(P  Q)  ( P  R)  P (Q R) 证明：（P  Q） （ P  R ) ( P  Q) ( P  R)  P  ( Q  R)  P (Q R)

四、对偶式 1。定义：设G是不含 和的WFF。把G 中联结词  换成  ，把  换成  、T换成F、F换成T后得到的公式记为G*，称之为G的对偶式。例如：G= P  ( Q  R) ，则G 的对偶式为 G* = P （Q  R）。

求一般WFF的对偶式，必须用基本等价 式先化去 和 ，变成只含否定、析取、合取之类联结词的等价公式后再作。 2。定理：设A、B都是WFF。如果A  B，则A*  B*。

例如：设A = P  ( Q  R) B=（ P  Q） （ P  R) 显然，A  B。它们的对偶式分别是 A* = P  ( Q  R) B* =（ P  Q） （ P  R) 同样容易看出： A*  B*。作业: 习题一 5(3)(4),6 习题1. 3 1(3)(4), 2

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