B l m 3 say sal t rev
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 8

Bölüm 3: Sayısal Türev PowerPoint PPT Presentation


  • 144 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Bölüm 3: Sayısal Türev. BirinciTürev: Bir f(x) fonksiyonunun [a,b] tanım aralığında bir x noktasındaki türevi,

Download Presentation

Bölüm 3: Sayısal Türev

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


B l m 3 say sal t rev

Bölüm 3: Sayısal Türev

  • BirinciTürev: Bir f(x) fonksiyonunun [a,b] tanım aralığında bir x noktasındaki türevi,

  • Limit ifadesiyle tanımlanır. Eğer f(x)’in analitik ifadesi biliniyorsa, türevi içinde analitik bir ifade bulunabilir. Bu analitik türev alma işlemi bazen çok karmaşık olabilir. Sayısal türevde,

  • f(x) fonksiyonu, eşit h aralıklarıyla sıralanmış xi noktalarında verilmiş olsun.

  • ve

  • h : adım uzunluğu

  • Burada xi noktasındaki türevi için sayısal hesaplamaya uygun yaklaşık bir ifade bulmak istiyoruz. Bunun için, fonksiyonun xi civarında Taylor açılımını yazalım:


B l m 3 say sal t rev

Bu ifade h değeriyle orantılı bir katkı sağlar

Bu durumda, h mertebesinde bir hata ile sayısal türev ifadesi şöyle olur.

(İleri farklı 1. türev)

Benzer şekilde geri fark ifadesi de hesaplanabilir: Bunun için f(xi-h)’nın Taylor açılımını yazarsak,

(Geri fark 1. türevi)

İleri ve geri fark türevlerinde hata payı h ile orantılıdır.


B l m 3 say sal t rev

Şekil3.1: Birinci türev için ileriye doğru yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.


Ekil3 2 birinci t rev i in geriye yakla t rman n grafiksel g sterimi

Şekil3.2: Birinci türev için geriye yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.


B l m 3 say sal t rev

Daha iyi bir ifade bulmak için ileri ve geri Taylor açılımlarının farkını alalım:

h2 ile orantılı 2.türev terimleri birbirini götürmüştür.

h2 mertebesinde bir hatayla,

(Simetrik farklı 1. türev)

H adım uzunluğu küçüldükçe O(h2) hata payı çok daha hızlı küçülür. Bundan dolayı, simetrik türev ifadesi ileri farklı türevden daha iyi sonuç verir.


Ekil3 3 birinci t rev i in simetrik fark yakla t rmas n grafiksel g sterimi

Şekil3.3: Birinci türev için simetrik fark yaklaştırmasını grafiksel gösterimi.


B l m 3 say sal t rev

İkinci Türev: İkinci türev için, ileri ve geri farklı ifadeler, f(xi±h) ve f(xi±2h) noktalarındaki Taylor açılımlarından elde edilir. Benzer şekilde işlem yapılırsa;

Birinci türevi yok etmek için (xi+h) etrafında açılan Taylor açılımını 2 ile çarpıp f(xi+2h)’dan çıkarırsak;

(İleri farklı ikinci türev)

(Geri farklı ikinci türev)

Bu ifadelerden görüldüğü gibi, aynı sayıda nokta kullanıldığı halde, simetrik farklı ifadenin hata payı daha küçük olmaktadır.


B l m 3 say sal t rev

  • Adım uzunluğunun etkisi: İleri, Geri ve Simetrik farklı 1.türev ifadelerinde hata payı O(h) veya O(h2) ile orantılı olduğundan, büyük h değerleri seçilirse, hata büyük olacaktır. O halde yeterince küçük bir h değeri seçilmelidir.

  • h’nın seçilme kuralı: [a,b] aralığındaki bir fonksiyon için bu aralık 1/100 veya 1/1000 kadar büyüklükte bir h değeri yeterli olur.

  • Daha küçük h değerleri seçilirse, bu kez kesme hataları ortaya çıkar.

  • Bu etkiyi görebilmek için, değişik h değerleri için aynı bir noktada türev ifadesinin nasıl değiştiğini inceleyebiliriz.

  • Örneğin, f(x)=ex fonksiyonunun x=1 noktasındaki simetrik 1.türev ifadesini, h=0.1 değerinden başlayıp, adım uzunluğu her defasında 10 kez azaltarak 12 kez hesaplayınız.


  • Login