第五节
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第五节 对面积 曲面 积分的计算法 PowerPoint PPT Presentation


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第五节 对面积 曲面 积分的计算法. 几何形体上的积分. 重积分. 对弧长的曲线积分. 曲面面积元素. 积分曲面. 当 G 为一光滑曲面 , 被积函数. 有. 对面积的曲面积分 ( 第一类 曲面积分 ). 计算对面积的曲面积分. —— 化为二重积分. ?. 曲面积分元素为. 第一型曲面积分化为二重积分的公式为. 用切平面小块 来代替 ,而. 如果曲面 的方程由 x=x(y,z) 或 y=y(x,z) 给出, 也可类似地把第一型曲面积分化为 yoz 面或 xoz 面上的二重积分。.

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第五节 对面积 曲面 积分的计算法

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Presentation Transcript


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第五节 对面积曲面积分的计算法

几何形体上的积分

重积分

对弧长的曲线积分


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曲面面积元素

积分曲面

当G为一光滑曲面 , 被积函数

对面积的曲面积分(第一类曲面积分)


6786209

计算对面积的曲面积分

——化为二重积分


6786209

曲面积分元素为

第一型曲面积分化为二重积分的公式为

用切平面小块 来代替 ,而


6786209

如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出,

也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz

面上的二重积分。


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  • 例1 计算 ,其中 是球面

    被平面 截出的顶部。


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解 的方程为 ,它在xoy面上的

投影区域D为 , 的曲面面积元素


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所以


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  • 例2 计算 ,其中 是三个坐标面和

    平面 围成的四面体的整个边界曲面。


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解 边界曲面 由四块组成:

他们的表达式分别是

于是

由于在 , , 上 均为零,

所以


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在 上 , ,

又 在xoy面上的投影区域D为

围成的三角形


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所以


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  • 例3 计算 ,其中 为圆柱面

    介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一卦限的部分。

解 由于 不能表示成z=z(x,y)的形式

现写成 ,这样就需投影到yoz面上,

投影区域D为矩形


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于是


6786209

所以


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