高 等 数 学
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高 等 数 学. 梅挺 主编 中国水利水电出版社. 第 5 章 多元函数微积分. 主要内容 : 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分. 一、空间几何简介. 1 、空间直角坐标系. 规定:. 通常:. 另外. 规定:. 如下图:. Ⅲ. 坐标面 yOz. Ⅱ. Ⅰ. 坐标面 zOx. Ⅳ. Ⅵ. Ⅶ. 坐标面 xOy. Ⅴ. Ⅷ. 点的坐标. 反之,. 规律:.

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高 等 数 学

梅挺 主编

中国水利水电出版社


5章 多元函数微积分

  • 主要内容:

  • 一、空间几何简介

  • 二、多元函数

  • 三、偏导数与全微分

  • 四、多元复合函数与隐函数求导法则

  • 五、多元函数极值

  • 六、二重积分


一、空间几何简介

1、空间直角坐标系

规定:



另外

规定:

如下图:


坐标面yOz

坐标面zOx

坐标面xOy




规律:

Ⅰ(+,+,+)

Ⅱ(-,+,+)

Ⅲ(-,-,+)

Ⅳ(+,-,+)

Ⅴ(+,+,-)

Ⅵ(+,-,+)

Ⅶ(-,-,-)

Ⅷ(+,-,-)


2、空间任意两点间的距离

定义了空间点的坐标,就可以利用坐标计算空间

任意两点间的距离.


z

P2

P1

A

B

y

特别地,任一点

与原点

的距离为:

x

由图:

根据平面上两点间的距离

公式可知:

从而有:

此即为空间任意两点间的距离公式.


1

证明:


2


3、曲面与方程

定义:


3

求与两定点

等距离点的

轨迹方程.

解:设与点

等距离的点为

依题意有

,由空间两点间的距离公式得:

化简得:


可以证明,所有空间平面都可以用三元一

次方程表示;

反过来,任何一个三元一次方程的图形都

是空间的一个平面。

由此称三元一次方程:

为平面的一般式方程。


以点

为球心,以R为半径的球面

方程为:

方程

表示椭圆柱面,当 a=b=R 时,

中不含z,即z可任取,在空间直角

坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面.

1)球面方程:

  • 几种常见的曲面方程:

2)椭圆柱面:


3)椭圆抛物面:

4)圆锥面:

5)双曲抛物面:

6)双曲柱面:

7)抛物柱面:


二、多元函数

  • 1、多元函数的概念


自变量的取值称为定义域;

对应的函数值的集合称为值域。


注意

其定义域:

类似地,

由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与

二元函数完全相似,所以,在此主要研究二元函数。

并先介绍一些相关概念。


把以点

为圆心,

为半径的

圆内所有的点

组成的区域称为点

的邻域,记为

区域:由平面上一条曲线或多条曲线围成的

一部分平面称为区域.

边界:围成区域的曲线称为边界.

邻域:

内点:若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D,

则称点 p 为区域 D 的内点.


外点:若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域

D ,则称点 p 为区域 D 的外点.

边界点:若点 p 的任一个邻域内的点,既有属

于区域 D 的点,又有不属于区域 D 的

点,则称点 p 为区域 D 的边界点.

闭区域:由所有内点和以闭曲线为边界的所有

边界点组成的区域称为闭区域.

开区域:只有内点组成的区域称为开区域.


求函数

的定义域.

例4

解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足

不等式:

即:

所以,其定义域D为:


求函数

的定义域.

例5

解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足

不等式组:

所以,其定义域D为:


处的函数值为:

函数z在点

处的函数值为:

函数z在点

例6

解:



2、二元函数的极限与连续性

1)二元函数的极限


注意

1)上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推

广,所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广

到二元函数.

3)上述极限定义不能用以求二元函数的极限,但可以

用该定义判定二元函数的极限不存在,即:只要有两条

路径极限不同,该函数极限就不存在.


例7

解:一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化

的方法,该方法也适用于二元函数求极限的运算。


8

(待续)



2)二元函数的连续性


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函

数;多元初等函数在其定义域内是连续函数等。

因此,要求多元初等函数在其定义域内任一点处

的极限值,只需要求出函数在该点的函数值即可。


求极限二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

例9

解:


三、偏导数与全微分二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

  • 1、偏导数


计算方法:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

显然,

一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元

函数求偏导数。


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,10

(待续)


(续)二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

法二


等为一整体记号,不象二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

可视为分子分母之商.

例11

★注意


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,12


几何意义二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,注意


可导与连续的关系:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

因为:


如:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

又如:


2二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、高偏导数

定义:


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,13


求函数二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

的二阶偏导数.

例14

解:


由上例,两个混合偏导数虽然求导次序不同,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

其结果却相等,但是并非在所有情况下这个结

论都成立。

关于混合偏导数,有以下定理:

定理5.1:

对于更多元或更高阶仍然成立.


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,15

证明


3二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、全微分

全增量:


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,16

例17


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,18


(二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,1)

应用全微分进行近似计算:

(2)

(3)

这三个是常用的近似计算公式.


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,19


四、多元复合函数与隐函数求导法则二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


1二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、多元复合函数求导法则——链法则

定理


同理二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

有:


推广二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

★注意


练习二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

答:


练习:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

答:


练习:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

答:

★注意


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,20


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,21


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,22


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,23


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,24


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


全微分形式的不变性二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


即:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,25


的偏导数二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

求由方程

所确定的隐函数

2、多元隐函数求导方法

多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法

类似,其实质都是应用复合函数的求导法则。

下面通过实例来求多元隐函数的偏导数。

例26


所以二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

同理可得


求由二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

确定的函数

的偏导数

解:方程两边同时对

求偏导数得:

例27

所以:

同理可得:


五、多元函数极值二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义,

在一元函数微分学中,用导数来求函数的极值。

现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题。

由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似,

为此只讨论二元函数的极值问题。


1二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、极值


类似地,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


定理二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,5.3

证明


(二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,充分条件)

定理5.4


从上述定理得求极值的步骤:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,28


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,28


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

★注意:

解题的步骤和判定的方法


2二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、最值


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,29


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


六、二重积分二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

曲顶柱体的体积

引例


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、分割(化整为零)


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、取近似(不变代变)


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、求和(积零为整)


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,、取极限(无限逼近)


定义二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,5.10


即:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,理解


几何意义:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二重积分的性质:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二重积分的计算:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


如图:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


由定积分的定义知,其面积为:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


积分过程:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

同理


由此可知:二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

X 型区域

Y 型区域


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

既X又Y 型区域

非X非Y 型区域


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,注意


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,30

解法一,将其视为X型区域


解法二,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,将其视为Y型区域


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,31

解,如图


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

复杂


二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,32

解 如图


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