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高 等 数 学

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高 等 数 学. 梅挺 主编 中国水利水电出版社. 第 5 章 多元函数微积分. 主要内容 : 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分. 一、空间几何简介. 1 、空间直角坐标系. 规定:. 通常:. 另外. 规定:. 如下图:. Ⅲ. 坐标面 yOz. Ⅱ. Ⅰ. 坐标面 zOx. Ⅳ. Ⅵ. Ⅶ. 坐标面 xOy. Ⅴ. Ⅷ. 点的坐标. 反之,. 规律:.

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高 等 数 学

梅挺 主编

中国水利水电出版社

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第5章 多元函数微积分
  • 主要内容:
  • 一、空间几何简介
  • 二、多元函数
  • 三、偏导数与全微分
  • 四、多元复合函数与隐函数求导法则
  • 五、多元函数极值
  • 六、二重积分
slide3
一、空间几何简介

1、空间直角坐标系

规定:

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另外

规定:

如下图:

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坐标面yOz

坐标面zOx

坐标面xOy

slide9

规律:

Ⅰ(+,+,+)

Ⅱ(-,+,+)

Ⅲ(-,-,+)

Ⅳ(+,-,+)

Ⅴ(+,+,-)

Ⅵ(+,-,+)

Ⅶ(-,-,-)

Ⅷ(+,-,-)

slide10

2、空间任意两点间的距离

定义了空间点的坐标,就可以利用坐标计算空间

任意两点间的距离.

slide11

z

P2

P1

A

B

y

特别地,任一点

与原点

的距离为:

x

由图:

根据平面上两点间的距离

公式可知:

从而有:

此即为空间任意两点间的距离公式.

slide12

例1

证明:

slide13

例2

slide15

例3

求与两定点

等距离点的

轨迹方程.

解:设与点

等距离的点为

依题意有

,由空间两点间的距离公式得:

化简得:

slide16

可以证明,所有空间平面都可以用三元一

次方程表示;

反过来,任何一个三元一次方程的图形都

是空间的一个平面。

由此称三元一次方程:

为平面的一般式方程。

slide17

以点

为球心,以R为半径的球面

方程为:

方程

表示椭圆柱面,当 a=b=R 时,

中不含z,即z可任取,在空间直角

坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面.

1)球面方程:

  • 几种常见的曲面方程:

2)椭圆柱面:

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3)椭圆抛物面:

4)圆锥面:

5)双曲抛物面:

6)双曲柱面:

7)抛物柱面:

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二、多元函数
  • 1、多元函数的概念
slide20

自变量的取值称为定义域;

对应的函数值的集合称为值域。

slide21

★注意

其定义域:

类似地,

由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与

二元函数完全相似,所以,在此主要研究二元函数。

并先介绍一些相关概念。

slide22

把以点

为圆心,

为半径的

圆内所有的点

组成的区域称为点

的邻域,记为

区域:由平面上一条曲线或多条曲线围成的

一部分平面称为区域.

边界:围成区域的曲线称为边界.

邻域:

内点:若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D,

则称点 p 为区域 D 的内点.

slide23

外点:若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域

D ,则称点 p 为区域 D 的外点.

边界点:若点 p 的任一个邻域内的点,既有属

于区域 D 的点,又有不属于区域 D 的

点,则称点 p 为区域 D 的边界点.

闭区域:由所有内点和以闭曲线为边界的所有

边界点组成的区域称为闭区域.

开区域:只有内点组成的区域称为开区域.

slide24

求函数

的定义域.

例4

解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足

不等式:

即:

所以,其定义域D为:

slide25

求函数

的定义域.

例5

解:欲使函数z有意义,自变量x,y必须满足

不等式组:

所以,其定义域D为:

slide26

处的函数值为:

函数z在点

处的函数值为:

函数z在点

例6

解:

slide28

2、二元函数的极限与连续性

1)二元函数的极限

slide30

★注意

1)上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推

广,所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广

到二元函数.

3)上述极限定义不能用以求二元函数的极限,但可以

用该定义判定二元函数的极限不存在,即:只要有两条

路径极限不同,该函数极限就不存在.

slide31

例7

解:一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化

的方法,该方法也适用于二元函数求极限的运算。

slide32

例8

(待续)

slide35

二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质,

如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函

数;多元初等函数在其定义域内是连续函数等。

因此,要求多元初等函数在其定义域内任一点处

的极限值,只需要求出函数在该点的函数值即可。

slide36

求极限

例9

解:

slide40

计算方法:

显然,

一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元

函数求偏导数。

slide41

例10

(待续)

slide42

(续)

法二

slide43

等为一整体记号,不象

可视为分子分母之商.

例11

★注意

slide48

如:

又如:

slide51

求函数

的二阶偏导数.

例14

解:

slide52

由上例,两个混合偏导数虽然求导次序不同,

其结果却相等,但是并非在所有情况下这个结

论都成立。

关于混合偏导数,有以下定理:

定理5.1:

对于更多元或更高阶仍然成立.

slide53

例15

证明

slide54

3、全微分

全增量:

slide56

例16

例17

slide58

(1)

应用全微分进行近似计算:

(2)

(3)

这三个是常用的近似计算公式.

slide62

同理

有:

slide63

推广

★注意

slide64

练习

答:

slide65

练习:

答:

slide66

练习:

答:

★注意

slide77

的偏导数

求由方程

所确定的隐函数

2、多元隐函数求导方法

多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法

类似,其实质都是应用复合函数的求导法则。

下面通过实例来求多元隐函数的偏导数。

例26

slide78

所以

同理可得

slide79

求由

确定的函数

的偏导数

解:方程两边同时对

求偏导数得:

例27

所以:

同理可得:

slide80
五、多元函数极值

函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义,

在一元函数微分学中,用导数来求函数的极值。

现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题。

由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似,

为此只讨论二元函数的极值问题。

slide83

定理5.3

证明

slide89

★注意:

解题的步骤和判定的方法

slide93
六、二重积分

曲顶柱体的体积

引例

slide111

由此可知:

X 型区域

Y 型区域

slide112

既X又Y 型区域

非X非Y 型区域

slide114

例30

解法一,将其视为X型区域

slide116

例31

解,如图

slide118

复杂

slide119

例32

解 如图

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