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本章题头. 第四章. 定轴转动. 定轴转动. w. 角动量守恒定律. 角动量守恒定律. 与刚体的. 与刚体的. L. I. w. chapter 4. law of conservation of angular momentum. rigid body rotation with a fixed axis. 内容提要. 本章内容. Contents. chapter 4. 角动量与角动量守恒. angular momentum and. law of conservation of angular momentum. 刚体的定轴转动.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


5529006

本章题头

第四章

定轴转动

定轴转动

w

角动量守恒定律

角动量守恒定律

与刚体的

与刚体的

L

I

w

chapter 4

law of conservation of angular momentum

rigid body rotation with a fixed axis


5529006

内容提要

本章内容

Contents

chapter 4

角动量与角动量守恒

angular momentum and

law of conservation of angular momentum

刚体的定轴转动

rotation of rigid-body with a fixed axis

刚体作定轴转动时的功能关系

relation of work with energy in rotation of rigid-body

刚体的角动量守恒

law of conservation of angular momentum of rigid-body


5529006

第一节

角动量与角动量守恒定律

角动量与角动量守恒定律

角动量与角动量守恒定律

角动量与角动量守恒定律

s

s

Angular momentum and

law of conservation of angular momentum

r

r

v

v

一、角动量

m

m

sin

sin

angular momentum

q

q

大量天文观测表明

v

4 - 1

常量

m

r

q

s

m

定义:

运动质点

s

angular momentum and

p

v

v

对点的 角动量 为

O

L

m

m

O

v

law of conservation of angular momentum

L

大小:

r

v

q

)

(

r

r

r

r

L

方向:

速度

位矢

质量


5529006

问题的提出

二、质点的角动量定理及其守恒定律

theorem of partical angular momentum and its conservation

质点 对

的角动量

问题的提出

m

O

大小

L

L

q

v

r

r

v

sin

m

m

地球上的单摆

太阳系中的行星

q

r

r

O

m

v

O

m

q

v

L

r

v

m

L

r

v

m

q

sin

大小未必会变。靠什么判断?

大小会变

L

L


5529006

质点角动量定理

导致角动量 随时间变化的根本原因是什么?

L

L

L

与什么有关?

思路: 分析

L

v

r

m

(

d

v

)

d

d

m

(

)

d

d

d

d

v

+

m

v

r

r

r

r

r

m

d

d

t

t

d

t

d

t

d

d

d

d

t

t

t

t

0

d

v

v

v

m

a

m

m

F

F

F

两平行矢量的叉乘积为零

(

)

L

L

所受的合外力

位置矢量

质点 对参考点 的

O

m

叉乘

等于

角动量的时间变化率

质点的角动量定理


5529006

微分形式

r

r

r

r

r

是力矩的矢量表达:

M

力矩

F

O

r

F

F

大小

方向

M

F

q

垂直于

r

sin

所决定

d

F

d

的平面,由右螺旋法则定指向。

q

m

d

d

d

d

t

t

质点 对给定参考点 的

O

m

F

F

F

角动量的时间变化率

所受的合外力矩

M

L

L

称为质点的 角动量定理的微分形式

如果各分力与O点共面,力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向,用代数法求合力矩。


5529006

积分形式

质点的角动量定理也可用积分形式表达

M

M

M

L

L

L

d

t

t

d

d

d

d

d

t

,

t

L

L

t

0

L

L

0

0

角动量的增量

称为 冲量矩

例如,

单摆的角动量大小为 L =mv r, v为变量。在 t = 0 时从水平位置静止释放,初角动量大小为 L0= m v0 r =0; 时刻 t下摆至铅垂位置,角动量大小为 L⊥=m v⊥ r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r =m r 2gr 。

这就是质点的 角动量定理的积分形式


5529006

归纳

质点的 角动量定理

归纳

r

M

t

微分形式

d

角动量的时间变化率

所受的合外力矩

M

L

积分形式

t

L

冲量矩

角动量的增量

d

L

L

0

t

d

L

0

0

d

t

0

0

时,

M

特例:

L

L

L

L

0

0

F

物理意义:当质点不受外力矩或合外力矩为零

L

前后不改变。

(如有心力作用)时,质点的角动量

(后面再以定律的形式表述这一重要结论)


5529006

质点角动量守恒

质点的角动量守恒定律

质点的角动量守恒定律

r

r

根据质点的 角动量定理

(

)

0

0

M

M

M

常矢量

当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩

d

d

M

O

m

L

L

d

d

t

t

为零时,质点对该点的角动量的时间变化率 为

d

L

d

t

F

F

零,即质点对该点的角动量 守恒。

L

L

称为

质点的角动量守恒定律

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点,其角动量守恒。如行星绕太阳运动,以及微观粒子中与此类似的运动模型,服从角动量守恒定律。


5529006

开普勒第二定律

应用质点的角动量守恒定律可以证明

开普勒第二定律

行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积


5529006

定律证明

时刻 m 对 O 的角动量大小为

证:

t

m

L

q

d

s

r

v

m

t

d

t

+

t

h

(

)

r

r

r

r

r

r

r

m

s

s

sin

q

r

m

d

d

d

+

)

(

d

h

d

d

d

d

d

O

m

瞬间

位矢扫过的微面积

d

d

d

d

d

t

t

t

t

t

d

t

A

h

h

2

m

1

1

d

2

2

A

L

s

(称为掠面速率)

d

d

A

A

d

t

2

m

因行星受的合外力总指向是太阳,角动量 守恒。

L

A

L

常量

故,位矢在相同时间内扫过的面积相等

2

m


5529006

质点系角动量

三、质点系的角动量定理

theorem of angular momentum of partical system

L

L

惯性系中某给定参考点

O

S

i

i

S

m

v

r

i

i

i

i

r

v

m

1

3

1

r

各质点对给定参考点的

m

2

2

r

m

3

3

v

1

角动量的矢量和

v

2

质点系的角动量

质点系的角动量


5529006

质点系角动量定理

质点系的角动量定理

对时间求导

S

m

v

i

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

i

i

d

L

L

L

(

S

(

S

+

r

m

m

v

v

i

i

i

i

d

t

i

i

i

i

某给定参考点

O

+

S

S

S

S

S

S

S

m

a

r

i

i

2

i

i

i

i

i

i

i

d

d

d

d

S

m

+

0

2

d

F

r

i

i

1

d

d

d

d

t

t

t

t

i

F

i

+

F

m

m

i

v

v

1

i

i

i

+

L

L

M

M

M

F

F

F

F

i

i

i

2

2

1

1

质点受外力矩的矢量和

质点系的角动量

M

M

的时间变化率

i

内力矩在求矢量和时成对相消

称为

微分形式

质点系的角动量定理


5529006

微、积分形式

质点系的角动量定理

M

对时间求导

S

m

v

i

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

i

i

t

d

L

d

d

t

L

L

L

(

S

0

(

S

+

r

m

m

v

v

t

i

i

i

i

d

t

i

i

0

i

i

某给定参考点

O

0

+

S

S

S

S

S

S

S

S

m

a

r

i

i

2

i

i

i

i

i

i

i

i

d

d

d

d

d

S

m

+

0

2

d

F

r

i

的微分形式

的积分形式

i

1

d

d

d

d

d

t

t

t

t

t

i

质点系的角动量定理

质点系的角动量定理

F

i

+

F

m

m

i

v

v

1

i

i

i

M

M

i

+

L

L

L

L

L

L

L

M

M

M

F

F

F

F

i

i

i

质点系的角动量

2

2

1

1

质点受外力矩的矢量和

质点系的

质点系所受的

质点受外力矩的矢量和

质点系的角动量

的时间变化率

角动量增量

冲量矩

M

M

的时间变化率

i

内力矩在求矢量和时成对相消

称为

微分形式

质点系的角动量定理

若各质点的速度或所受外力与参考点共面,则其角动量或力矩只含正反两种方向,可设顺时针为正向,用代数和代替矢量和。


5529006

质点系角动量守恒

质点系的角动量守恒定律

M

t

d

t

M

L

i

M

M

t

,

0

0

d

恒矢量

0

L

L

L

0

当质点系所受的合外力矩为零时,其角动量守恒。

0

S

i

d

d

t

L

L

L

L

L


5529006

随堂小议

随堂小议

两人质量相等

两人同时到达;

(1)

又忽略

既忽略

轮绳摩擦

滑轮质量

O

终点线

终点线

用力上爬者先到;

(2)

一人用力上爬

一人握绳不动

握绳不动者先到;

(3)

以上结果都不对。

(4)

可能出现的情况是

(请点击你要选择的项目)

结束选择


5529006

小议链接1

两人质量相等

又忽略

既忽略

轮绳摩擦

滑轮质量

O

终点线

终点线

一人用力上爬

一人握绳不动

随堂小议

可能出现的情况是

(请点击你要选择的项目)

两人同时到达;

(1)

用力上爬者先到;

(2)

握绳不动者先到;

(3)

以上结果都不对。

(4)

结束选择


5529006

小议链接2

两人质量相等

又忽略

既忽略

轮绳摩擦

滑轮质量

O

终点线

终点线

一人用力上爬

一人握绳不动

随堂小议

可能出现的情况是

(请点击你要选择的项目)

两人同时到达;

(1)

用力上爬者先到;

(2)

握绳不动者先到;

(3)

以上结果都不对。

(4)

结束选择


5529006

小议链接3

两人质量相等

又忽略

既忽略

轮绳摩擦

滑轮质量

O

终点线

终点线

一人用力上爬

一人握绳不动

随堂小议

可能出现的情况是

(请点击你要选择的项目)

两人同时到达;

(1)

用力上爬者先到;

(2)

握绳不动者先到;

(3)

以上结果都不对。

(4)

结束选择


5529006

小议链接4

两人质量相等

又忽略

既忽略

轮绳摩擦

滑轮质量

O

终点线

终点线

一人用力上爬

一人握绳不动

随堂小议

可能出现的情况是

(请点击你要选择的项目)

两人同时到达;

(1)

用力上爬者先到;

(2)

握绳不动者先到;

(3)

以上结果都不对。

(4)

结束选择


5529006

小议分析

质点系

忽略轮、绳质量及轴摩擦

,

R

系统受合外力矩为零,角动量守恒。

O

系统的初态角动量

系统的末态角动量

v

v

m

m

m

m

m

2

m

m

m

m

m

1

1

1

1

1

1

v

v

0

2

2

2

2

2

R

R

1

1

不论体力强弱,两人等速上升。

系统受合外力矩不为零,角动量不守恒。

v

v

2

2

同高从静态开始往上爬

可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。


5529006

第二节

刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

s

s

rotation of rigid body with a fixed axis

一般运动

平 动

定轴转动

平面运动

定点运动

4 - 2

s

刚体质心限制在一平面内,转轴可平动,但始终垂直于该平面且通过质心

刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的

相同,可当作质点处理。

s

刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。

刚体每点绕同一轴线作圆周运动,且转轴空间位置及方向不变。

rotation of rigid-body with a fixed axis

复杂的运动与平动的混合。

r

r

v

a

刚体:形状固定的质点系(含无数质点、不形变、理想固体。)

刚体运动的分类


5529006

定轴转动参量

描述刚体定轴转动的物理量

描述刚体定轴转动的物理量

1. 角位置

q

w

刚体中任一点

刚体定轴转动的运动方程

刚体

p

q

r

2. 角位移

p

p

X

q

q

(t+△t)

参考方向

q

q

(t)

q

r

r

q

(

)

t

p

p

r

t

0

3. 角速度

r

w

p

转动平面

(包含p并与转轴垂直)

r

d

d

d

q

q

q

q

转轴

静止

0

w

匀角速

d

q

常量

w

w

用矢量表示 或 时,它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则

变角速

d

t

w

w

t

(

)

w

w

4. 角加速度

,

b

d

w

b

常量

匀角加速

匀角速

b

b

0

d

t

变角加速

b

b

t

(

)


5529006

转动方程求导例题

rad

单位:

-2

-1

-2

-1

w

b

s

s

s

s

rad

rad

rad

rad

,

,

1

rad

2

t

t

t

t

t

t

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

t

5

0

p

)

p

(

+

已知

q

+

p

2

b

b

w

w

t

)

q

5

0

(

p

p

+

,

解法提要

)

(

p

,

r

q

rad

rad

s

s

匀 变 角 速 定 轴 转 动

1

2

d

d

q

q

rad

b

q

w

w

d

t

150p

p

100p

d

52p

50p

53p

51p

50p

w

t

t

b

d

t

t

s

s

p

s

0

3

0

3

2

0

1

3

2

1

2

1


5529006

积分求转动方程

恒量

k

0

解法

b

,

w

w

w

w

w

w

w

t

t

t

0

0

0

0

0

0

0

提要

w

k

t

t

t

t

t

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

b

已知

0

0

0

d

d

w

w

k

b

d

d

d

t

t

t

w

t

t

t

k

k

k

+

+

+

w

d

d

d

q

q

q

且t= 0 时

w

)

)

(

(

w

d

d

d

d

t

t

t

t

,

w

q

q

q

q

q

q

0

0

0

0

1

1

2

2

t

t

t

t

k

k

+

+

q

r

q

2

2

任意时刻的

匀变角速定轴转动的角位移方程

d

+

w

b

q

q

d

t

匀变角速定轴转动的运动方程


5529006

线量与角量的关系

定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为 ,瞬时角加速度为 ,

已知

w

刚体中一质点P至转轴的距离为r

w

b

瞬时线速度

d

q

v

O

O

瞬时切向加速度

质点P

的大小

r

r

瞬时法向加速度

P

P

d

d

d

q

q

q

a

a

t

t

a

a

解法提要

n

n

w

r

r

r

d

d

d

d

v

w

s

s

s

s

r

d

d

v

b

r

w

)

r

(

d

d

d

d

t

t

t

t

2

)

(

2

v

2

w

r

r

r

这是定轴转动中线量与角量的基本关系


5529006

公式对比

质点直线运动或刚体平动

刚 体 的 定 轴 转 动

位移

角位移

(

)

x

q

q

q

(

)

(

)

t

(

)

r

x

t

x

r

1

1

q

w

角速度

s

速度

v

加速度

w

角加速度

v

b

a

t

t

2

2

d

d

d

d

匀角速定轴转动

匀速直线运动

t

t

q

w

s

v

d

d

d

d

t

t

t

t

匀变速直线运动

匀变角速定轴转动

1

1

2

2

2

t

2

t

b

t

t

q

t

w

+

v

a

a

+

s

0

0

b

t

w

+

v

v

+

0

2

2

2

b

w

w

q

2

v

w

a

2

s

2

v

0

0

0


5529006

刚体转动定律引言

刚体的转动定律

刚体的转动定律

质 点

的运动定律

F=ma

刚体平动

合 外 力

惯性质量

合加速度

主要概念

使刚体产生转动效果的合外力矩

刚体的转动定律

刚体的转动惯量

若刚体作定轴转动,服从怎样的运动定律?


5529006

合外力矩

外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动

切向

切向

M=r× F

力矩

1

1

1

大小

j

F

1

d

d

d

d

1

1

=

=

1

2

2

1

M=rFsin j

M

1

1

M=r×F

1

r

r

r

r

2

2

2

1

1

2

2

M =rFsin j

r

P

P

F

大小

d

2

1

r

M

t

2

2

2

2

2

2

2

2

F

d

=

O

j

=

F

t

1

1

1

2

F

F

2

F

2

2

=

+

合外力矩

M

M

2

F

F

r

F

F

F

F

1

1

t

t

t

t

M

M

1

1

2

2

1

1

=

=

M

大小

一、外力矩与合外力矩

方向

叉乘右螺旋


5529006

转动定律

瞬时

瞬时

i

r

r

r

m

m

m

b

i

i

i

w

f

f

角加速度

角速度

i

i

+

f

=

分量均通过转轴,

其法向

不产生转动力矩。

受内力

t

t

投影式为

其切向

j

f

+

sin

sin

q

O

r

i

i

i

i

r

a

b

t

=

=

i

i

n

n

r

r

r

r

F

F

m

m

m

m

r

i

i

i

i

i

i

r

r

等式两边乘以

a

i

i

i

i

j

某质元

i

i

i

i

并对所有质元及其所受力矩求和

b

b

r

r

F

F

F

j

)

)

f

q

(

(

sin

+

2

2

sin

i

i

=

i

i

i

受外力

r

r

r

r

r

r

r

m

m

m

m

m

m

m

i

i

i

i

i

i

i

q

i

合外力矩 M

内力矩成对抵消= 0

=

M

二、刚体的转动定律


5529006

转动惯量

二、刚体的转动定律

瞬时

瞬时

i

r

r

r

m

m

m

b

i

i

i

w

f

f

角加速度

角速度

i

i

+

f

=

分量均通过转轴,

其法向

与刚体性质及质量分布有关的物理量,用 表示

不产生转动力矩。

受内力

I

t

t

投影式为

其切向

j

f

+

sin

sin

q

O

r

i

i

称为 转动惯量

i

i

r

a

b

t

=

=

i

i

n

n

刚体的转动定律

r

r

r

r

r

F

F

m

m

m

m

m

r

i

i

i

i

i

i

i

r

r

等式两边乘以

a

i

i

i

i

b

M

I

j

某质元

i

i

i

i

并对所有质元及其所受力矩求和

M

I

b

b

b

r

r

F

F

F

j

)

)

f

q

(

(

sin

+

2

2

sin

i

i

=

刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的

i

i

i

受外力

r

r

r

r

r

r

r

r

m

m

m

m

m

m

m

m

b

i

i

i

i

i

i

i

i

q

i

合外力矩 M

内力矩成对抵消= 0

合外力矩 的大小成正比,

M

r

b

=

M

2

)

i

=

(

与刚体的转动惯量 成反比。

M

I


5529006

转动惯量的计算

a

I

=

b

m

=

F

M

与质点运动定律

对比

将刚体转动定律

I

转动惯量 是刚体转动惯性的量度

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关

I

2

k

g

I

I

质量连续分布的刚体用积分求

为体积元

处的密度

2

2

r

r

r

r

m

V

d

V

r

r

i

i

r

m

i

I

的单位为

2

d

m

m

d

V

二、转动惯量及其计算


5529006

分立质点的算例

可视为分立质点结构的刚体

若连接两小球(视为质点)的轻细硬杆的质量可以忽略,则

转轴

m

m

m

m

m

2

2

I

I

2

2

2

2

2

m

m

m

m

m

1

1

1

1

1

r

r

r

r

2

2

1

1

2

O

2

+

转轴

2

(

)

r

r

r

r

i

i

i

i

0

0

0

6

6

6

sin

sin

r

r

m

m

l

l

l

2

i

i

)

(

1

1

1

+

l

l

l

O

2

2

2

2

0.75

2

)

(

+

转动惯量的计算举例


5529006

直棒算例

质量连续分布的刚体

匀直细杆对端垂轴的

匀直细杆对中垂轴的

I

I

d

d

d

d

m

m

m

m

m

m

O

O

d

d

d

d

r

r

r

r

L

m

I

2

2

2

2

I

r

r

r

r

r

r

L

0

L

L

m

L

m

3

m

1

3

L

r

r

L

L

0

3

1

1

1

平行移轴定理

对质心轴的转动惯量

L

L

L

L

2

2

2

2

I

I

2

r

3

3

3

r

+

m

L

C

C

m

对新轴的转动惯量

,

O

O

O

I

I

质心

例如:

C

L

2

r

1

2

2

2

L

L

L

m

m

m

质心轴

代入可得

新轴

I

1

2

新轴对心轴的平移量

r


5529006

圆盘算例

匀质薄圆盘对心垂轴的

I

取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元

r

d

d

d

m

m

m

m

d

d

d

d

d

d

r

r

r

r

r

r

m

r

p

2

O

d

d

m

m

2

R

p

m

m

2

2

r

r

2

2

r

r

r

2

2

R

R

R

R

2

m

3

I

R

r

0

0

2

R

4

R

2

m

r

1

m

4

2

2

R

R

2

0


5529006

球体算例

匀质实心球对心轴的

可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加

I

d

m

r

r

的薄圆盘的转动惯量为

距 为 、半径为 、微厚为

O

r

y

R

y

d

d

m

m

O

d

其中

d

m

r

V

d

d

d

2

m

r

r

p

p

y

y

y

r

d

d

d

I

I

I

1

1

1

1

2

)

I

(

r

2

2

2

2

4

d

d

d

r

r

r

r

p

p

p

y

y

y

2

2

2

2

2

2

2

R

R

r

r

r

y

y

2

R

(

)

R

m

r

2

8

2

R

5

4

3

m

R

R

p

5

1

3

5


5529006

常用结果

匀质细直棒

匀质薄圆盘

转轴通过端点与棒垂直

转轴通过中心垂直盘面

m

R

L

m

1

1

2

2

mL

I =

mR

I =

3

2


5529006

其它典型

匀质矩形薄板

匀质厚圆筒

转轴通过中心垂直板面

转轴沿几何轴

m

a

m

2

2

I= (a+b )

2

2

R

I= (R1+R2 )

1

12

2

匀质细圆环

匀质圆柱体

2

2

mR

mR

转轴通过中心垂直环面

R

转轴通过中心垂直于几何轴

L

R

2

b

m

m

R

2

I=

I=

I=mR

2

2

L

I=R +

4

12

匀质细圆环

匀质薄球壳

转轴沿着环的直径

转轴通过球心

R

R

2

3

2


5529006

转动定律例题一

三、转动定律应用选例

b

M

I

合外力矩 应由各分力矩进行合成 。

M

在定轴转动中,可先设一个正轴向(或绕向),若分力矩与此向相同则为正,反之为复。

合外力矩 与合角加速度 方向一致。

M

b

时刻对应,何时

则何时 ,

b

0

b

M

M

则何时

恒定。

恒定

何时

b

M

0

L

m

q

q

1

2

1

1

,

cos

cos

I

L

O

M

L

g

g

m

m

m

3

2

2

,

q

匀直细杆一端为轴水平静止释放

g

g

3

3

b

M

I

L

L

2

2

M

L

0

q

b

,

,

g

m

0

0

q

M

2

b

p

,

,


5529006

转动定律例题二

转动

(T2–T1 )R = Ib

已知

I = m R 2

2

b

平动

m2g –T2 =m2a

解法

提要

1

T1

T2

T1 – m1g =m1a

2

R

线-角

a = Rb

m

T1

T2

T1

a

a

联立解得

m2

G1

m1

a

g

g

=

G2

a

m1+ m2+

m

m1 g

m

T1 = m1 ( g + a )

m

1

2

T2 = m2 ( g – a )

m2 g

轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑

如果考虑有转动摩擦力矩Mr ,则 转动式为

T2

(T2–T1 )R –Mr= Ib

再联立求解。

(以后各例同)


5529006

转动定律例题三

细绳缠绕轮缘

(A)

(B)

(A)

解法

提要

M

F

R

F

2

b

1

I

2

R

R

m

m

2

R

R

a

b

F

R

2

m

m

m

(B)

1

1

1

b

2

b

R

T

R

I

m

2

2

2

b

R

g

a

T

m

m

m

m

m

m

m

m

F

1

1

1

1

1

1

1

恒力

b

g

1

)

)

(

(

R

m

m

+

+

滑轮角加速度 b

b

R

g

细绳线加速度 a

a


5529006

转动定律例题四

物体从静止开始运动时,滑轮的

已知

转动方程

= 1kg

q

R = 0.1m

m

m

= 3kg

分别应用

1

m

t

(

解法

)

提要

= 5kg

质点运动和刚体转动定律

m1g – T1 =m1a

a = Rb

b

T2 –m2g =m2a

R

(T1–T2 )R = Ib

m

1

I = mR2

(m1-m2)g

(m1-m2)g

(m1-m2)g

2

T2

T1

b

=

常量

R(m1+ m2+ m 2)

R(m1+ m2+ m 2)

R(m1+ m2+ m 2)

T2

T1

d

d

q

q

m

m

b

t

w

w

1

1

w

d

q

,

m

m

m

2

2

2

d

d

t

t

t

t

q

t

w

a

0

0

0

a

g

t

2

t

G2

q

2 (rad)

q

2

G1

d

d

t

t


5529006

转动定律例题五

两者瞬时角加速度之比

已知

b

两匀直细杆

2

L

根据

b

M

I

解法

提要

q

q

b

b

M

I

I

M

b

1

1

L

L

L

L

L

L

L

q

2

sin

g

3

2

1

1

q

2

sin

L

g

L

2

3

m

m

m

m

m

m

L

1

2

L

1

O

O

地面

短杆的角加速度大

A

B

(

)

(

)

且与匀质直杆的质量无关

从等倾角 处静止释放

q


5529006

第三节

刚体定轴转动的功能关系

刚体定轴转动的功能关系

刚体定轴转动的功能关系

刚体定轴转动的功能关系

s

s

Relation of work with energy in rotation of rigid-body

刚体中任一质元 的速率

w

r

m

一、转动动能

i

该质元的动能

w

r

r

E

E

k

k

i

i

2

2

4 - 3

2

1

1

r

r

w

m

m

i

i

2

2

对所有质元的动能求和

1

1

2

2

2

(

)

r

m

w

w

E

E

i

2

2

s

k

k

s

转动惯量I

relation of work with energy in rotation of rigid-body

O

刚体

I

转动动能

r

r

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

i

i

公式

r

r

r

m

m

m

i

i

i

v

v

v

v

v

i

i

i

i

i


5529006

力矩的功

二、力矩的功和功率

力的元功

t

A

A

r

r

r

r

r

r

d

d

O

F

j

(

)

d

d

d

d

d

d

q

q

q

q

q

q

cos

d

d

d

d

d

F

P

j

sin

sin

j

j

F

r

F

F

F

p

力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算

M

M

M

2

作的总功为

A

若在某变力矩 的作用下,刚体由 转到 ,

M

M

q

q

q

q

1

1

d

2

2

A

M

力矩的瞬时功率

A

d

N

M

w

d

d

t

t


5529006

力矩的功算例

拨动圆盘转一周,摩擦阻力矩的功的大小

已知

转轴

总摩擦力矩 是

平放一圆盘

解法

提要

各微环带摩擦元力矩 的积分

O

R

m

d

环带面积

d

d

d

r

2

r

r

r

p

m

m

m

m

m

环带质量

d

d

(

)

d

m

m

d

d

d

2

r

d

p

环带受摩擦力

d

d

f

f

g

r

r

环带受摩擦力矩

4

M

M

M

M

M

M

M

粗 糙 水 平 面

r

r

r

r

r

r

r

3

m

2

2

R

d

d

s

s

g

m

2

m

r

r

r

O

2

2

R

R

圆盘受总摩擦力矩

r

d

r

d

m

转一周摩擦力矩的总功

2

2

g

g

p

p

m

m

2

m

m

2

R

p

A

A

d

d

R

q

q

p

d

q

0

0

0

0


5529006

刚体的动能定理

三、刚体转动的动能定理

回忆质点的动能定理

刚体转动的动能定理

由力矩的元功

d

A

b

I

d

d

d

d

d

d

d

A

A

I

q

q

q

q

q

M

M

d

w

d

d

t

t

b

I

M

I

w

转动定律

I

d

d

d

w

w

w

2

2

A

v

v

m

m

w

q

0

2

2

A

I

w

I

I

w

w

0

q

w

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

转动动能的增量

合外力矩的功

称为

刚体转动的动能定理


5529006

动能定理例题一

圆盘下摆 时质点 的

匀质圆盘

q

0

0

0

3

3

3

、切向、法向加速度

角速度

盘缘另固连一质点

的大小

w

解法

提要

a

a

a

a

R

n

n

t

t

m

m

1

1

系统

O

水平静止释放

m

m

m

2

2

2

q

系统转动动能增量

外力矩的功

2

w

sin

R

g

I

2

2

R

R

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

其中

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

I

+

通过盘心垂直盘面的水平轴

g

2

2

2

2

2

2

m

m

m

m

2

2

2

2

w

(

R

)

+

1

1

由转动定律

2

2

g

g

3

3

M

(

R

)

g

R

+

cos

I

b

I

g

2

R

w

b

R

+

+

,


5529006

动能定理例题二

从水平摆至垂直

已知

解法

提要

)

一端为轴

(

L

匀直细杆

m

外力矩作的总功

,

水平位置静止释放

L

d

q

q

cos

A

2

O

0

L

q

2

0

w

0

2

2

A

I

I

w

w

0

A

I

w

2

1

G

2

3

L

本题

I

m

g

m

1

1

代入得

g

L

w

3

2

2

p

2

w

的关系

利用

v

r

w

摆至垂直位置时杆的

w

还可算出此时杆上各点的线速度

g

g

m

m


5529006

动能定理例题三

从水平摆至垂直

已知

解法

提要

水平位置静止释放

段,外力矩作正功

a

a

d

A

q

q

cos

a

2

0

段,外力矩作负功

b

0

w

0

b

1

d

L

A

q

q

cos

O

b

q

2

g

g

3

m

m

2

0

合外力矩的功

A

b

a

3

3

G

G

1

i

L

b

b

1

1

g

m

A

4

4

4

4

G

G

2

2

a

a

A

I

I

w

w

0

1

1

4

A

I

w

2

2

2

转轴对质心轴的位移

p

p

L

4

r

L

L

2

2

9

w

L

7

2

I

I

r

2

L

+

m

m

2

3

c

4

8

摆至垂直位置时杆的

w

代入得

g

4

g

g

2

m

m

w

L

7


5529006

含平动的转动问题

质 点 平 动

四、含 的功能原理

刚体定轴转动

机械

A

A

A

非保守内

+

力矩

w

力矩

b

O

0

R

E

)

E

(

m

E

E

+

(

)

+

0

0

E

r

E

)

E

)

转动

转动

E

E

(

(

平动

平动

+

+

0

0

v

0

h

0

0

系统(轮、绳、重物、地球)

左例

忽略摩擦

A

0

非保守内

v

a

0

力矩

h

,

转动

E

E

E

平动

力矩

E

转动

E

m

m

m

m

m

平动

,

0

1

1

1

1

1

0

,

,

,

,

g

2

2

E

h

1

1

1

g

0

0

I

v

+

h

+

w

g

0

0

2

2

2

R

w

v

此外

h

h

2

)

)

h

h

(

(

2

I

R

a

2

v

b

m

R

a

0

0

,

,

,

可求

b

v

w

a

,

,

,


5529006

第四节

刚体的角动量

刚体的角动量

s

s

4 - 4

任一质元(视为质点)的质量

w

w

其角动量大小

L

L

L

刚体的角动量守恒定律

r

r

r

r

r

r

r

m

m

m

i

i

i

O

s

i

i

i

i

i

i

i

全部质元的总角动量

r

s

2

2

i

w

law of conservation of angular momentum of rigid-body

v

v

v

)

i

i

i

(

L

I

w

w

对质量连续分布的刚体

r

r

m

m

i

i

)

w

d

I

w

(

L

m

定轴转动刚体的角动量

角动量

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动

方 向

大 小

2

r

与 同绕向

L

w

L

I

w

或 与 沿轴同指向

L

w

定轴转动刚体的角动量

定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加


5529006

刚体的角动量定理

刚体的角动量定理

刚体的角动量定理

r

M

回忆质点的角动量定理

L

t

d

d

(微分形式)

t

d

t

L

L

(积分形式)

t

0

L

L

0

0

角动量定理

1.刚体的

d

I

d

)

d

w

d

(微分形式)

(

L

d

t

w

I

b

I

M

t

d

t

d

合外力矩

角动量的时间变化率

F

I

I

t

L

w

w

2

(积分形式)

2

M

L

L

L

L

d

M

d

t

L

t

2

2

1

1

1

1

角动量的增量

冲量矩


5529006

刚体系统的角动量定理

角动量定理

2.刚体系统的

若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体

d

系统的总合外力矩

系统的总角动量的变化率

M

M

M

L

i

i

i

i

t

d

系统的总冲量矩

系统的总角动量增量

L

L

(

)

i

i

2

1

例如

系统: 轻绳

求角加速度

(忽略质量)

b

m

总合外力矩

w

R

对O的角动量

1

1

O

L

2

2

2

2

I

同向

R

w

R

R

R

R

w

w

w

w

m

m

m

m

m

m

m

1

2

2

对O的角动量

L

m

v

R

m

1

d

d

L

静止释放

i

t

t

d

d

m

m

m

m

m

m

m

m

1

1

1

1

1

1

1

1

v

t

)

(

R

+

2

d

M

t

1

1

t

d

d

1

w

w

b

2

2

g

g

g

g

2

)

(

R

+

m

t

t

d

d

R

解得

b

)

(

R

+

m

m

1


5529006

主要公式归纳

角动量

L

L

归纳:

刚体的

角动量定理

d

d

L

L

M

t

t

d

d

d

刚体系统

刚 体

M

L

i

i

t

d

(微分形式)

(积分形式)

L

L

2

1

关键式:

d

M

L

是矢量式

L

L

(

)

L

I

M

i

i

w

I

I

2

t

t

1

w

w

t

d

2

2

d

d

M

M

t

t

t

t

1

1

d

p

与质点平动对比

F

p

v

m

t

d


5529006

刚体的角动量守恒定律

刚体的角动量守恒定律

刚体的角动量守恒定律

角动量定理

刚体的

M

M

M

d

d

L

L

刚体所受合外力矩

t

t

d

d

0

常矢量

I

I

0

L

w

w

刚体的角动量守恒定律

当刚体所受的合外力矩 等于零时,

刚体的角动量 保持不变。


5529006

回转仪定向原理

回转仪定向原理

(转动惯量 )

回转体

回转体质量呈轴对称分布;

I

轴摩擦及空气阻力很小。

受合外力矩为零

角动量守恒

w

恒矢量

I

L

w

为常量

其中转动惯量

I

L

I

w

万向支架

若将回转体转轴指向任一方向

基 座

使其以角速度 高速旋转

则转轴将保持该方向不变

w

而不会受基座改向的影响


5529006

角动量守恒的另一类现象

角动量守恒的另一类现象

变大,

变小则

保持不变,

乘积

w

I

I

w

变小。

变大则

w

I

收臂

张臂

I

I

w

w

用外力矩启动转盘后撤除外力矩


5529006

花样滑冰中常见的例子

角动量守恒的另一类现象

变大,

变小则

保持不变,

乘积

w

I

I

w

先使自己转动起来

变小。

变大则

w

I

收臂

收臂

张臂

收臂

张臂

I

I

I

I

w

w

用外力矩启动转盘后撤除外力矩

w

w

I

w

花 样 滑 冰


5529006

共轴系统的角动量守恒

恒矢量

共轴系统

0

S

I

M

L

L

S

S

S

w

i

i

i

i

轮、转台与人系统

末态

全静

初态

L

S

i

I

I

w

w

人台

I

人台

+

w

人沿某一转向拨动轮子

0

L

S

i

人台

I

0

人台

w

I

w

人台

w

I

人台

导致人台反向转动


5529006

直升飞机防旋措施

直升飞机防止机身旋动的措施

用 尾 浆

(美洲豹 SA300)

( 海豚 Ⅱ )

用两个对转的顶浆

165

(支奴干 CH47)


5529006

守恒例题一

两轮啮合后

A、B两轮共轴

已知

A以wA作惯性转动

一起作惯性转动的角速度

wAB

I

I

I

I

I

I

I

I

A

A

A

A

A

B

B

B

w

w

w

w

w

w

B

B

B

A

A

A

A

A

A

以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系统受合外力矩为零,角动量守恒。

解法

末态角动量

初态角动量

)

)

0

(

(

+

+

+

提要


5529006

守恒例题二

以弹、棒为系统

已知

子弹击入木棒瞬间,系统在

击入阶段

0

0

0

3

3

3

铅直位置,受合外力矩为零,角动量守恒。

O

上摆最大转角

解法

提要

该瞬间之始

该瞬间之末

l

l

I

w

0

v

+

+

木棒

l

上摆阶段

弹嵌定于棒内与棒一起上摆,

m

m

m

m

m

2

2

2

2

2

非保守内力的功为零,由系统动能定理

外力(重力)的功

上摆初动能

上摆末动能

1

子弹

3

2

)

2

(

I

A

+

w

0

m

m

m

m

m

v

弹嵌于棒

1

1

1

1

1

v

v

v

v

0

0

0

0

1

1

1

2

l

其中

l

I

2

2

2

v

w

,

(

(

g

l

1

cos

(

(

g

l

+

1

cos

1

联立解得

g

l

)

)

(

)

(

(

3

2

+

2

+

3

m

m

m

6

1

1

1


5529006

守恒例题三

匀质直棒与单摆小球的质量相等

满足什么条件时,小球(视为质点)摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度

l

两者共面共转轴

w

解法

提要

对摆球、直棒系统

水平静止释放

m

O

小球下摆阶段

从水平摆到弹碰即将开始,

l

l

g

由动能定理得

m

l

弹碰阶段

球、棒相碰瞬间在铅垂位置,系统受合外力矩为零,角动量守恒。

m

I

w

1

静悬

v

m

3

弹碰

刚要碰时系统角动量

刚碰过后系统角动量

忽略摩擦

1

1

1

0

0

2

2

+

+

2

2

2

m

m

l

2

I

w

其中

2

l

I

弹碰过程能量守恒

m

v

v

~

~

l

~

~

1

l

g

1.861

联立解得

0.577

)

(

2

g

l

3

l

w

2

l

3

,


5529006

作业

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4 - 1 5

4 - 14

4 - 1 8

4 - 2 2


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