Il nostro percorso

1. La Matematica dell’incerto Il nostro percorso

2. La Matematica dell’incerto Classica Frequentista Soggettiva Assiomatica Prima fase Discussione sulle risposte al questionario proposto Definizioni di Probabilità Definizione di spazio campionario, evento, eventi compatibili ed incompatibili, eventi dipendenti e indipendentifrequenza assoluta, frequenza relativa

3. La Matematica dell’incerto • Seconda fase • Legge dei grandi numeri Al crescere del numero dei lanci la frequenza relativa tende alla probabilità Attività: Lancio della moneta

4. La Matematica dell’incerto • Le probabilità di un evento dipendono dal numero di modi in cui può accadere” • Attività • lancio di due dadi • simulazione con Excel • lancio di tre dadi • Simulazione con Excel

5. La Matematica dell’incerto • Terza fase • Ricerca storica

6. Le origini del calcolo della probabilità La teoria della probabilità nasce, all’inizio del XVII secolo, dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nei vari giochi d’azzardo, quali ad esempio il gioco dei dadi. I nobili, infatti, facendo di queste attività uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti a tal proposito.

7. I primi studi sui modi con cui i dadi possono cadere Sino al secolo XV troviamo poche tracce del calcolo delle probabilità; ciò suggerisce l'emergere dell'idea che fosse possibile un calcolo sui risultati dei dadi. Era presente la nozione complementare di lanci corretti. Potrebbe anche essere che qualche persona intelligente abbia sviluppato gli elementi di una teoria per se stesso, ma deve aver tenuto per sé il segreto a motivo del valore monetario.

8. Il De Vetula De Vetula (Ovidio) Enuncia il più antico modo di contare le combinazioni in cui tre dadi possono cadere (incluse le permutazioni).

9. Fra Luca Pacioli Nato a Borgo Sansepolcro (1445-1517) e per questo detto anche Luca di Borgo. Studiò matematica a Venezia . Nel 1494 Ludovico il Moro gli conferì la cattedra di matematica a Milano, dove strinse amicizia con Leonardo da Vinci.

10. Nello stesso anno pubblicò a Venezia la Summa de Arithmetica, Gometria, Proportioni et Proportionalitate".  Tratta di aritmetica, algebra, trigonometria e getta le basi per i più importanti sviluppi della matematica che ebbero luogo di lì a poco in Europa. Diede ordine e pose anche le basi pratiche e teoriche alla moderna scienza della ragioneria e dell' economia aziendale.Tratta di numeri interi e frazionari, calcolo degli interessi, la tenuta dei libri a partita doppia, accenni a quello che diverrà poi il calcolo delle probabilità

11. Girolamo Cardano 1511- 1576 Nacque a Pavia, figlio di Fazio Cardano, un notaio versato nella matematica amico di Leonardo da Vinci e della ben più giovane vedova Chiara Micheria. Scrisse intorno al 1560 un libro sulle probabilità nel gioco, il Liber de ludo aleae, testo che però venne pubblicato solo nel 1663; esso contiene la prima trattazione sistematica della probabilità, insieme a una sezione dedicata a metodi per barare efficacemente.

12. 1654 - Pascal e Fermat Scambio epistolare nel quale vennero fondati e dimostrati i principi basilari della teoria della probabilità.

13. Fermat Nacque a Beaumont-de-Lomagne, città a 58 chilometri a nord-ovest di Tolosa. Figlio di un mercante di cuoio, studiò legge e divenne avvocato al Parlamento di Tolosa, dove si trasferì nel 1631 In una corrispondenza del 1650 con Blaise Pascal, Fermat sviluppò il calcolo delle probabilità, del quale è considerato uno dei fondatori. In particolare questa corrispondenza verteva sui problemi del gioco d'azzardo come, per esempio: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché si possa scommettere con vantaggio che esca il doppio sei? Nel carteggio con Pascal si trova anche la prima soluzione al problema della divisione della posta, che consiste nella divisione del soldi in gioco se si è costretti ad interrompere una partita d'azzardo senza essere arrivati alla fine.

14. PascalClermont-Ferrand, 19 giugno1623 – Parigi, 19 agosto1662 E’ stato un matematico, fisico, filosofo e teologo francese. Dal 1654 lavorò con Pierre de Fermat sulla teoria delle probabilità che influenzò fortemente le moderne teorie economiche e le scienze sociali. Dopo un'esperienza mistica seguita ad un incidente in cui aveva rischiato la vita, nel 1654, abbandonò matematica e fisica per dedicarsi alle riflessioni religiose e filosofiche. Morì due mesi dopo il suo 39º compleanno, nel 1662, dopo una lunga malattia che lo affliggeva dalla fanciullezza.

15. Pascal A lui si deve il triangolo mostrato in figura che permette di calcolare il numero di modi in cui si può scegliere un certo numero di oggetti da un gruppo composto dallo stesso numero o da un numero superiore. Ad esempio, il terzo numero nella fila dell’8 ci dice il numero di diversi gruppi di due che si possono formare, il quarto il numero di diversi gruppi di tre e così via Questo ragionamento si applica ad ogni fila

16. Nel 1657Huygens pubblicò il De ratiociniis in ludo aleae ,primo libro a stampa sulla probabilità ,basato sul lavoro di Pascal e Fermat e grazie al quale è considerato uno dei fondatori della disciplina del calcolo delle probabilità. Huygens 1629-1695

17. Galileo Galileo nel suo frammento Sulla scoperta dei dadi, scritto prima del 1640 (data della sua morte), dà una soluzione completa di un problema di probabilità con l'annotazione corretta di tutte le possibilità e scrive come se fosse nuovo, non richiamando nessun precedente autore.

18. JAKOB BERNOULLI 1654-1705 La sua opera principale è Ars Conjectandi pubblicato postumo nel 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilità. Formulò la legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema aureo

19. JAKOB BERNOULLI1654-1705 La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema aureo, descrive il comportamento della media di una sequenza di n variabili casuali indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.) al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media vera.

20. Abraham de Moivre La fama di De Moivre è legata al fatto che egli riuscì a prevedere esattamente il giorno della propria morte servendosi di un calcolo matematico

21. Pierre-Simon Laplace 1749-1827 Nel suo Essai philosophique sur les probabilités, Laplace formalizzò il procedimento matematico del ragionamento per induzione basato sulla probabilità, che noi oggi riconosciamo come quello di Thomas Bayes. Nel 1774 ricavò il teorema di Bayes senza essere probabilmente a conoscenza del lavoro pubblicato nel 1763) di Bayes (morto nel 1761).

22. Andrej Nikolaevič Kolmogorov1903-1987 In Fondamenti della teoria della probabilità Ha tracciato un approccio assiomatico per la moderna teoria della probabilità, compiendo una rivoluzione nell'approccio alla materia.

23. Perchè il calcolo della probabilità ci mise tanto tempo ad emergere? Non possiamo supporre che i greci fossero incapaci di operare le necessarie generalizzazioni. Lo stesso vale per gli arabi e per gli europei del basso medioevo. Altre quattro possibilità meritano il nostro esame: a) l'assenza di un'Algebra combinatoria (o almeno di idee combinatorie); b) la superstizione degli scommettitori; c) l'assenza della nozione di evento casuale; d) barriere religiose o morali che si frapponevano allo sviluppo dell'idea di casualità e di caso.

24. Il metodo Montecarlo Quarta fase

25. Il Metodo Monte Carlo Il metodo monte carlo è usato per trarre stime attraverso simulazioni. Si basa su un algoritmo che genera una serie di numeri tra loro incorrelati, che seguono la distribuzione di probabilità che si suppone abbia il fenomeno da indagare Una volta calcolato un campione casuale, la simulazione esegue delle 'misure' delle grandezze di interesse su tale campione. La simulazione Monte Carlo è ben eseguita se il valore medio di queste misure sulle realizzazioni del sistema converge al valore vero.

26. Il Metodo Monte Carlo Le sue origini risalgono alla metà degli anni 40 all'interno del Progetto Manhattan. I formalizzatori del metodo sono John von Neumann e StanisławMarcinUlam, il nome Monte Carlo fu inventato in seguito da Nicholas ConstantineMetropolisin riferimento alla nota tradizione nei giochi d'azzardo del mini stato omonimo nel sud della Francia L'algoritmo Monte Carlo è un metodo numerico che viene utilizzato per trovare le soluzioni di problemi matematici, che possono avere molte variabili e che non possono essere risolti facilmente, per esempio il calcolo integrale. L'efficienza di questo metodo aumenta rispetto agli altri metodi quando la dimensione del problema cresce.

27. La Matematica dell’incerto • Calcolo dell’area del segmento parabolico utilizzando il software • Geogebra con il metodo dei plurirettangoli Calcolo dell’area del suddetto segmento con il metodo Montecarlo utilizzando il software Excel

28. Verifica del teorema di Archimede Con i comandi Sommasuperiore[] e Sommainferiore[] si costruiscono i plurirettangoli inscritti e circoscritti nella parte di piano delimitata dal segmento OC e dal ramo di parabola OD. Facendo variare lo slider e quindi il numero di suddivisioni dell’intervallo, si può notare che le due superfici si sovrappongono e ricoprono la parte di piano delimitata dal segmento OC e dal ramo di parabola OD

29. Verifica del teorema di Archimede Area del segmento parabolico A(OCDE) – A(OCD) = area1 R = area1/A(OCDE) = 2/3 = 0.67

30. Verifica del teorema di Archimede col metodo Montecarlo Sia f(x) =ax2 con vertice nell’origine, concavità verso l’alto e primo coefficiente variabile. Individuato un intervallo (0, b) tracciamo il rettangolo che ha per dimensioni b e f(b).Nella figura a = 1,5, b = 15, f(b) = 337,5.

31. Verifica del teorema di Archimede • Definiamo due numeri casuali, uno variabile tra 0 e b e l’altro variabile tra 0 e f(b). • Calcoliamo le ordinate f(x) corrispondenti a ciascun numero casuale variabile in (0 , b). • Confrontiamo ciascun numero casuale compreso tra 0 e f(b) con le ordinate f(x) corrispondenti a ciascun numero casuale variabile in (0 , b). e facciamo in modo che se il primo è maggiore o uguale del secondo, nella cella venga scritto 1, altrimenti 0.

32. Verifica del teorema di Archimede • Contiamo i punti che cadono all’interno della curva, contando il numero di 1 presenti nella colonna. • Contiamo quanti zeri (numero di punti esterni) sono presenti nella colonna. • La somma dei punti interni e dei punti esterni è uguale al numero di prove effettuate. • Il rapporto tra i punti interni e il numero di prove è 0,67= 2/3

33. La Matematica dell’incerto • Il fiammifero di Buffon: Risoluzione del problema con Geogebra e con Excel.

34. Il fiammifero di Buffon: Lasciando cadere un pugno di fiammiferi su un foglio con rette parallele equidistanti, quanti di essi intersecheranno una delle rette?

35. Il fiammifero di Buffon • Supponiamo che i fiammiferi AB abbiano una lunghezza l e che le rette parallele abbiano una distanza pari a d (vedi figura). Supponiamo, inoltre, che risulti l < d.  Poniamo: HM = y AMG=x con M punto medio di A B Un fiammifero interseca una delle rette solo se risulta soddisfatta la condizione y < AG , cioè se Y<l/2senx

36. Il fiammifero di Buffon I limiti geometrici per y e x, sono i seguenti: 0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2 Quindi l’evento E:”il fiammifero interseca una delle rette”, ammette come casi favorevoli quelli dati dalla relazione : mentre l’insieme dei casi possibili è definito dalle condizioni 0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2 Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le precedenti considerazioni, la probabilità dell’evento E, risulta dal rapporto fra l’area sottesa dalla curva di equazione y<l/2senx e l’area del rettangolo di dimensioni 0≤ x ≤π 0≤ y ≤ d/2

37. Il fiammifero di Buffon Nella figura seguente, costruita in ambiente GeoGebra è mostrato un esempio con d = 6 e l=4

38. Il fiammifero di Buffon Utilizzando un foglio di Excel generiamo N numeri casuali all’interno del rettangolo e contiamo quelli NS che cadono sotto la curva. Il rapporto NS /N =Fr si chiama frequenza relativa e per valori di N abbastanza grandi tende al rapporto delle aree delle due figure • Verifichiamo che il metodo Monte Carlo risulta affidabile quando N cresce. Esso fornisce un valore per Fr(E) che è una stima attendibile del valore di probabilità dell’evento E .

39. Il fiammifero di Buffon P(E) = area sottesa dalla curva/area del rettangolo =1/π=0,318 Dal calcolo precedente è possibile ricavare un valore approssimato di π

40. Hanno partecipato • Di Giovannantonio Marco III F • Lucibello Gennaro III F • Patanè Vittorio III F • Di Stasio Simone III F • Di Giovannantonio Marco III F • Della Valle Dalila IV G • Sammarco Maria IV G • De Pasquale Silvio IV C • Nocera Brenda IV B • Raimondo M. Pia III E Referente Prof. Filomena Grella