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Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge. Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung

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Presentation Transcript
Crashkurs versicherungsmathematik versicherungsmathematische grundlagen und zusammenh nge
Crashkurs Versicherungsmathematikversicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge

  • Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung

  • Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung

  • Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen

  • Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell

  • Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen

  • Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung

  • Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung

  • Finanzmathematische Grundlagen

  • Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

  • Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

  • Prämienkalkulation

  • Deckungsrückstellung

  • Anwartschafts- und Kapitaldeckungsverfahren

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals

S = Endwert eines Kapitals

i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird

r = 1 + i Aufzinsungsfaktor

v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor

Beispiel: Zins i = 5 % (= 0,05, da 1 % = 1/100), Anfangskapital P = 1000

Aufzinsungsfaktor r = 1 + i = 105 % (= 1,05)

Endkapital nach einem Jahr S = (1 + i) * P = 1,05 * 1000 = 1050

Endkapital nach 2 Jahren: S = (1+i) * (1+i)*P = 1,052 * 1000 =

1,1025 * 1000 = 1102,50

Endkapital nach n Jahren: Sn = (1+i)n P = 1,05n * P; sprich: (1,05 hoch n)

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen1

Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen2

Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen3
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,

im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung?

  • 1.943 € b) 3.406 € c) 11.233 €

    Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492

    zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat?

  • 1.214 Cent b) 2.530.976 Cent c) 124.248.113 Cent

    Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?

    a) 10 % b) 4,73 % c) 2,91 %

    Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist

    der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute

    7 % beträgt?

    a) 13,4 % b) 22,2 % c) 79,3 %

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Lösungen:

Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,

im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung? b) 1,03 50 = 4,384;

4,384 * 777 Cent = 3.406 €

Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492

zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat? b) 1,02 512 = 25.309,76;

25309,76 * 100 Cent = 2.530.976 Cent

Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?

b) 4,73 %, denn 1,0473 30 = 4,00

Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist

der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation

heute 7 % beträgt? b) 1,03 60 = 5,892; 1,05 60 = 18,679;

(18,679 * 7 %) / (5,892 * 100 %) = 130,753 / 589,2 = 22,2 %

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals

S = Endwert eines Kapitals

i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird

v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor

Beispiel: Zins i = 3,5 % Endkapital S = 1000

Diskontierungsfaktor v = 1/(1 + i) = 1/1,035 = 0,966184

Barwert P des Endkapitals S in einem Jahr:

P = v * S = 1000/1,035 = 966,18

Barwert P des Endkapital S in 2 Jahren: P = v * v * S = (1/1,035)2 * 1000 = 1/(1,035 2) * 1000 = 1/1,071225 * 1000 = 933,51 (0,966184*0,966184 = 0,933511)

Barwert des Endkapital S in n Jahren: P0 = vn Sn = 1/(1,035n) * Sn

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen7
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Was ist mehr wert: 400 Euro sofort, 1000 Euro in 10 Jahren oder 2000 Euro in 20 Jahren?

Bei einem Zins von 5 %?

Bei einem Zins von 8 %?

Bei einem Zins von 10 %?

Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum gleichen Zeitpunkt. Z.B. heute:

1/1,05 10 * 1000 = 0,614 * 1000 = 614

1/1,05 20 * 2000 = 0,377 * 2000 = 754

1/1,08 10 * 1000 = 0,463 * 1000 = 463

1/1,08 20 * 2000 = 0,215 * 2000 = 430

1/1,10 10 * 1000 = 0,386 * 1000 = 386

1/1,10 20 * 2000 = 0,146 * 2000 = 292

1/1,10 0 * 400 = 1,000 * 400 = 400

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Periodische Zahlungen

Renten, hier: jährlich vorschüssige oder jährlich nachschüssige Renten,

jährlich gleich hohe Zahlungen (Jahresrenten), Zeitrente

Bei unbegrenzter Dauer: „ewige Rente“

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Periodische Zahlungen

Aufgeschobene Zeitrente

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Periodische Zahlungen

Aufgeschobene steigende Zeitrente, mit 10 % dynamisiert

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist mehr wert: 7500 Euro sofort,

1000 Euro sofort beginnende jährlich nachschüssige Rente für 10 Jahre oder

2000 Euro 10 Jahre aufgeschobene jährlich nachschüssige Rente für 8 Jahre? –

Bei einem Zins von 5 %?

Lösung:Diskontierung auf den Barwert zum heutigen Zeitpunkt:

1000 * (1/1,05 1 + 1/1,05 2 + 1/1,05 3 + .... + 1/1,05 9 + 1/1,05 10) =

1000 * (0,952 + 0,907 + 0,864 + ... + 0,645 + 0,0614 ) = 1000 * 7,722 =

7722

2000 * (1/1,0511 + 1/1,0512 + 1/1,0513 + .... + 1/1,0517 + 1/1,0518) =

2000 * (0,585 + 0,557 + 0,530 + ... + 0,436 + 0,416 ) = 2000 * 3,968 =

7936

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres

jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres

jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722

Entspricht dem Barwert einer Einmalzahlung von 12.577 am Ende des 10. Jahres:

Barwert: 1/1,0510 * 12577 = 0,614 * 12577 = 7722

Die beiden Barwerte bleiben auch dann gleich , wenn auf einen anderen (einheitlichen) Zeitpunkt

diskontiert wird. Es ändert sich dadurch nur die absolute Höhe des Barwerts.

Es ist auch gleichgültig, ob es sich um Renten, Prämien, Kapitalanlagen oder sonstige Zahlungen

handelt.

Beispiel: Diskontierung (bzw. Aufzinsung, Zinssatz 5 %) ) einer jährlich nachschüssigen Prämie

von 1000 Euro über 10 Jahre auf das Ende des 10. Jahres: Barwert = 12.577

(vgl. nachfolgende Grafik)

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung finanzmathematische grundlagen14
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Aufzinsung einer Zeitrente auf den Barwert zum Ende des 10. Jahres

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1?

a) diskontiert mit Zinssatz 50 %

b) diskontiert mit Zinssatz 5 %

c) diskontiert mit Zinssatz 1 %

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1? a) 1,0 b) 20 c) 100 (kein Kapitalverzehr, nur Zins!)

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen

Zins und Kapitalverzehr einer Zeitrente jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Kapitalverzehr Gesamt = 7722, Zins Gesamt = 2278

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Beispiele:

Welche Augenzahl ist bei einem Wurf mit einem Würfel

wahrscheinlicher? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? -

Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel ist jeweils 1/6stel.

Welche Gesamtaugenzahl ist bei 1000 (oder 10.000) Würfen am

„wahrscheinlichsten“?

Wieviel Würfe werden benötigt, damit die durchschnittliche Augenzahl „fast sicher“

zwischen 3,48 und 3,52 liegt?

Was heißt „fast sicher“?, was bedeutet es, dass der „Erwartungswert“ der

durchschnittlichen Augensumme 3,5 ist?

Welche Schlussfolgerung kann daraus gezogen werden, wenn auch nach sehr vielen

Versuchen mit einem realen Würfel der Durchschnitt sich bei 3,4 einpendelt?

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Praxis der Versicherungsmathematik:

  • Die Erwartungswerte selbst sind nicht bekannt

  • Nutzung des „Gesetzes der großen Zahl“: je größer die Zahl der Versuche (der Versicherten, des „Kollektivs“, der Beobachtungsjahre etc.), desto näher liegen die Durchschnitte an den eigentlichen Erwartungswerten

  • Die Beobachtungswerte (z. B. Anzahl Gestorbener in einem Jahr je 1000 Versicherte Männer im Alter 70 am Jahresbeginn) dient als Ausgangswert, um daraus eine durchschnittliche Zahl („rohe“ Sterbequote 70jährige Männer) zu ermitteln

  • Erkannte statistische Schwankungen bzw. Extremwerte werden ausgeglichen, nach statistischen Grundsätzen eine gewisse Sicherheit hinzugefügt und damit „rechnungsmäßige“ Berechnungsgrundlagen für die Prämien gewonnen

  • Dann erfolgt ein Übergang zum „Determinismus“: mit den gewonnenen Berechnungsgrundlagen wird so gerechnet, als ob diese genauso eintreten werden, die Zufälligkeit bleibt in den Prämienberechnungen meist unbeachtet.

    Beispiel: von 1000 zum Jahresbeginn versicherten 70jährigen Männern werden im

    nächsten Jahr 18,683 Promille, also 18,683 Personen sterben und am Jahresende

    noch 981,318 vorhanden sein, die im nächsten Jahr 71jährig sind ....

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen) ist eine

philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle Ereignisse liefen nach vorher

festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten

Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller Ereignisse

prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des

Determinismus, die mehr oder minder streng die Vorausberechenbarkeit aller

Ereignisse vertreten. Auffassung, derzufolge ein Geschehen gesetzmäßig bestimmt

abläuft. Die stillschweigende Anwendung des Determinismus ist Voraussetzung

jeder Wissenschaft.

ZufallMan spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht

beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als

zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und

Unberechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Gegensatz: Kausalität: ein Ereignis wird von einem vorangegangenen bedingt.

Für die Praxis liegt ein Zufall auch vor, wenn – auch aus subjektiver Sicht – keine

ausreichenden Informationen bekannt waren – oder nicht ausgewertet werden

konnten – um das Ereignis vorherzusagen.

Beispiel 1: eine nicht erkennbare Infektion vor Reiseantritt führt während der Reise

zwangsläufig zu einer – unvorhergesehenen - Krankheit, für die die Reisekranken-

versicherung leistet.

Beispiel 2: Der Versicherte reicht wie von Beginn an beabsichtigt alle drei Jahre eine

Rechnung für eine neue Brille ein – so wie die Versicherungsbedingungen dies

zulassen. Für den Versicherten ist dies kein Zufall, jedoch aus Sicht des

Versicherers – er kann dies nicht vorhersehen.

Die versicherungsmathematische Prämienberechnung arbeitet mit einer

deterministischen Gesetzmäßigkeit – für Kollektive, nicht für Einzelne.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus

Worin liegt der Unterschied zwischen einem deutschen und einem sizilianischen

Versicherungsmathematiker:

Der deutsche Versicherungsmathematiker weiß, wieviele Versicherte jeden Alters im

nächsten Jahr sterben werden, aber nicht, welche dies zufällig sind. Der sizilianische

Versicherungsmathematiker kennt auch die Namen, die voraussichtlichen Todes-

ursachen und –termine.

Problematisch ist, wenn der Versicherte selbst den Eintritt eines Schadenereignisses

bei Abschluss der Versicherung vorhersehen kann. Wenn Zeitpunkt des Schaden-

eintritts und die Schadenhöhe exakt vorhersehbar sind, ist die Prämie zwar

besonders gut berechenbar – determiniert - aber die Versicherung macht kaum mehr

Sinn. Die Prämien wären nämlich etwa so hoch wie der Schaden, es liegt also nur ein

„Geldwechselgeschäft“ oder ein „Sparvorgang“ vor.

Manche Versicherungsprodukte haben jedoch solche Elemente.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbetafeln

x = Alter einer Person in Jahren

lx = Lebende x-Jährige zu Beginn des Jahres

dx = rechnungsmäßig Sterbende eines Jahres zwischen Alter x und x+1

qx = dx / lx Wahrscheinlichkeit eines x-Jährigen, zwischen Alter x und x+1 zu sterben, Sterbewahrscheinlichkeit (in Promille) - Mortalität

Eine Sterbetafel ist eine Tabelle mit einer Sterbewahrscheinlichkeit qx zu jedem

Alter x

Beispiel: PKV-Sterbetafel 2004, Männer: Absterbeordnung lx

l70 = 887.859, q70 = 12,711 0/00 = 0,012711, d70 = 11.286

l71 = l70 – d70 = 887.859 – 11.286 = 876.573 oder alternativ:

l71 = (1 – qx) * l70 = 0,987289 * 887.859 = 876.573

1 – qx ist die Überlebenswahrscheinlichkeit

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Sterbetafeln:

- Bevölkerungssterbetafeln (z. B. vom Statistischen Bundesamt veröffentlicht)

- Versichertensterbetafeln (z. B. von der Deutschen Aktuarvereinigung veröffentlicht)

Für die Kalkulation von Versicherungsprämien in der Lebens- und Krankenversicherung sind

die besonderen Verhältnisse in Versichertenkollektiven relevant, die vom Geschlecht, der

Tarifart, Bestandszusammensetzung, Risikoprüfung oder z. B. einer eingetretenen

Invalidisierung (Invalidensterbetafeln) u. a. beeinflusst werden.

Bei Versicherungen mit Todesfallcharakter (z. B. Risikolebensversicherung) wird

sicherheitshalber mit erhöhten Sterblichkeiten (94T) gerechnet, bei Versicherungen mit

Erlebensfallcharakter (Rentenversicherung und PKV) mit vorsichtshalber niedrigeren

Sterbewahrscheinlichkeiten.

Periodentafeln – wie PKV-Sterbetafel 2004 oder 94T – gehen in allen Altern von den

Sterbewahrscheinlichkeiten des aktuellen Zeitraums – Periode – aus.

Generationentafeln – wie 94R – basieren auf den hochgerechneten Sterblichkeiten einer

Generation – z. B. Geburtsjahrgang 1955 – mit Anpassung für andere Generationen.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Entwicklung der Sterblichkeit

Der langfristige Sterblichkeitstrend geht – teilweise sogar beschleunigt – zu niedrigeren

Sterblichkeiten und damit verbundener längerer Lebenserwartung.

In der Todesfall- und Kapitallebensversicherung führt dies zu Entlastungen, weil weniger

Todesfalleistungen erbracht werden müssen.

In der privaten Rentenversicherung wird der Sterblichkeitstrend bereits eingerechnet – durch

Verwendung von Generationentafeln. Diese müssen jedoch auch angepasst werden, wenn der

tatsächliche Trend den zunächst in den Tafeln berücksichtigten übertrifft – zuletzt von

Sterbetafel 87R auf 94R und derzeit auf 2004R.

In der privaten Krankenversicherung müssen die verwendeten Periodentafeln regelmäßig an

den Trend angepasst werden, da die im Alter steigenden Leistungen für immer längere Zeit

erbracht werden müssen. Durch die Möglichkeit der Beitragsanpassung muss nicht von

vornherein so vorsichtig wie in der Rentenversicherung gerechnet werden.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Lebenserwartung

Die durchschnittliche fernere Lebenserwartung eines x-Jährigen ist die durchschnittliche

Anzahl von Jahren, die ein x-Jähriger noch lebt – hier aus der Absterbeordnung berechnet:

ex = (lx + lx+1 + l x+2 + ... + l) / lx - 0,5

  • bezeichnet das Endalter (z. B. 100 oder 103)

    Abzug von ½ Jahr, da Todeszeitpunkt durchschnittlich zur Jahresmitte

    Beispiel e90 = (l90 + l91 + l92 + ... + l100) / l90 - 0,5

    Dafür eine einfache mathematische Formel:

    ex = (  li / lx ) - 0,5  : mathematisches Summenzeichen

    i = x

  • vgl. in Excel z. B. : = Summe(L90 : L100)

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

Ausscheideordnungen

Die Absterbeordnung der Lebenden lx ist eine Ausscheideordnung mit dem

einzigen Grund Tod.

Andere Ausscheidegründe sind z. B.:

  • Storno (in der PKV)

  • Invalidisierung bzw. Reaktivierung (in der Berufsunfähigkeits- und Erwerbsunfähigkeitsversicherung)

  • Wiederverheiratung (in der Witwenrentenversicherung)

    - Eintritt der Pflegebedürftigkeit (in der Pflegerentenversicherung)

    Beispiel Storno in der PKV: Das sind alle vorzeitigen Abgänge bis auf den Grund

    Tod (Stornowahrscheinlichkeit):

    wx= Wahrscheinlichkeit, zwischen Alter x und x+1 zu stornieren.

    Die Ausscheidewahrscheinlichkeit insgesamt ist damit: qx + wx

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung pr mienkalkulation
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Prämienkalkulation

- Äquivalenzprinzip

  • Prospektive Kalkulation

  • Barwerte von Prämien und Leistungen

  • Kostendeckung und Zillmerung

    Die Kalkulation der Neuzugangsprämien erfolgt zunächst Netto – also ohne Einrechnung

    von Kosten für Abschluss, Verwaltung oder Schadenregulierung.

    Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt, zu Versicherungsbeginn eines

    Versicherten ist:

    Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen

    (Netto-)Prämien

    Die Diskontierung erfolgt mit einem Rechnungszins, d. h. einem Zins, von dem man

    annimmt, dass er voraussichtlich sicher aus den Kapitalanlagen zu erwirtschaften ist.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung

Prämien und Versicherungsleistungen entsprechen sich nicht Jahr für Jahr im weiteren

Versicherungsverlauf. So werden in der Lebensversicherung die Prämien als konstant

kalkuliert, während die Sterbewahrscheinlichkeit mit dem Alter zunimmt. Das

versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt dann:

Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen

= Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien +

Deckungsrückstellung (bzw. Alterungsrückstellung)

Anders ausgedrückt ist die Deckungsrückstellung die Differenz:

Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen -

Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien

Zum Versicherungsbeginn ist noch keine Deckungsrückstellung vorhanden, daher sind die

beiden Barwerte für die Ermittlung der Neuzugangsprämien zum Eintrittsalter gleich.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung

Zu Versicherungsbeginn sind die laufenden Prämien in der Regel höher als die Leistungen.

Die Deckungsrückstellung wird vereinfacht ausgedrückt aus den Beitragsteilen aufgebaut und

mit dem Rechnungszins verzinst, die zunächst noch nicht für Leistungen benötigt

werden.

Man könnte daher Jahr für Jahr die (kalkulierten) Leistungen von den Nettoprämien abziehen

und den Betrag jeweils unter Verzinsung mit dem Rechnungszins aufaddieren und

weiterrechnen. Dies wäre eine sogenannte Retrospektive Kalkulation, weil sie auf dem

Vertragsverlauf in der Vergangenheit aufsetzt. In Ausnahmefällen kann dies zur Anwendung

kommen.

In aller Regel werden Deckungsrückstellungen jedoch aus den Annahmen für den zukünftigen

Vertragsverlauf berechnet – wie dies auch in den Barwertdifferenzen zum Ausdruck kommt:

dies bezeichnet man als Prospektive Kalkulation.

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung pr mienkalkulation1
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Beispiel:

Sofort beginnende Leibrente ab Alter x – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1

Mit der Sterbetafel 94R (qx) für die Rentenversicherung ergibt sich die entsprechende

Absterbeordnung lx

Zu Beginn sind lx Versicherte vorhanden. Im nächsten Jahr vermindert sich diese Zahl durch

Todesfälle auf

lx+1 = (1 – qx) * lx

Die Renten werden auf den Rentenbeginn diskontiert. Der jeweilige Barwert einer Zeitrente

beträgt also vn für die im Alter x+n gezahlte Rente.Der Barwert der Leibrente – je zu Beginn

vorhandenem Renner - berücksichtigt, dass sie nur im Erlebensfall gezahlt wird: lx+n * vn / lx

Barwert der lebenslänglichen Leibrenten je x-jährigen Rentner (Ax für „Leistungsbarwert“):

Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx (mit „Endalter“ 102)

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung pr mienkalkulation2
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Noch Beispiel:

Sofort beginnende Leibrente ab Alter x = 65 – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1

Die obere Line stellt die Absterbeordnung mit der Sterbetafel 94R dar: Lebende lx+i

Die untere Linie ist das Produkt lx+i * viaus Lebenden und diskontierter Rentenhöhe für

jedes Alter.

Die Summe der Werte der unteren Linie (13.103.262) ist noch durch l65 (887.626) zu

dividieren:

Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx = 13103262 / 887626 = 14,762

Dieser Leistungsbarwert – bzw. „Rentenbarwert“ bedeutet, dass ein Versicherter im Alter

65 bei einem Rechnungszins von 2,75 % für einen Einmalbeitrag (netto ohne Kosten) von

14.762 Euro eine lebenslange Rente von jährlich im Voraus 1000 Euro versichern kann.

Einmalbeitrag (an den Versicherer) und laufende Rente an den Versicherten sind gleich viel

wert – d. h. haben bei einem Rechnungszins von 2,75 % den gleichen Barwert.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Eine mathematische Vereinfachung:

Die Formel Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx

wird im Nenner und Zähler mit vx multipliziert, wodurch sich das Ergebnis nicht

ändert – auch die Multiplikationszeichen werden einfach weggelassen:

Ax = (lx vx + lx+1 vx+1 + ... + l102 * v102 ) / ( lx vx )

Das hat den Vorteil, dass jeder Wert lx nur mit einem Diskontierungsfaktor multipliziert

werden muss: es reicht also für die Berechnungen eine altersabhängige Tabelle der

sogenannten Diskontierten Lebenden:

Dx = lx vx

Damit vereinfacht sich die Formel für den Rentenbarwert zu:

-x

Ax = (  Dx+i ) / Dx

i = 0

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Barwert einer n = 30 Jahre aufgeschobenen jährlich vorschüssigen Rente 1 für einen 35-

Jährigen (ohne Beitragsrückgewähr u. ä.):

Der Barwert im Alter 65 war:

102-65

A65 = (  D65+i ) / D65 = 2.246.779 / 152.199 = 14,762

i = 0

Im Alter 65 sind noch l65 = 887.626 Lebende vorhanden, im Alter 35 waren es noch l35 =

991.713. Zusätzlich ist noch weitere 30 Jahre – über die Aufschubzeit – zu diskontieren, also

mit v30 = 0,443144. Der Barwert der aufgeschobenen Rente im Alter 35 ist also:

102-65

A35(30J aufg.) = A35,30 = (v30 l65 / l35) (  D65+i ) / D65

i = 0

= (0,443144 * 887626 / 991713 ) * 14,762 = 5,855

102-65102-65

= D65 / D35 * (  D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35

i = 0i = 0

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Diskontierte Lebende Männer Sterbetafel 94R

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung pr mienkalkulation7
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Oder vereinfacht:

102-65102-65

= D65 / D35 * (  D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35

i = 0i = 0

= 2246779 / 383727 = 5,855

Wie hoch ist der Barwert einer jährlich vorschüssigen Leibrente ab Alter 35 bis Alter 64?

Offenbar die Differenz zwischen dem Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente ab

Alter 35 und dem Barwert einer 30 Jahre aufgeschobenen Rente im Alter 35:

102-35102-65

30a35= (  D35+i ) / D35 - (  D65+i ) / D35

i = 0i = 0

64-35

= (  D35+i ) / D35 = 7788267 / 383727 = 20,296

i = 0

Das ist auch gleichzeitig der Barwert 30a35 von 30 jährlichen Prämien 1 ab Alter 35 bis 64

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine 30 Jahre aufgeschobene

jährliche vorschüssige Rente 12.000 (also ab Alter 65) – netto :

12000 * A35,30 = 12000 * 5,855 = 70.260

Wie hoch ist die jährliche Prämie P für diese Rente, wenn diese von Alter 35 an jährlich

vorschüssig 30 Jahre lang gezahlt wird?

Barwert der Prämien = Barwert der Leistungen, also:

P * 30a35 = 12000 * A35,30

P * 20,296 = 12000 * 5,855

P = 70.260 / 20,296 = 3.462

Die (Netto-)Prämie für die Rente 1 beträgt:

P = A35,30 / 30a35 = 0,288

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine Todesfallversicherung

(Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Vorsichtshalber wird angenommen, dass die Versicherten jeweils zum Jahrebeginn

sterben – die Sterbewahrscheinlichkeit ist qx – aus der Sterbetafel 94T.

Mit der entsprechenden Absterbeordnung lxergibt sich also in jedem Alter die Zahl der Toten:

dx = qx * lx und diskontiert: Cx = dx * vx= qx * Dx

Die diskontierten Todesfalleistungen in der Vertragslaufzeit sind nun noch aufzusummieren

und durch die Zahl der (diskontierten) Lebenden im Alter 35 zu dividieren:

29

30A35 = (  C35+i ) / D35 = (C35 + C36 + ... + C64) / D35 =

i = 0

52445 / 378359 = 0,1386

(100000 € Todesfallschutz kosten einmalig 13.860 €)

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote, Rechnungszins 2,75%

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie hoch ist der Jahresbeitrag eines 35-jährigen für die Todesfallversicherung

(Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert) und damit der Einmalbeitrag war 29

30A35 = (  C35+i ) / D35 = 0,1386

i = 0

Der Barwert (Rentenbarwert) der 30 vorschüssigen Jahresprämien (Höhe 1) beträgt

29

30a35= (  D35+i ) / D35 = 7.439.384 / 378.359 = 19,662

i = 0

P = 30A35 / 30a35= 0,1386 / 19,662 = 0,00705

(d. h.: 100000 € Todesfallschutz kosten jährlich – netto – 705 €)

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung deckungsr ckstellung
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

Wie hoch ist bei dem vorangegangenen Beispiel die Deckungsrückstellung der

Todesfallversicherung gegen laufenden Beitrag (Leistung 1) nach m = 10 Jahren:

Die Deckungsrückstellung Vx,m ist allgemein die Differenz

Barwert der künftigen Leistungen – Barwert der künftigen Prämien

Nach 10 Jahren hat der Kunde das Alter 45 und die Versicherung läuft noch 20 Jahre:

V35,10= 20A45 - (20a45* P) = 0,1567 – (14,625 * 0,00705) =

0,1567 – 0,1031 = 0,0536

Die Deckungsrückstellung für z. B. 100.000 € Todesfalleistung beträgt also nach 10

Jahren (bei Netto-Jahresprämie 705 €) 5.360 €.

Die folgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung während des

Vertrages:

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung deckungsr ckstellung1
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation

Wie berechnet sich die Prämie eines 35-jährigen für eine (gemischte) Kapitallebens-

versicherung mit Ablaufleistung = Todesfalleistung Höhe 1, Laufzeit 30 Jahre? – netto :

Die Prämie für die Todesfalleistung wurde schon berechnet, fehlt also noch die

Ablaufleistung. Diese wird nur an die überlebenden (l65) ausgezahlt:

A35,30 = (l65 / l35) * v30 = D65 / D35 = 128209 / 378359 = 0,33886

Dies wäre der Einmalbetrag (ohne Todesfalleistung). Die Jahresprämie ist dann:

P = A35,30 / 30a35= 0,33886 / 19,662 = 0,01723

Dazu kommt die Jahresprämie für die reine Todesfalleistung (0,00705), ergibt

zusammen 0,02428. Eine gemischte Kapitallebensversicherung auf Endalter 65

mit Leistung 100.000 € kostet also – netto für den 35-Jährigen 2.428 € jährlich.

Die nachfolgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung dieser

gemischten Kapitallebensversicherung.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung

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Crashkurs versicherungsmathematik einf hrung in die tarifierung pr mienkalkulation kostendeckung
Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Kostendeckung

Bisher wurden nur Nettoprämien ohne Kosten betrachtet. Kosten sind z. B.:

  • Abschlusskosten

  • Verwaltungskosten

  • Schadenregulierungskosten

    Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet.

    Maßstab kann z. B. relativ zur Prämie, zur Versicherungssumme oder pro Kopf sein.

    Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie.

    Wegen der Vielfalt der Varianten soll hier nur speziell das Thema Zillmerung der

    Abschlusskosten angesprochen werden. Die Nettoprämie ist – vereinfacht P = Ax / ax

    Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie Pz aus der Summe von

    Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. 4 % der Versicherungssumme) errechnet:

    Pz = (Ax + Z) / ax

    Die Netto-Prämie wird also um den „Zillmerzuschlag“ Z / ax erhöht, z. B.: von 0,02428 um

    0,04 / 19,662 = ,00203 auf 0,02631.

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung

Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax) wird durch die Zillmerung nicht

verändert. Die (sogenannte) gezillmerte Deckungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten

gezillmerten Nettoprämie gerechnet:

Vx,m= Ax+m - (ax+m* P) (ungezillmert)

Vzx,m= Ax+m - (ax+m* Pz) (ungezillmert)

Zum Versicherungsbeginn gilt z. B.

Vzx,0= Ax - (ax* Pz) = Ax - (ax* (Ax + Z) / ax) =

Ax - (Ax + Z) = - Z

Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ.

Die folgende Grafik zeigt einen Verlauf der gezillmerten Deckungsrückstellung im Vergleich

zur ungezillmerten:

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Crashkurs VersicherungsmathematikEinführung in die Tarifierung – Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung

Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung sind unterschiedliche versicherungsmathemati-

sche Verfahren, wenn diese Begriffe auch teilweise synonym verwendet werden.. Jedes kann

für sich bestehen, aber auch – wie in der Lebensversicherung – gemeinsam. Kapitaldeckungs-

verfahren ohne Anwartschaftsdeckung gibt es noch z. B. im Rahmen der betrieblichen

Altersversorgung; sie waren vor dem reinen Umlageverfahren auch in der gesetzlichen

Rentenversicherung üblich.

Bei der reinen Kapitaldeckung in der Rentenversicherung werden während der Aktivenzeit

für die Versicherten keine Deckungsrückstellungen (Anwartschaftsrückstellungen)

gebildet. Erst bei Renteneintritt wird für den Versicherten der Barwert seiner künftigen

Renten als Deckungsrückstellung zurückgestellt.

Da aber während der Aktivenzeit keine Rückstellungen gebildet wurden, muss der für diese

Kapitaldeckung erforderliche Betrag woanders herkommen. Bei der gesetzlichen Renten-

versicherung wurden die Kapitaldeckung für die Rentenverpflichtungen der jeweiligen

Neurentner durch Umlage aus Beiträgen aller Aktiven aufgebracht. Im reinen Kapital-

deckungsverfahren sind zwar alle laufenden Renten durch Kapital gedeckt. Es ist jedoch - wie

ein reines Umlageverfahren – demografieanfällig, weil z. B. der letzte Neurentner das gesamte

Kapital für seine Rente bei Rentenbeginn selbst aufbringen müsste.

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