工程數學

工程數學 第6章一階微分方程

本章內容 • 6.1 定義 • 6.2 一階一次微分方程的幾何意義 • 6.3 微分方程的成因 • 6.4 一階一次微分方程的解 • 6.5 分離變數法 • 6.6 齊次方程 • 6.7 將方程式約化為齊次型 • 6.8 線性微分方程工程數學第6章第301頁

本章內容（續） • 6.9 可約化為線性形式的微分方程 (伯努利方程) • 6.10 正合微分方程 • 6.11 定理 • 6.12 可約化為正合方程的微分方程 • 6.13 一階高次微分方程 • 6.14 p 可解的微分方程 • 6.15 y 可解的微分方程 • 6.16 x 可解的微分方程 • 6.17 克萊羅方程工程數學第6章第301頁

6.1 定義 (i)微分方程(differential equation) 是指，包含微分項或以微分為係數的方程式。比如 …(1) …(2) …(3) 工程數學第6章第302頁

6.1 定義 …(4) …(5) …(6) 工程數學第6章第302頁

6.1 定義 …(7) …(8) 都是微分方程。工程數學第6章第302頁

6.1 定義 (ii) 只有包含一個自變數及它的導數的微分方程式，稱為常微分方程(ordinary differential equation)。上面列出的式(1) 到式(6) 都是常微分方程。 (iii) 包含二個以上自變數及它們的偏導數的微分方程式，稱為偏微分方程(partial differential equation)。上面列出的式(7) 及式(8) 都是偏微分方程。工程數學第6章第302頁

6.1 定義 (iv) 微分方程中出現的最高階的導數，也稱為這個方程的階(order)。所以，式(1)、式(3) 及式(4) 都是一階的；式(2) 及式(6) 是二階的，而(5) 是三階的。工程數學第6章第302頁

6.1 定義 (v) 把微分方程表示為沒有根號或分數的形式時，最高階導數的次方稱為這個方程的次方 (degree)。所以，式(1)、式(2)、式(3) 及式(5) 都是一次的。式(4) 可以化為所以它是二次的。式(6) 可以化為所以它也是二次的。工程數學第6章第302-303頁

6.1 定義 (vi) 微分方程的解。變數之間不包含導數並且滿足這個微分方程的關係式，稱為這個方程的解。所以，如果y = f(x)是一個解，把這個函數及它的導數代入方程式中的y 及相關項，會得到恆等式。工程數學第6章第303頁

6.1 定義 • 例如，y = c1 cos x + c2 sin x是微分方程的解。所以工程數學第6章第302頁

6.1 定義 • 如果得到的解包含與方程的階數一樣多的可任意給定之常數，我們就稱這個解為這個方程的一般解(general [或complete] solution)。所以， y = c1 cos x + c2 sin x (包含二個任意常數c1, c2) 是二階微分方程的一般解。工程數學第6章第302頁

6.1 定義 • 把一般解中的未定常數取特別的值得到的結果，稱為這個方程的特解(particular solution)。 • 例如，微分方程的一般解為 y = c1ex + c1e-x，而y = ex－e-x或 y = ex是它的一個特解。 • 如果n 階微分方程的解中未定的常數個數少於n，我們也稱它為特解。工程數學第6章第302頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 • 假設 …(1) 是一階一次微分方程。 • 我們已經知道曲線在某一點的方向可以用切線來決定，因為它的斜率等於在這點的值。工程數學第6章第303頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 • 假設A0 (x0, y0)是平面上的任意一點，而表示式(1) 得到的曲線在點A0的斜率。在A0附近取另一點A1 (x1, y1) ，使得線段A0A1的斜率為m0。如果是式(1)得到的曲線在點A1的斜率，在A1附近取另一點A2 (x2, y2) ，使得線段A1A2的斜率為m1。如此下去，我們會得到一系列的點。工程數學第6章第303-304頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 • 如果這些點之間取得夠靠近，可以用來估計微分方程(1)由A0 (x0, y0)這點開始的解C : y =  (x)。C 上的任何一點以及這點的斜率都會滿足式(1)。從任何不在C 上的其他點開始，用上述方法可以用來估計另外一條曲線。如此得到的任何曲線都是微分方程(1) 的特解。而所有這樣得到的曲線形成的集合就是式(1) 的一般解。工程數學第6章第304頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 工程數學第6章第304頁

6.3 微分方程的成因 • 微分方程是把某些常數消去而形成的。如果要消去二個常數，除了原來的關係式外，必須要多二條方程式，因此會出現二階導數，所以得到的是二階微分方程。為了消去n 個常數，會出現n 階導數，所以會得到n 階微分方程。工程數學第6章第304頁

6.4 一階一次微分方程的解 • 並不是所有的一階一次微分方程都可以解。只有下列幾種情形(或可以化簡為這些情形)的微分方程，才能用標準的方法解。 (i) 變數可以分離的方程式。 (ii) 齊次方程式。 (iii) 線性方程式。 (iv) 正合方程式。工程數學第6章第307頁

6.5 分離變數法 • 如果一個一階一次微分方程可以把包含x 及dx 的項移到一邊，而另一邊只包含y 或dy，我們就說這些變數是可分離的。 • 這種方程的一般形式為f(x) dx + (y) dy = 0 • 兩邊同時積分會得到，這就是方程的一般解，其中c 是任意常數。工程數學第6章第308頁

6.5 分離變數法 • 註1：所有形式為f1 (x) 2(y) dx + f2 (x) 1(y) dy= 0的方程式都可以兩邊同時除以f2 (x) 2(y) 而變成上述的形式。所以，或 f(x) dx + 1(y) dy= 0 。工程數學第6章第308頁

6.5 分離變數法 • 註2：如果微分方程可以表示為 …(1) 為了分離變數，令ax + by + c = t，則或工程數學第6章第308頁

6.5 分離變數法 ∴ 式(1) 變成或或兩邊同時積分後，再把t 代回原來的變數。工程數學第6章第308頁

6.6 齊次方程 • 如果一個微分方程可以表示為 …(1) 其中f1(x ,y)及f2(x ,y)是每一項的x 及y 的總次方和相同之齊次函數，我們就稱這個方程為齊次微分方程。工程數學第6章第311頁

6.6 齊次方程 • 若f1(x ,y)及f2(x ,y)為r 階的齊次函數，則及 ∴式(1) 可以化簡為 ...(2) 工程數學第6章第311頁

6.6 齊次方程 • 取，則 y = vx而導數為代入式(2) 變成分離變數，積分後會得到包含v 及x 的解。把v 用代回就會得到方程式的解。工程數學第6章第311頁

6.7 將方程式約化為齊次型 • 有些微分方程可以表示為 …(1) 這類型的方程式可以用下列方法化為齊次的形式：工程數學第6章第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 • 情形I： • 取x = X + h, y = Y + k (h, k 為常數) 則 dx = dX, dy = dY • 代入式(1) 變成 …(2) 適當地選取常數h 及k 使得式(2) 是齊次的。工程數學第6章第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 • 也就是說，h 及k 要滿足ah + bk + c = 0及ah + bk + c= 0 ，則　　　　　　　　　　或工程數學第6章第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 • 因為故h 及k 不會是無窮大。 ∴式(2) 變成 • 這是變數為X 及Y 的齊次方程，可以取Y = vX然後求解。工程數學第6章第313-314頁

6.7 將方程式約化為齊次型 • 情形II：， ab－ab≠0而且上述方法不適用。 • 令變數m 滿足，則a =ma, b = mb 代入式(1) 變成可以取ax + by = t而求解。工程數學第6章第314頁

6.8 線性微分方程 • 如果一個方程式中的應變數及它的導數沒有平方或更高次出現，也沒有它們之間相乘的項，我們就說這個微分方程是線性的。 • 一階微分方程最一般的形式為 …(1) 這裡的P 與Q 是x 的函數或常數。 • 式(1) 也稱為萊布尼茲線性方程(Leibnitz’s linear equation)。工程數學第6章第316頁

6.8 線性微分方程 • 要解這種形式的微分方程，先對方程式兩邊同乘，得到的是或 • 兩邊同時積分，會變成這就是方程式的解。工程數學第6章第316頁

6.8 線性微分方程 • 註1：在線性微分方程的一般式中，的係數是1。如果方程式是，其中R、S 及T 是x 的函數或常數。必須要把兩邊同除R 才會得到一般式。工程數學第6章第316頁

6.8 線性微分方程 • 註2：在解式(1) 時乘的項稱為積分因子(簡寫為I.F.)，它可以把式(1) 左邊變成單一函數的導數。也就是說，而解是　　　　　　　　　　　。工程數學第6章第316頁

6.8 線性微分方程 • 註3：有時候要把x 當做應變數而y 為自變數，方程式才會是線性的。這時方程式的形式為，其中P 及Q 都是y 的函數或常數。在這種情形，積分因子要取而解是　　　　　　　　　　　。 • 註4：。工程數學第6章第316頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) (i) 伯努利方程(Bernoulli’s equation) 是指形式為 …(1) 的微分方程，其中P 及Q 都是x 的函數或常數。這一類的方程式可以用變數變換轉化為線性方程。把式(1) 兩邊同除yn，會得到 …(2) 工程數學第6章第319頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) • 令y1-n = z 微分為或 • 代入式(2) 變成或這是以z 為變數的線性微分方程。工程數學第6章第319頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) (ii) 在一般的情形，可以約化為線性方程的形式是 …(1) 其中P 及Q 都是x 的函數或常數。 • 令f(y) = z則代入式(1) 變成，是線性的。工程數學第6章第319-320頁

6.10 正合微分方程 • 如果一個微分方程是直接把原函數微分得到，而不經過任何相乘、消去或化簡等動作，我們就稱它是正合微分方程(exact differential equation) 。 • 所以，方程式 M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 是正合微分方程的條件是，它是直接把方程式u(x, y) = c微分而得到的。這個方程式u(x, y) = c就是它的原函數。換句話說， du = Mdx + Ndy 工程數學第6章第322頁

6.11 定理 • 微分方程Mdx + Ndy = 0是正合的，若且唯若 (i) 必要條件：如果du = Mdx + Ndy，則Mdx + Ndy = 0是正合的。但是 ∴ 工程數學第6章第322-323頁

而而 6.11 定理 • 觀察dx 及dy 的係數可知， ∴ 工程數學第6章第323頁

6.11 定理 • 但是 ∴ 這是正合的必要條件。工程數學第6章第323頁

而 6.11 定理 (ii) 充分條件： • 令　　　∴ 常數工程數學第6章第323頁

而 6.11 定理 • 但是把y 當成常數，兩邊同時對x 積分，會得到工程數學第6章第323頁

6.11 定理 ∴ 所以Mdx + Ndy是正合微分，而Mdx + Ndy = 0是正合微分方程。工程數學第6章第323頁

6.11 定理 • 註：因為 ∴ 積分會得到工程數學第6章第323頁

(N 中不包含x 的項) dy = c。 常數 6.11 定理 • 但是　　　　　　　而 f(x) = N中不包含x 的項所以 Mdx + Ndy = 0 的解為常數工程數學第6章第323頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 • 有些非正合微分方程在乘上某一個x 或y 的函數後，就會是正合的。這個函數稱為積分因子。 • 例如，考慮方程式y dx－x dy = 0 …(1) 這裡M = y 而 N = －x ，所以這個方程式不是正合的。工程數學第6章第325頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (i) 把方程式乘上，會得到或，是正合的。 (ii) 把方程式乘上，會得到或，是正合的。工程數學第6章第325頁

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