Persamaan Garis Singgung pada Kurva

1. h Q(x+h,f(x+h)) f(x+h)-f(x) g P(X,f(X)) x+h x l Persamaan Garis Singgung pada Kurva Perhatikan gambar di samping Gradiengarisladalah mQ= = = Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).

2. Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka gradien garis singgungnya adalah = Persamaan garis singgung pada kurva di titik dengan gradien m dimana Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titikP (x, f(x)) pada kurva adalah

3. Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x Jawab f(x) = y f(1) = 4 f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1 = 9 Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – 4 = 9 (x – 1) y = 9x – 5.

4. 2.Tentukanpersamaangarissinggung padakurva y = 3 + 2x – x2sejajardengangaris 4x + y = 3 Jawab 4x + y = 3 y= -4x + 3 m2= -4 y = 3 + 2x – x2 f’(x) = -2x + 2 x = 3 f(x) = 3 + 2(3)– (3)2 f(x) = 0 y = 0 m1 = m2 -2x+2 = -4 -2x = -6 x = 3 Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah y – 0 = -4 (x – 3) y = -4x + 12

5. LATIHAN SOAL • Diketahuikurva y = x2 – 3x + 4 dantitik A (3,4) • a. Tentukangradiengarissinggung di titikA • b. Tentukanpersamaangarissinggung di titikA • 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = –

6. Jawaban no 1 Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titikA (3,4) y = f(x) = x2 – 3x + 4 f’(x)= 2x – 3 • a. Gradien di titik A (3,4) • m = f’(x) = 2x – 3 • = 2.3 – 3 • = 6 – 3 • = 3 • b. Persamaangarissinggung di titik A (3,4) • y – y1 = m (x – x1) • y – 4 = 3 (x – 3 ) • y – 4 = 3x – 9 • y = 3x – 5

7. Jawaban no 2 y = 2x3tegak lurus terhadap garis y = – maka m1. m2 = -1 (– ) . m2 = -1 m2= 24 f’(x1) = 24 y = 2x3 f '(x)= 6x2 f '(x1)= 6x12 24 = 6x12 4 = x12 X1= ± 2. Untuk x1 = 2, f (x) =2x3 f (x1) = 2(23) = 16 Untuk x1 = - 2, f (x) =2x3 f (x1) = 2((-2)3) = - 16 Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – adalah y – f(x1) =f '(x1) (x – x1) y – 16 = 24 (x – 2) y =24x – 32 y – f(x1) =f '(x1) (x – x1) y – (-16) = 24 (x – (-2)) y + 16 = 24 (x + 2) y = 24x + 32

8. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu jika seiring pertambahan nilai x ke kanan, maka nilai f(x) semakin bertambah atau f ‘(x)>0. x2 > x1 f(x2) > f(x1) y=f(x) Fungsi Naik (a)

9. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan, maka nilai f(x) semakin berkurang atau f ‘(x)<0 x2 > x1 f(x2) < f(x1) y=f(x) Fungsi Turun (b)

10. Contoh Soal • 1. Tentukanpada interval manafungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan: • a. Fungsinaik • b. Fungsiturun • Jawab: • f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 • f’(x) = 3x2 + 18x + 15 • Syaratfungsinaikf’(x) > 0 • 3x2 + 18x + 15 > 0 • x2 + 6x + 5 > 0 • (x+1) (x+5) > 0 • Hargabatas • x = -1 , x = -5 • Jadifungsinaikpada interval • x < 5 atau x > -1

11. Nilai Stationer Perhatikangrafikfungsi y = f(x) disamping. Padatitik A,B,C dan D denganabsisberturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakannilai – nilaistasioner.

12. Jenis-Jenis Stasioner Nilaistasionermaksimum Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsiyang demikiandikatakanfungsi f(x) mempunyainilaistasionermaksimum f(a) pada x = a dantitik (a,f(a)) disebuttitikbalikmaksimum.

13. 2. Nilaistasionerbelok a. Nilai stasioner di titik B Pada: x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 Fungsiinimempunyainilaistasionerbelokturun f(b) pada x = b dantitik (b,f(b)) disebuttitikbelok.

14. b. Nilai Stasioner di titik D Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d Fungsiinimempunyainilaistasionerbelokturun f(d) pada x = dantitik (d,f(d)) disebuttitikbelok.

15. 3. Nilaistasionerminimum Pada: x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0 Fungsiinimempunyainilaistasioner minimum f(e) pada x = e dantitik (e,f(e)) disebuttitikbalik minimum.

16. Contoh 1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x Jawab : f(x) = x2 + 2x f’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

17. LATIHAN SOAL 3. Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari 4. Diketahuif(x) = - x3 + 3x2 - 1 a). Tentukantitikstasionernya b). Tentukan interval fungsinaikdan interval fungsiturun

18. Jawaban no 3 f ' (x) = 2x - x2 Interval f(x) naik f(x) naik jika f’(x) > 0 2x – x2 > 0 x (2 – x) > 0 (x) naik pada interval : 0 < x < 2 b. Interval f(x) turun f(x) turun jika f’(x) < 0 2x – x2 < 0 x (2 – x) < 0 f(x) turunpada interval : x < 0 atau x > 2

19. c. Interval f(x) stasioner f(x) stationer jika f’(x) = 0 2x – x2 = 0 x (2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2 Untuk x = 0 maka nilai y y y = 2 Untuk x = 2 maka nilai y y y = 2 + 4 - y = Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,

20. Jawaban no 4 • a. Untuk mencapai titik stasioner , maka f’(x) = 0 • f(x) = - x3 + 3x2 – 1 • f’(x) = -3x2 + 6x • -3x2 + 6x = 0 • (-3x1 + 0)(x2 – 2) = 0 • Diperoleh : x1 = 0 dan x2 = 2 • Sehingga titik stasioner yang didapat adalah • x1 = 0  f(0) = -(0)3 + 3(0)2 – 1 • f(0) = -1 • jadi titik stasioner yang pertama = (0,1) • x2 = 2  f(2) = -(2)3 + 3(2)2 – 1 • f(2) = 3 • jadi titik stasioner yang kedua = (2,3)

21. b. Tentukaninterval fungsinaikdan interval fungsiturun • Didapatkan x1 = 0 dan x2 = 2, jadi daerah asal Df terbagi menjadi tiga interval : • - - - - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - - - • Interval I 0 Interval II 2 Interval III Interval I = misalkan ambil x = -1 , f’(x) = -3x2 + 6x f’(-1) = -3(-1)2 + 6(-1) = -9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. Interval II = misalkan ambil x = 1 f’(x) = -3x2 + 6x f’(1) = -3(1)2 + 6(1) = 3 f’(x) > 0 ,maka interval II naik diberi tanda (+) positif Interval II = misalkan ambil x = 3 f’(x) = -3x2 + 6x f’(3) = -3(3)2 + 6(3) = - 9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. Kesimpulannya: f(x) naikpada interval 0 < x < 2 f(x) turunpada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞

22. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai berikut: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat. 2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya. 3. Tentukan beberapa titik pada kurva. 4. Gambarlah kurva.

23. Gambarlah grafik Jawab Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 y Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 y y y = -5 titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)

24. Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya. Dari y Maka Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga : Untuk = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x1= 3 atau x2 = 4 Untuk x1 = 3 f(x) f(x) = Untuk x2 = 4 f(x) f(x) = f(x) naik jika f’(x) > 0, maka : x2 - 7x +12 > 0 (x - 3)(x - 4) > 0 x < 3 atau x > 4 f(x) turun jika f’(x) < 0, maka : x2 - 7x +12 < 0 (x - 3)(x - 4) < 0 3 < x < 4

25. Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu Langkah 4 : Gambarlah grafiknya

26. LATIHAN SOAL Buatlah grafiknya dari persamaany = f(x) = 3x – x3

27. Jawab: • i. Grafikmemotongsumbu x, bila y = 0. • y= 0 = 3x – x3 • 0= x (3 – x2) • 0 = x (1 - x ) (1 + x) • ii. memotongsumbu y, jika x = 0 • y = 3x – x3 • y = 3.0 - 03 • y = 0 • Syaratstasioneradalah : f’ (x) = 0 • f’ (x) = 3 – 3x2 • =(1 - x 2) • = 3 (1 – x) (1 + x) • x = 1, x = -1 • untukx = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 • x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 • nilaistasionernya : y = 2 dan y = -2 • titikstasioner : (1,2) dan (-1,-2) titikpotongsumbu x adalah (0,0), (1,0), (-1,0) titikpotongsumbuyadalah (0,0)

28. c. titik bantu d. gambarlah grafiknya