Nanophysique introduction physique aux nanosciences
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NANOPHYSIQUE INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES. 4. NANOTUBES DE CARBONE. Pierre GASPARD. 2011-2012. diamant. DIAGRAMME DE PHASE DU CARBONE. graphite. Nano materials Carbon nanotubes(CNT) (Iijima Nature 354 56 (1992)). Interpretation of the images. Electron microscope image.

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NANOPHYSIQUE INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES

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Nanophysique introduction physique aux nanosciences

NANOPHYSIQUEINTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES

4. NANOTUBES DE CARBONE

Pierre GASPARD

2011-2012


Diagramme de phase du carbone

diamant

DIAGRAMME DE PHASE DU CARBONE

graphite


Nanophysique introduction physique aux nanosciences

  • Nano materials

  • Carbon nanotubes(CNT) (Iijima Nature 354 56 (1992))

Interpretation of the images

Electron microscope image


Nanophysique introduction physique aux nanosciences

Current-voltage characteristics of CNT (S.J. Tans et al.

Nature 386 474 (1997))

Electron microscope image of

the system

・thin filament: Single-wall CNT

・hills: electrodes

a.Nonlinear conductance

(Coulomb staircase)

b.Controlling the number

of electrons


Nanophysique introduction physique aux nanosciences

Young’s interference of electrons from MW nanotubes

(C. Oshima et al. PRL88 038301 (2002))

fringe pattern in field

emission microscopy

field

emission sites

nanotube head


Orbitales leurs hybridations

Structure électronique d’un atome de carbone = 1s2 2s2 2p2

coeur = 1s2 4 électrons de valence = 2s2 2p2

Hybridation sp:

acétylène: HCCH liaison triple: 1 lien s + 2 liens p

1 lien s = orbitale moléculaire sp +sp

2 liens p = orbitales moléculaires 2py , 2pz

sp = hybridation 2s + 2px

ORBITALES & LEURS HYBRIDATIONS

Hybridation sp2:

polyacétylène: (HCCH)n liaison double: 1 lien s + 1 lien p

1 lien s = orbitale moléculaire sp2 +sp2

1 lien p = orbitale moléculaire 2pz

sp2 = hybridation 2s + 2px + 2py

Hybridation sp3:

méthane: CH4 liaison simple: 1 lien s

1 lien s = orbitale moléculaire sp3 +sp3

sp3 = hybridation 2s + 2px + 2py + 2pz


Graphene 1

graphène = un seul feuillet de graphite

GRAPHENE 1

Structure électronique d’un atome de carbone = 1s2 2s2 2p2

coeur = 1s2 4 électrons de valence = 2s2 2p2

Chaque atome de carbone offre 3 orbitales atomiques sp2 et une orbitale 2pz

Les orbitales atomiques sp2 forment les liens s

Les orbitales atomiques 2pz forment les liens p


Graphene 2

réseau

zone de Brillouin

GRAPHENE 2

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Graphene 3

GRAPHENE 3

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Nanotube 1

NANOTUBE 1

« armchair » (n,n)

« zigzag » (n,0)

« chiral » (n,m)


Nanotube 2

réseau

zone de Brillouin

NANOTUBE 2

« armchair » (n,n)

liensπ

« zigzag » (n,0)

liensσ

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Reseau du nanotube

vecteur chiral:

périmètre:

diamètre:

RESEAU DU NANOTUBE

vecteur de translation:

parallèle à l’axe du nanotube et

perpendiculaire au vecteur chiral

nombre d’hexagônes dans la cellule unité:

nombre d’atomes de carbone:

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Bandes d energie du nanotube

vecteurs de base du réseau réciproque:

BANDES D’ENERGIE DU NANOTUBE

Bandes d’énergie du nanotube à partir de la bande d’énergie du graphène:

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Nanotubes semiconducteurs

K

K

Bande d’énergie du graphène

NANOTUBES SEMICONDUCTEURS

K

K

Bandes d’énergie semiconductrices pour le nanotube

K

K

sections des conditions

aux bords périodiques

K

K

K

K

← niveau de Fermi: E = 0


Nanotubes metalliques

K

K

Bande d’énergie du graphène

NANOTUBES METALLIQUES

K

K

Bandes d’énergie métalliques pour le nanotube

K

K

sections des conditions

aux bords périodiques

K

K

K

K

← niveau de Fermi: E = 0


Nanotubes armchair n n

NANOTUBES « ARMCHAIR » (n,n)

bande d’énergie du graphène:

bandes d’énergie du nanotube:

métallique car pas de « gap »

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Nanotubes zigzag n 0

NANOTUBES « ZIGZAG » (n,0)

bandes d’énergie du nanotube:

semiconducteur si n n’est pas un multiple de 3

métallique si n est un multiple de 3

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Nanotube 3

bandes d’énergie

NANOTUBE 3

« armchair » (5,5)

« zigzag » (9,0)

« zigzag » (10,0)

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Nanotube 4

DoS

« zigzag » (10,0)

NANOTUBE 4

« zigzag » (9,0)

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus,

Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)


Doubles nanotubes de carbone

Feuillets de graphène enroulés sur eux-mêmes

Deux exemples de nanotubes à double paroi (DWNT):

6.1 nm

DOUBLES NANOTUBES DE CARBONE

armchair-armchair DWNT:

(4,4)@(9,9)

N1 = 400 N2 = 900

zigzag-armchair DWNT:

(7,0)@(9,9)

N1 = 406 N2 = 900


Moteur axe en nanotubes de carbone

Moteur à axe en nanotubes de carbone

A. M. Fennimore, T. D. Yuzvinsky, Wei-Qiang Han, M. S. Fuhrer, J. Cumings & A. Zettl, Nature 424 (2003) 410.

Fréquence de rotation ~ Hertz

300 nm

Zettl, Berkeley, USA


Nanotubes de carbone coulissants j servantie p gaspard phys rev lett 91 2003 185503

Nanotubes de carbone coulissantsJ. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503

période d’oscillation ~ 5-10 ps

distance intertube ~ 0, 34 nm

~1 nm


Frottement dans les nanotubes de carbone

FROTTEMENT DANS LES NANOTUBES DE CARBONE

J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503

J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. B 73 (2006) 125428

3.8 nm

~ 800 atomes de carbone distance intertube ~ 0.34 nm

période des oscillations ~ 5-10 ps


Hamiltonian dynamics of carbon nanotubes

Hamiltonian microscopic dynamics:

Tersoff-Brenner potential inside each carbon nanotube

Lennard-Jones potential between the two nanotubes

HAMILTONIAN DYNAMICS OF CARBON NANOTUBES

molecular dynamics: velocity Verlet algorithm

microcanonical temperature:

two systems of double-walled nanotubes (DWNT):

6.1 nm

armchair-armchair DWNT:

(4,4)@(9,9)

N1 = 400 N2 = 900

zigzag-armchair DWNT:

(7,0)@(9,9)

N1 = 406 N2 = 900


Translational motion reduced description

relative position of the centers of mass along the axis of the system:

TRANSLATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION

relative mass of the system:

time scales:

correlation time: inverse of Debye vibrational frequency:

period of oscillations:

(3) relaxation time:

one-dimensional effective Newtonian dynamics:

potential force friction force Langevin-type fluctuating force


Translational motion effective potential

effective potential due to the van der Waals interaction between the nanotubes:

TRANSLATIONAL MOTION: EFFECTIVE POTENTIAL

armchair-armchair DWNT:

(4,4)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT:

(7,0)@(9,9)


Friction entre deux nanotubes de carbone

force de friction cinétique

fonction d’autocorrélation de la force:

FRICTION ENTRE DEUX NANOTUBES DE CARBONE

coefficient de friction:

z = G

Kirkwood (1946);

Jarzynski (1993);

Berry & Robbins (1993)

(5,0)@(15,0)

N1 = 60 atomes l1 = 1,1 nm

N2 = 240 atomes l2 = 1,5 nm

T = 300 K

J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503


Mouvement brownien processus de langevin 1

MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN 1

Particule brownienne en suspension dans un liquide: rayon a = 1 mm.

équation de Newton pour son mouvement:

1) force due à un potentiel extérieur:

2) force due à la viscosité du liquide environnant:

coefficient de friction en termes de la viscosité h: formule de Stokes

3) force due aux collisions avec les molécules environnantes:

001

force entre la particule brownienne et la ième molécule:

La force due aux collisions est aléatoire.

L’équation de Newton avec cette force aléatoire ou stochastique

est appelée équation de Langevin.

101

011

111


Mouvement brownien processus de langevin 2

MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN 2

La force due aux collisions est aléatoire.

On peut invoquer le théorème central limite selon lequel

une somme de nombreuses variables est une distribution gaussienne.

En particulier, sa moyenne statistique s’annule:

Par ailleurs, les molécules se déplacent si vite que la force à un instant donné est

essentiellement indépendante de celle à un instant suivant. Ceci se traduit en disant que la

fonction de corrélation statistique de la force est égale à zéro dès que t ≠ t’

Néanmoins, l’intégrale sur le temps de la fonction de corrélation ne peut s’annuler car si on

intègre sur le temps l’équation de Newton sans force extérieure on obtient

001

101

011

111


Equations de langevin et de fokker planck

EQUATIONS DE LANGEVIN ET DE FOKKER-PLANCK

Equation de Langevin:

Système d’équations différentielles stochastiques:

001

101

011

Equation de Fokker-Planck:

111


Equation de fokker planck

EQUATION DE FOKKER-PLANCK

Equation de Fokker-Planck:

solution stationnaire d’équilibre:

vérification:

001

Relation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité):

101

011

111

Equation de Fokker-Planck:


Equation de langevin

EQUATION DE LANGEVIN

Equation de Langevin:

Relation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité):

Cas limite avec grand frottement:

001

101

011

111


Pendule

PENDULE

Equation de Langevin:

Période des oscillations:

Temps de relaxation:

Pendule sous-amorti: effets inertiaux dominants: oscillations amorties

Pendule sur-amorti: effets inertiaux négligeables: oscillations absentes

(systèmes biologiques)

001

101

011

111


Role des fonctions de correlation temporelle

ROLE DES FONCTIONS DE CORRELATION TEMPORELLE

Mouvement brownien: friction et diffusion

Friction: formule de Kirkwood [J. G. Kirkwood, J. Chem. Phys. 14 (1946) 180]

entre le coefficient de friction et la fonction d’autocorrelation de la force fluctuante:

Diffusion: formule de Green-Kubo

[M. S. Green, J. Chem. Phys. 20 (1952) 1281; 22 (1954) 398;

R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn 12 (1957) 570]

entre le coefficient de diffusion et la fonction d’autocorrelation de la vitesse:

001

101

011

111


Formules d einstein helfand et de green kubo diffusion

FORMULES D’EINSTEIN-HELFAND ET DE GREEN-KUBO:DIFFUSION

Formule d’Einstein-Helfand:

Formule de Green-Kubo:

Connection:

001

101

011

111


Translational friction in carbon nanotubes

dynamic friction force:

Kirkwood (1946);

Jarzynski (1993);

Berry & Robbins (1993)

friction coefficient:

TRANSLATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES

damping of the amplitude

over a half-period:

force-force correlation function:

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)

initial position

current position


Translational dynamics friction in carbon nanotubes

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

damping rates:

position:

energy:

period:

TRANSLATIONAL DYNAMICS & FRICTION IN CARBON NANOTUBES

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)


Fluctuations friction in the translational motion

Langevin-type stochastic equation:

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

fluctuating force:

Gaussian white noise (|t- t’| >> tC):

FLUCTUATIONS & FRICTION IN THE TRANSLATIONAL MOTION

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)

Fokker-Planck equation:

equilibrium solution:

very small Brownian motion of the position:


Rotational motion reduced description

rotation around the axis of the system: equations for their angular velocity:

ROTATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION

relative moment of inertia:

kinetic energy of rotation:

Langevin-type stochastic equation:

friction torque fluctuating torque

Langevin-type fluctuating torque:

Gaussian white noise (|t- t’| >> tC):


Rotational friction in carbon nanotubes

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

stochastic equation:

mean angular velocity

diffusion coefficient:

ROTATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES

mean rotational kinetic energy

relaxation time:

armchair-armchair

DWNT (4,4)@(9,9)

autocorrelation function

zigzag-armchair

DWNT (7,0)@(9,9)

mean square displacement


Couplage entre processus dissipatifs

COUPLAGE ENTRE PROCESSUS DISSIPATIFS

Equations de Langevin de processus couplés (L. Landau & E. Lifchitz, Physique statistique):

K = énergie cinétique

formule de Kirkwood pour calculer les coefficients de frottement à partir de la fonction d’autocorrélation des forces:

relations de réciprocité d’Onsager:

résultant de la microréversibilité, i.e.,

de la symétrie sous renversement du temps

de la dynamique microscopique

001

101

011

111

stationnarité

commutativité

microréversibilité


Couplage translation rotation 1

Energie cinétique d’un mouvement de translation à la vitesse v couplé à un mouvement

de rotation à la vitesse angulaire w

COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION 1

Impulsions généralisées correspondantes:

Equations de Langevin des processus couplés:

force et couple de force fluctuants = bruits blancs gaussiens pour

001

101

011

111

relation de réciprocité d’Onsager:


Couplage translation rotation 2

Couplage des mouvements de translation et de rotation:

COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION 2

formules de Kirkwood pour les coefficients de frottement:

Symétrie de parité:

Le force F(t) est un vecteur;

Le couple de force N(t) est un pseudo-vecteur.

001

Système achiral (symétrie de parité):

(principe de Curie)

101

011

Système chiral (pas de symétrie de parité): est possible.

111

Le coefficient de couplage ne peut être non-nul que si un des nanotubes est chiral.


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