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TRABAJO NUMEROS COMPLEJOS JUAN CAMILO GOMEZ CRUZ 11-02 FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA
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NÚMEROS COMPLEJOS ESTUDIANTE: Juan Camilo Gómez Cruz GRADO:11-02 PRESENTADO A: Prof. Luz Eneida Daza FECHA: 10/04/2014
INTRODUCCIÓN. • Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. • Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
TABLA DE CONTENIDO • 1)¿Cómo y dónde surgen los números complejos? • 2) ¿Qué es la unidad imaginaria? • 3) ¿Se puede operar con ellos? Cita ejemplos. • 4)Estos números ¿cómo se expresan en forma polar?¿y trigonométrica? • 5) ¿Cómo se representan en un sistema de ejes cartesianos? • 6) Plantea, como ejemplo, ecuaciones cuya solución sean números complejos.
1. ¿CÓMO Y DÓNDE SURGEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS? El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las Ecuaciones Cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friederich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en Algebra,teoría de los números ,Ecuaciones diferenciales,Geometría diferencialGeometría no euclidea,Análisis Complejo,análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
2. QUE ES LA UNIDAD IMAGINARIA • Unidad imaginaria :Launidad imaginaria es el número y se designa por la letra i. • Números imaginarios: Un número imaginario se denota por bi, donde:b es un número real i es la unidad imaginaria, Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0
3. ¿SE PUEDE OPERAR CON ELLOS? CITA EJEMPLOS. Se pueden realizar diferentes operaciones como LA SUMA Y DIFERENCIA de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b +d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i • Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1. (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i • División de números complejos El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
4.ESTOS NÚMEROS ¿CÓMO SE EXPRESAN EN FORMA POLAR?¿Y TRIGONOMÉTRICA? • Forma trigonométrica a + bi = rα = r (cos α + i sen α)
5) ¿CÓMO SE REPRESENTAN EN UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS? Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. • El eje X se llama eje real. • El eje Y se llama eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: 1 Por el punto (a, b), que se llama su afijo.
6) PLANTEA, COMO EJEMPLO, ECUACIONES CUYA SOLUCIÓN SEAN NÚMEROS COMPLEJOS. • 5-x+4i=y 16+ 5i=x+yi 5 - x +4i- y = 0 16+ 5i- x - yi= 0 • RESTA: -11 - i - y (1+i) =0 y (1+i) = -11 - i y = (-11 - i)/ (1+i) y = (-11 - i) (1-i)/ (1+i)(1-i)
