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E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE

Atelier «Imagerie Multidimensionnelle & Observatoire Virtuel» Observatoire de Nice - 23/24 Octobre 2006 La mission SMOS de l' ESA : de la radioastronomie à la télédétection spatiale   et chemin inverse. E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE

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E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE

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  1. Atelier «Imagerie Multidimensionnelle & Observatoire Virtuel»Observatoire de Nice - 23/24 Octobre 2006La mission SMOS de l'ESA:de la radioastronomieà la télédétection spatialeet chemin inverse E. ANTERRIEU (OMP-LAT2) 14, avenue Edouard Belin 31400 TOULOUSE - FRANCE Eric.Anterrieu@ast.obs-mip.fr

  2. Télédétection par Imagerieà Synthèse d’Ouverture PLAN Modélisation de l’instrument Grilles d’échantillonnage Problème inverse Simulations numériques •eesa 2nd opportunity mission Le projet SMOS http://www.esa.int/export/esaLP/smos.html

  3. Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes. Modélisation de l’instrument g b u= o i LO  T T   0 0 La synthèse d’ouverture

  4. Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes. Modélisation de l’instrument b u= o LO  T T   0 0 La synthèse d’ouverture

  5. Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes. Modélisation de l’instrument    n d d² n 4 n3d La synthèse d’ouverture synthèse...

  6. Modélisation de l’instrument Équation de base F: gain des antennes r : fringe washing V : visibilités T : température   kl 1-||||2 -2jukl· * Fk()Fl() ukl· ~ e 1 Vkl d T()rkl(- ) fo k ||||2 1 O bkl x l bkl y   ukl= o    1  z 2 ~

  7. Modélisation de l’instrument Équation de base r(t)  1, rend compte des effets de décorrélation spatiale :   kl 1-||||2 -2jukl· * Fk()Fl() ukl· ~ e 1 Vkl d T()rkl(- ) fo k ||||2 1 O bkl x l bkl y   ukl= o    ~ r(t) 1 n=23  z 2 ~ antennes par bras n=3 t = (u·)/fo [nsec]

  8. Modélisation de l’instrument Opérateur de modélisation G: opérateur de modélisation V : visibilités T : température   kl 1-||||2 -2jukl· * ~ Fk()Fl() ukl· Vkl d e T()rkl(- ) 1 fo k ||||2 1 O bkl x l bkl y   ukl= o    1  z 2 Vkl=(GT)kl

  9. Modélisation de l’instrument Données et inconnues 10 antennes 45 visibilités 256 pixels   1-||||2 kl -2jukl· * Fk()Fl() ukl· ~ e 1 Vkl d T()rkl(- ) fo ||||2 1     H  36 fréquences Vkl=(GT)kl

  10. Modélisation de l’instrument Données et inconnues 10 antennes 45 visibilités 256 pixels   1-||||2 kl -2jukl· * Fk()Fl() ukl· ~ e 1 Vkl d T()rkl(- ) fo ||||2 1     Vkl=(GT)kl H  36 fréquences

  11. Modélisation de l’instrument 2 j (,) o F(,) = D(,) e D(,)=Do cos2n cos2 +cos2m sin2 (,)=[Lxsin+Lzx(1-cos)]cos2+[Lysin+Lzy(1-cos)]sin2 2 (,) D(,) o Gains des antennes

  12. Modélisation de l’instrument + -2jft  * ~ rkl(t) =Hk(f-fo)Hl(f-fo)e df  - j[+2(f-f)] e f-f  H(f) =rect[] 1 2 f f f f f-f/2 f+f/2  f , f  Filtres des récepteurs

  13. Modélisation de l’instrument Cette modélisation est celle du démonstrateur MIRAS (10+1 antennes, fo = 1.415 GHz, d = 0.875o) construit par ASTRIUM pour le compte de l’ESA. Il a été testé avec avec succès sur le site de l’INRA à Avignon et a volé à bord d’un Hercule C130 de la Royal Danish Air Force. La modélisation de SMOS (69 antennes et récepteurs) n’est pas encore arrêtée… Le démonstrateur MIRAS

  14. Modélisation de l’instrument L’interféromètre ALMA …des problèmes à résoudre comparables à ceux de l’interféromètre ALMA, mais avec les contraintes du spatial en plus: antennes, récepteurs, corrélateurs…!

  15. Modélisation de l’instrument SMOS ALMA nombre d’antennes fréquence longueur d’onde diamètre des antennes largeur du lobe primaire distance minimale champ synthétisé distance maximale résolution angulaire 69 1.415 GHz 21.2 cm 18.5 cm 70° 18.5 cm (1000 Km) 82° 6.75 m (50 Km) 3° 64 31 à 950 GHz 1 cm à 300µm 12 m 3’ à 8’’ 15 m 2’ à 4’’ 150 m à 18 Km 12’ à 0.5’ (compact) 0.13’ à 0.01’ (extended) (Al WOOTTEN)

  16. Modélisation de l’instrument G n ’est pas une transformée de FOURIER = + + T 300K 185K 300K 100K 78%||T||² 20%||T||² 2%||T||² = + + ^ T =UT ^ ^ ^ 78%||T||² 20%||T||² 2%||T||² = + + V=GT 75%||V||² 21%||V||² 0.1%||V||²

  17. Grilles d’échantillonnage Domaine de FOURIER Instrument u(2) u(1) u = d/o d H

  18. Grilles d’échantillonnage Domaine de FOURIER Instrument u(2) u(1) d u = d/o

  19. Grilles d’échantillonnage Domaine de FOURIER Instrument U(2)=nu(2) u U(1)=nu(1) d u

  20. Grilles d’échantillonnage Domaine de FOURIER Domaine spatial U(2)=nu(2) (2)=n(2) u (1)=n(1) U(1)=nu(1) u   (i)U(j)(i)u(j) i,j u = u = 2/3 avec u=nu et =n

  21. Grilles d’échantillonnage Quelle structure de données pour un échantillonnage hexagonal ? Domaine de FOURIER U(2) U(1)

  22. Grilles d’échantillonnage n² pixels sur une grille hexagonale n² pixels sur une grille cartésienne q2 ’ ’ q2 q1 q1 q’=qmodn Domaine de FOURIER

  23. Grilles d’échantillonnage Quelle structure de données pour un échantillonnage hexagonal ? Domaine spatial (2) (1)

  24. Grilles d’échantillonnage n² pixels sur une grille hexagonale n² pixels sur une grille cartésienne p2 p1 ’ ’ p2 p1 p’=pmodn Domaine spatial

  25. Grilles d’échantillonnage Quel algorithme pour calculer la transformée de FOURIER discrète ? réseaux réciproques: (i)U(j)=(i)u(j)= i,j q2 p2 p q   -2j ^ ^ n e p q= q= p p p p -2j puq ^ uq e q p p1 q1 Domaine de FOURIER Domaine spatial uq= q1u(1)+ q2u(2) p= p1 (1)+ p2 (2)

  26. Grilles d’échantillonnage FFT Quel algorithme pour calculer la transformée de FOURIER discrète ? q2 p2 p q  -2j ^ n e p q= p p p ^ uq q p1 p’ q’ -2j ^ n e ’ ’ ’ ’ q2 q1 p2 p1 q1 ’ ’ p’ q’=  q’=qmodn p’=pmodn p’ Domaine de FOURIER Domaine spatial

  27. Grilles d’échantillonnage Interpolation Les fonctions échelles translatées ep() forment un ensemble de fonctions orthogonales centrées sur le pixel p : ep() = e0(-p) avec p= p1 (1)+ p2 (2) Toute fonction  se décompose alors naturellement dans cette base : e0() joue donc le rôle d’une fonction d’interpolation.  () =p ep() p p2 p p p1

  28. Grilles d’échantillonnage Interpolation fonction échelle cartésienne 2 1 e0()= sinc sinc   1 2

  29. Grilles d’échantillonnage Interpolation fonction échelle hexagonale 232 32 32 31+32 31-32 1+32 1-32 sin sin 3 3 sinc sinc 3 3 e0()= + - 6 6 3 3 2 sinc 3 3 21 sinc 3 1 2

  30. Grilles d’échantillonnage Interpolation Les cartes de températures reconstruites dans le repère Oxyz attaché à l’interféromètre (cosinus directeurs: 1=sincos et 2 =sinsin) sur une grille d’échantillonnage hexagonale devront être projetées à la surface de la Terre. O x y  1  z 2

  31. Grilles d’échantillonnage Apodisation En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites. d o 2 = d 3

  32. Grilles d’échantillonnage Apodisation En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.

  33. Grilles d’échantillonnage Apodisation En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.

  34. Grilles d’échantillonnage Apodisation Des ‘‘facteurs de mérite’’ caractérisent les performances des différentes réponses impulsionnelles apodisées en termes de résolution spatiale et de sensibilité radiométrique.

  35. Grilles d’échantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… O x y  1  z 2

  36. Grilles d’échantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… O x y  1  z 2

  37. Grilles d’échantillonnage Apodisation La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre… …un problème semblable à celui du HST avant COSTAR!

  38. Problème inverse G n ’est pas une transformée de FOURIER nombre de données<nombre d’inconnues   1-||||2 kl -2jukl· * Fk()Fl() ukl· ~ e 1 Vkl d T()rkl(- ) fo ||||2 1     Vkl=(GT)kl

  39. Problème inverse Qu’est ce qu’un problème mal posé? J. HADAMARD (1902), R. COURANT (1962): “A problem satisfying the requirements of existence, uniqueness, and continuity is said to be well-posed.’’ Comment régulariser un problème? Le principe général des méthodes de régularisation est d’introduire de l’information a priori pour compenser la perte d’information dans le processus d’imagerie. Qu’est ce qu’un problème inverse? TGT=V problème direct problème inverseT=G-1VV

  40. Problème inverse moindres-carrés min||V-GT||2 TRn2 10-16 10-12 10-8 10-4 100 valeurs propres de G*G G*G T=G*V Tr= G+V with G+=(G*G)-1G* G*G est singulière

  41. Problème inverse régularisation de TIKHONOV 10-16 10-12 10-8 10-4 100 min||V-GT||2+||T||2 TRn2 R valeurs propres de G*G +I (G*G +I)T=G*V Tr= G+V avec G+=(G*G +I)-1G*    est le paramètre de régularisation de LAGRANGE

  42. Problème inverse norme minimale min||T||2 TRn2 V=GT 10-4 10-3 10-2 10-1 100 Tr= G+V with G+=viuiG=iuivi(SVD) T T        G*(GG*)-1 im im i1 i1  Tr= G+V with G+=viuiGm=iuivi(TSVD) T T m m m1  1 1  i i valeurs singulières de G m joue le rôle d’un paramètre de régularisation

  43. Problème inverse bande-passante limitée  min||V-GT||2 TRn2  (I -PH) T= 0  10-4 10-3 10-2 10-1 100 ^ A*A TH= A*V with A = GU*Z valeurs singulières de A Tr= U*ZA+V with A+=(A*A)-1A* PH= U*ZZ*U joue le rôle d’un paramètre de régularisation

  44. Problème inverse Choix du paramètre de régularisation G+ m 32 30 10-1 28 102 10-2 26 A+ 23 101 10-3 ||V-GTr|| 10-4 100 20 G+ m=18  10-5 16 12 4 2 =10-6 10-7 10-1 10-8 3100 3200 3300 3400 3500 ||Tr||

  45. Problème inverse Propagation des erreurs aléatoires L’opérateur de reconstruction R+ reliant les visibilités V à la carte de température reconstruite Tr peut ici inclure des post-traitements (apodisation, …). !||R+||f croit avec Nv. E[||V||2] ||V|| ||R+||f = ||Tr|| ||V|| Nv E[||Tr||2] ||Tr||

  46. Problème inverse Propagation des erreurs aléatoires Des artefacts de reconstruction dans Tr peuvent être identifiés, du point de vue qualitatif et quantitatif, au cours d’une analyse d’erreurs complète impliquant les vecteurs singuliers Tk de l’opérateur R (en particulier ceux associés aux plus petites valeurs singulières). k Tr=(Tk|Tr)Tk

  47. Problème inverse Mise en œuvre numérique CALL A(T,V) CALL G(T,V) SVD TSVD V = A.T V = G.T INV INV V = A.T V = G.T CALL A(T,V) CALL G(T,V) A*A 7373 256256 G*G bande limitée TIKHONOV / norme minimale A 9173 91256 G

  48. Problème inverse En résumé... bande limitée TIKHONOV norme minimale min||V-GT||2 Tr=U*WUG+V   min||T||2 min||V-GT||2+||T||2   TRn2  Tr=U*WUG+V TRn2 TRn2  (I-PH)T= 0 m  V=GT (G*G+I)T=G*V ^ A*ATH=G*V Tr=U*WZA+V Nv G+=(G*G+I)-1G* avec R A+=(A*A)-1A* avec A= GU*Z  G+=viui avec m1  1 T m i i=m

  49. Problème inverse Avantages et inconvénients... apodisation resampling paramètre de régularisation nombre d’inconnues complexité de l’inversion stabilité de l’inversion TIKHONOV norme minimale bande limitée

  50. Simulations numériques carte de température originale, à son plus haut niveau de résolution (utilisée pour simuler les visibilitiés complexes) carte de température à reconstruire, au plus haut niveau de résolution de l’instrument

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