第二章 命题逻辑的等值和推理演算

1. 第二章 命题逻辑的等值和推理演算

2. 关于命题逻辑的两个有趣例子 例1：在举重比赛中，有俩名副裁判，一名主裁判。当两名以上裁判（必须包括主裁判在内）认为运动员举杠铃合格，按电钮，才裁决合格。试用与非门设计该电路。 解：设主裁判为变元A，副裁判分别为变元B和变元C；按电钮为1，不按为0。表示合格与否的灯为Y，合格为1，否则为0。 （1）根据逻辑要求列出真值表。

3. 真 值 表

4. （2）由真值表写出表达式： （3）化简： 这个小例子涉及到简单命题、复合命题、逻辑联结词的定义、运算优先权、联结词的完备集(例如“与非联结词”构成一个完备集)等等。我们都将介绍到。

5. （4）画出逻辑电路图：

6. 例2：设计一个楼上、楼下开关的控制逻辑电路来控制楼梯上的路灯。使之在上楼前，用楼下开关打开电灯，上楼后，用楼上开关关灭电灯；或者在下楼前，用楼上开关打开电灯，下楼后，用楼下开关关灭电灯。例2：设计一个楼上、楼下开关的控制逻辑电路来控制楼梯上的路灯。使之在上楼前，用楼下开关打开电灯，上楼后，用楼上开关关灭电灯；或者在下楼前，用楼上开关打开电灯，下楼后，用楼下开关关灭电灯。 解： 设楼上开关为变元A，楼下开关为变元B，灯泡为变元Y。并设A、B向上时为1，向下时为0；灯亮时Y为1，灯灭时Y为0。

7. 本题的解题关键在于：不管开关和灯处于什么状态，灯的状态改变当且仅当只有一个开关的状态发生改变。因此，本题有多解。本题的解题关键在于：不管开关和灯处于什么状态，灯的状态改变当且仅当只有一个开关的状态发生改变。因此，本题有多解。 （1）若A=0, B=0时Y=0，则相应真值表设计如下

8. 相应逻辑表达式为 用异或门实现

9. 第二章 命题逻辑的等值和推理演算 • 推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 • 推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 • 重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式。

10. 本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。 • 严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。

11. 2.1 等值定理 • 若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 …… 在命题逻辑里也同样可建立一些重要的等值式。

12. 2.1.1 等值的定义 • 给定两个命题公式A和B, 而P1…Pn是出现于A和B中的所有命题变项, 那么公式A和B共有2n个解释, 若对其中的任一解释, 公式A和B的真值都相等, 就称A和B是等值的(或等价的)。记作A = B或A  B。

13. 显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的。显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的。

14. 例1: 证明(P∧P)∨Q = Q 证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出等式是成立的。

15. 例2: 证明P∨P = Q∨Q • 证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看出它们是等值的, 而且它们都是重言式。

16. 从例1、2还可说明, 两个公式等值并不要求它们一定含有相同的命题变项。若仅在等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式两端的公式其真值均与P无关。例1中公式(P∨P) ∨Q与Q的真值都同P无关, 例2中P∨P, Q∨Q都是重言式, 它们的真值也都与P、Q无关。

17. 2.1.2 等值定理 • 定理对公式A和B, A = B的充分必要条件是A  B是重言式。 • 若A  B为重言式(A、B不一定都是简单命题, 可能是由简单命题P1, …, Pn构成的对A, B的一个解释, 指的是对P1, …, Pn的一组具体的真值设定), 则在任一解释下A和B都只能有相同的真值, 这就是定理的意思。

18. 证明 • 若A  B是重言式, 即在任一解释下, A  B的真值都为T。依A  B的定义只有在A、B有相同的值时, 才有A  B = T。于是在任一解释下, A和B都有相同的真值, 从而有A=B。反过来，若有A = B, 即在任一解释下A和B都有相同的真值, 依A  B的定义, A  B只有为真, 从而A  B是重言式。

19. 有了这个等值定理，证明两个公式等值，只要证明由这两个公式构成的双条件式是重言式即可。有了这个等值定理，证明两个公式等值，只要证明由这两个公式构成的双条件式是重言式即可。

20. 不要将“＝”视作联结词，在合式公式定义里没有“＝”出现。A = B是表示公式A与B的一种关系。这种关系具有三个性质: 1. 自反性A = A。 2. 对称性若A = B则B = A。 3. 传递性 若A = B, B = C则A = C。 这三条性质体现了“＝”的实质含义。

21. 2.2 等值公式 2.2.1 基本的等值公式(命题定律) 1. 双重否定律 P = P 2. 结合律 (P∨Q) ∨R = P∨(Q∨R) (P∧Q) ∧R = P∧(Q∧R) (P  Q)  R = P  (Q  R)

22. 3. 交换律 P∨Q = Q∨P P∧Q = Q∧P P  Q = Q  P 4. 分配律 P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R) P(QR) = (PQ)(PR) 5. 等幂律(恒等律) P∨P = P P∧P = P PP = T PP = T

23. 6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P 7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q 对蕴涵词、双条件词作否定有 (PQ) = P∧Q (PQ) = PQ = PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)

24. 8. 同一律 • P∨F = P • P∧T = P • TP = P • TP = P • 还有 • PF = P • FP = P

25. 9. 零律 P∨T = T P∧F = F 还有 PT = T FP = T 10. 补余律 P∨P = T P∧P = F 还有 PP = P PP = P PP = F

26. 2.2.2 若干常用的等值公式 • 由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含有和的公式化成仅含有、∨、∧的公式。这也是证明和理解含有，的公式的一般方法。 • 公式11-18是等值演算中经常使用的,也该掌握它们, 特别是能直观地解释它们的成立。

27. 11. PQ = P ∨Q • 通常对PQ进行运算时, 不如用P∨Q来得方便。而且以P∨Q表示PQ帮助我们理解如果P则Q的逻辑含义。问题是这种表示也有缺点，丢失了P、Q间的因果关系。

28. 12. PQ = QP • 如将PQ视为正定理, 那么QP就是相应的逆否定理, 它们必然同时为真, 同时为假, 所以是等值的。

29. 13. P(QR) = (P∧Q)R • P是(QR)的前提, Q是R的前提, 于是可将两个前提的合取P∧Q作为总的前提。即如果P则如果Q则R, 等价于如果P与Q则R。

30. 14. PQ = (P∧Q)∨(P∧Q) • 这可解释为PQ为真, 有两种可能的情形, 即(P∧Q)为真或(P∧Q)为真。而P∧Q为真, 必是在P = Q = T的情况下出现, P∧Q为真, 必是在P = Q = F的情况下出现。从而可说, PQ为真, 是在P、Q同时为真或同时为假时成立。这就是从取真来描述这等式。

31. 15. PQ = (P∨Q)∧(P∨Q) • 这可解释为PQ为假, 有两种可能的情形, 即(P∨Q)为假或(P∨Q)为假, 而P∨Q为假, 必是在P = F, Q = T的情况下出现, P∨Q为假, 必是在P = T, Q = F的情况下出现。从而可说PQ为假, 是在P真Q假或P假Q真时成立。这就是从取假来描述这等式

32. 16. PQ = (PQ)∧(QP) • 这表明PQ成立, 等价于正定理PQ和逆定理QP都成立。

33. 17. P(QR) = Q(PR) • 前提条件P、Q可交换次序。

34. 18. (PR) ∧(QR)=(P∨Q)R • 左端说明的是由P而且由Q都有R成立。从而可以说由P或Q就有R成立, 这就是等式右端。

35. 2.2.3 置换规则 定理: 对公式A的子公式, 用与之等值的公式来代换便称置换。 置换规则公式A的子公式置换后A化为公式B, 必有A = B。 当A是重言式时, 置换后的公式B必也是重言式。 • 置换与代入是有区别的。置换只要求A的某一子公式作代换, 不必对所有同一的子公式都作代换。

36. 2.2.4 等值演算举例 例1: 证明(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R 证明: 左端= (P∧(Q∧R))∨((Q∨P)∧R) (分配律) =((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律) =((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) (摩根律) =((P∨Q)∨(Q∨P))∧R (分配律) =((P∨Q)∨(P∨Q))∧R (交换律) =T∧R (置换) =R (同一律)

37. 例2: 试证 ((P∨Q)∧(P∧(Q∨R))) ∨(P∧Q)∨(P∧R) = T 证明: 左端=((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (摩根律) =((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (分配律) =((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) =T

38. 2.6 范式 • n 个命题变项所能组成的具有不同真值的命题公式仅有22n个, 然而与任何一个命题公式等值而形式不同的命题公式可以有无穷多个。这样，首先就要问凡与命题公式A等值的公式，能否都可以化为某一个统一的标准形式。希望这种标准形能为我们的讨论带来些方便，如借助于标准形对任意两个形式上不同的公式，可判断它们的是否等值。借助于标准形容易判断任一公式是否为重言式或矛盾式。

39. 求解公式的成真指派和成假指派 • 一个公式，其中含有命题变元P1, ,Pn, 表示为[P1, ,Pn]，（P1, ,Pn）称为变元组，公式的变元组（P1, ,Pn）的任意一组确定的值，称为对该公式的关于该变元组（P1, ,Pn）的一个完全指派。如果仅对变元组中的部分变元确定值，其余变元没有赋以确定的值，则称这样的一组值为该公式的关于变元组的一个部分指派。

40. 完全指派与部分指派 例如公式：p(qr)。变元组为（p，q，r）， 一个完全指派为（T，F，F），在此指派下，公式取真值。即= T。 可这样来表示：（p，q，r）=（T，F，F）├  = T 或者有时记为：（p，q，r）=（T，F，F）= T 一个部分指派为（T，T，╳）这时候的值不能确定，当r = T时， = T，当r = F时，= F。这一点通常都能理解，因为一个公式的值取决于公式中所含变元的值，当其中某些变元未确定时，公式最终的值也不能定。但是这一点也未必绝对，例如，赋（p，q，r）以（F，X，X）时，公式肯定是取假值，即= F。这时候可看出对q，r 的指派已经无关紧要了。

41. 成真指派与成假指派 • 定义：对于任一公式，凡是使得取真值= T 的指派，不管是完全指派还是部分指派，都称为的成真指派。凡是使取假值= F 的指派，不管是完全指派还是部分指派，都称为的成假指派。

42. 例子 ：P 的成真指派P=F, 成假指派P=T。 ：PQ 的成真指派（P，Q）=（T，T） 成假指派（P，Q）=（F，F），（F，T），（T，F） ：PQ 的成真指派（P，Q）=（T，T），（T，F），（F，T） 成假指派（P，Q）=（F，F）

43. 永真式、永假式、可满足式 有的公式没有成真指派，如：PP, 称为永假式（反驳式）； 有的公式没有成假指派，如：PP, 称为永真式（重言式）。 永假式，又称为矛盾式，不可满足。 如果一个公式，有成真指派，则称为公式可满足。与它相对的，如果没有成真指派，就是不可满足的。 如果一个公式，有成假指派，则称该公式为非永真公式。

44. 部分指派 公式的变元组（P1, ,Pn），一个部分指派：（V1, Vi-1, X, Vi+1, Vn），其中Vi为具体真假值。它为公式的成真指派，当且仅当： （V1, Vi-1, T, Vi+1, Vn）及（V1, Vi-1, F, Vi+1, Vn）均为成真指派。 成假指派情况是相似的。

45. 求解成真指派和成假指派的方法 • 一个直截了当的办法是将公式的所有完全指派全都列举出来，逐个验算该指派下取的真假值，从而确定每个完全指派是成真指派还是成假指派。但是，含n个变元的公式，共有2n个完全指派，当n为5、6、……时，指数的总数就会相当可观，按指数级数增长，难以全部枚举。因此应当选择更为简单、可行的办法——部分指派。求部分指派的前提是将原来的公式化简，使得原来含有n个变元的公式化为可能含变元数更少的公式，于是便大大地削减了运算的数量。

46. 部分指派的步骤 • 第一步，否定深入。将外层的否定深入到内层，一直深入到变元为止。 • 第二步，部分指派。选定一个变元对其作真和假两种指派，得到两个不含该变元但较原式简单的公式。如果这两个公式直接得到真假值，则得部分指派，否则 • 第三步，化简。得到的两公式虽然较原公式简单，但仍含有变元，于是重复第二步，逐个减少变元，直到确定真假值为止。 • 第二步中如何选定一个变元，希望化简效果最好，因此选择在公式中出现次数最多的变元作指派。还有一种情况就是对该变元赋以一个指派后，立即使整个公式有确定的真假值。

47. 试求给定公式的成真成假指派 • ：(p  r)  ( (p  q)  ( p  (q  r) ) ) • 第一步否定深入： • (p  r)  ( (p  q)  (p  (q r) ) ) • 第二步部分指派：选择出现最多的命题，指派以T, F。（分别情况）。 • 上式中，P出现最多，故分为p = T • p = F两种情况。

48. p = T：(T  r ) （（T  q ）（T  (q r)）） 化简　(q (q r))也可最终化简为r， p = F ：(F  r ) （（F  q ）（F  (q r)）） 化简得　　r（T F） 最终化简得　r 组合起来，的成真指派（p, q, r）= ( T, X, F ), (F, X, T ), 成假指派（p, q, r）= ( T, X, T ), (F, X, F )。

49. 不完全成真指派 (p, q, r): (T, X, F)可以生成相应的完全成真指派 (T, T, F ) 和 (T, F, F )。 (p, q, r): (F, X, T)  (F, T, T ) 和 (F, F, T )。 因此，写完整的话，的完全成真指派： (T, T, F )，(T, F, F )，(F, T, T )，(F, F, T )。 相仿地，的完全成假指派： (T, X, T ) (T, T, T) ，(T, F, T )， (F, X, F ) (F, T, F )，(F, F, F ) 完全成假指派：(T, T, T) ，(T, F, T )，(F, T, F )，(F, F, F )。

50. 析取范式 如果一个完全指派能使一个合取式取真值，那么这个完全指派和合取式之间是１－１对应的。例如：  (T, T, F )，　　(T, F, F )，　(F, T, T )，　(F, F, T ) p  q  r p q  r p  q  r p q  r 将上述四个合取式再析取，即得析取范式： （p  q  r）（p q  r）（p  q  r）（p q  r）