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제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념 PowerPoint PPT Presentation


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제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념. 비교정태분석과 도함수의 개념. 정태모형 , 비교정태모형 , 동태모형. 정태모형 (static model) : 시간의 개념이 명시적으로 포함되지 않는 모형 - 모든 변수는 시간의 함수가 아님 . - 지금까지 살펴 본 균형모형 등은 정태모형임 . 비교정태모형 (comparative-static model) 시간이 명시적으로 포함되지 않는 체 , 단지 모형의 두 균형상태를 비교 분석하는 모형 동태모형 (dynamic model) :

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제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


6

제6장

비교정태분석과 도함수의 개념


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 정태모형, 비교정태모형, 동태모형

  • 정태모형(static model) :

  • 시간의 개념이 명시적으로 포함되지 않는 모형

  • - 모든 변수는 시간의 함수가 아님.

  • - 지금까지 살펴 본 균형모형 등은 정태모형임.

  • 비교정태모형(comparative-static model)

  • 시간이 명시적으로 포함되지 않는 체, 단지 모형의 두

  • 균형상태를 비교 분석하는 모형

  • 동태모형(dynamic model) :

  • 시간이 명시적으로 포함되는 모형


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 비교정태분석의 본질

  • 비교정태분석(comparative-static analysis)은 변수들의

  • 조정과정을 거치지 않고, 단지 변화 전 초기균형상태와

  • 변화 후 최종균형상태인서로 다른 균형상태만을 비교

  • - 이러한 균형상태를 비교하기 위해서는 초기균형상태는

  • 주어진 것으로 가정(불안정균형의 가능성은 배제)

  • Main question of comparative-static :

  • “How would the new equilibrium compare with the old.”


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 비교정태분석의 본질

  • 비교정태분석(comparative-static analysis)은 정성적

  • 분석(qualitative analysis)일 수도 있고, 정량적 분석

  • (quantitative analysis)일 수도 있음.

  • - 정성적 분석 : 변화의방향(direction of change)

  • - 정량적분석 : 변화의크기(magnitude of change)


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 비교정태분석의 본질

  • 비교정태분석은본질적으로 변화율(rate of change)을

  • 찾는 문제임.

  • - 즉, 어떤 특정 파라미터나 외생변수의 변화에 대한

  • 내생변수의 균형값의 변화율을 찾는 문제

  • - 이러한 이유로 변화율의 개념과 관련이 있는 도함수

  • (derivative), 미분(differentiable or derivation)의 개념

  • 활용

  • - 이 개념은 최적화(optimization)의 문제에서도 중요한

  • 개념으로 활용됨.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

  • 임의의 변수 x의 변화에 대응한 변수 y의 변화율을 고려

  • y=f(x) : 원시함수(primitivefunction)

  • - 이함수를비교정태상황에 적용하면, 여기서 변수 y는

  • 내생변수의 균형값, 그리고 x는 파라미터를 의미

  • 차분몫(=微分商 :difference quotient) :

  • 변수 x가 x0에서 x1으로 바뀔 때, 이 변화는 차분(difference)

  • x1-x0(y값의 차이)로 측정되고 다음과 같이 표기됨.

  • ⊿x=x1-x0 (⊿ : 차분, difference, 그리스 대문자 Delta)


6

⊿y

f(x0+⊿x)-f(x0)

⊿x

⊿x

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

- 변수 x가 초기값 x0에서 새로운 값 (x0+⊿x)로 변할 때,

함수 y=f(x)의 값은 f(x0)에서 f(x0+⊿x)로변함.

f(x0) f(x0+⊿x)

- 이때 x의 단위변화에 대한 y의 변화를 차분몫

(difference quotient)이라 함.

- 위의 차분몫은 y의 평균변화율을 나타냄.

- ⊿y/⊿x는 x0와 ⊿x의 함수임.

=


6

⊿y

{3(x0+⊿x)2-4}-(3x02-4)

6x0⊿x+3(⊿x)2

⊿x

⊿x

⊿x

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

  • 예제 : 함수 y=f(x)=3x2-4가 주어졌을 때, 다음과 같이

  • 다시쓸 수 있음.

  • f(x0)=3(x0)2-4

  • f(x0+⊿x)=3(x0+⊿x)2-4=3x02+6x0⊿x+3(⊿x)2-4

  • - 따라서이때 차분몫은 다음과 같음.

  • 여기서 x0=3, ⊿x=4라면 y의 평균변화율은 6(3)+3(4)=30

  • 즉, x가 3에서 7로 변할 때, y의 평균변화율은 30임을 의미

=

=


6

⊿y

⊿x

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

  • 도함수(derivative) :

  • 앞의 식에서 ⊿x0에 접근(매우 작은 값=無限小)하면,

  • - 이 경우에는 ⊿x를 포함하는 모든 항을 차분몫에서

  • 제거함으로써 ⊿y/⊿x의근사값을 구할 수 있음.

  • - 이를 기호로 나타내면, ⊿x0일 때 ⊿y/⊿x6x0또는

  • - 여기서 기호 를 “⊿x가 0에 접근할 때, 의 극한”

  • 이라 함.

lim

⊿x0

lim

⊿x0

(6x0+3⊿x) = 6x0

=

lim

⊿x0


6

⊿y

dy

dy

dx

⊿x

dx

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

  • 도함수(derivative) :

  • 만약 ⊿x0일 때, 차분몫 ⊿y/⊿x의 극한(limit)이 존재

  • 한다면, 그극한을함수 y=f(x)의도함수라고 함.

  • - 여기서 도함수란 순간적 변화율(instantaneous rate

  • of change)을 의미함.

  • - 이를도함수로 표시하면,

  • f(x)=3x2-4,

lim

⊿x0

 f(x) 

=f(x)=6x


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 변화율과 도함수(rateof change and derivative)

  • 도함수에대해서 유의할 점 :

  • ⑴도함수는 하나의 함수로, 유도된 함수를 의미함.

  • (derivativemeans a derived function)

  • ⑵ 도함수는 차분몫의 극한으로 y의 변화율을 측정함.

  • 따라서 도함수로 측정된 변화율은 순간적 변화율

  • (instantaneous rate of change)이라는 성질을 가짐.

  • ⑶ 도함수의 표기법은 통상두 가지 방법으로 표기함.

  • - Lagrange : f(x) 또는 f (원시함수에 대한 의미 강조)

  • - Leibniz : dy/dx (변화율에대한 강조)


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 도함수와 곡선의 기울기(derivative and the slope of a curve)

  • 총비용함수(total cost function)

  • C=f(Q) (여기서 C는 총비용, Q는 산출량)

  • - 한계비용(marginal cost : MC) :

  • 산출량을 1단위 증가함으로써 발생하는 총비용의 변화

  • MC=⊿C/⊿Q (여기서 ⊿Q는 매우 작은 변화)

  • - 여기서 한계비용(MC)은 총비용곡선상의 (한 점에서)

  • 접선기울기를 나타냄.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 도함수와 곡선의 기울기(derivative and the slope of a curve)

  • 총비용곡선과 기울기


6

dy

⊿y

dx

⊿x

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 도함수 dy/dx는 ⊿x0일 때차분몫 ⊿y/⊿x의 극한으로

  • 정의됨.

  • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit)

  • - 극한(limit)의개념 :

  • “한 변수(v)가 어떤 특정한 값(예 : 0)에 접근함에 따라

  • 다른 변수(q)가 어떤 값을 갖는가?” 하는 문제와 관련

lim

⊿x0

lim

v0

q (여기서 q⊿y/⊿x, v⊿x)

=

=


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit)

  • - 앞의식은 v0일 때 q의 극한을 구하는 것이지만

  • 일반적인 극한으로 확장하면 vN으로 표현됨.

  • (여기서 N은 유한실수)

  • - 는 에서 N=0인 특수한 경우에 불과함.

  • 여기서 q의 존재 여부는 v+∞(plusinfinity) 또는

  • v-∞(minusinfinity)일때, q가 유한값에 접근할

  • 것인가의 여부에 전적으로 의존함(유한값을 가질

  • 때만 극한이 존재).

lim

v0

lim

vN

q

q


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit)

  • - q의 왼쪽극한은 (음의 부호는 N보다작은 값에서

  • 접근함을 의미)로 표시함.

  • - q의 오른쪽극한은 (양의 부호는 N보다큰 값에서

  • 접근함을 의미)로 표시함.

lim

vN-

lim

vN+


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 그래프에 의한 극한의 설명

  • N지점에서 연속인 경우 : 극한이존재함.

  • - (a) 매끄러운 곡선을 보여줌(smooth and continuous).

  • 왼쪽극한=오른쪽극한; 따라서 임.

lim

vN

q=L


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 그래프에 의한 극한의 설명

  • N지점에서 연속인 경우 : 극한이존재함.

  • - (b) 매끄럽지못한 곡선을 보여줌(non-smooth and

  • continuous). 왼쪽극한=오른쪽극한; 임.

lim

vN

q=L


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 그래프에 의한 극한의 설명

  • N지점에서 불연속인 경우 : 극한이존재하지 않음.

  • - (c) 계단함수(stepfunction and discrete). 왼쪽극한(L1)

  • 오른쪽극한(L2); vN에 따른 q의 극한이 존재하지 않음.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 그래프에 의한 극한의 설명

lim

vN

q

  • 점근선(asymptote) : 극한이존재하지 않음( ).

  • - (d) 쌍곡선, 점근선에 접근. 그러나 과

  • 은 존재함.

lim

v+∞

q=M

lim

v-∞

q=M


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 계산

  • - 앞의식은 v0일 때 q의 극한을 구하는 것이지만

  • 일반적인 극한으로 확장하면 vN으로 표현됨.

  • (여기서 N은 유한실수)

  • - 는 에서 N=0인 특수한 경우에 불과함.

  • 여기서 q의 존재 여부는 v+∞(plusinfinity) 또는

  • v-∞(minusinfinity)일때, q가 유한값에 접근할

  • 것인가의 여부에 전적으로 의존함(유한값을 가질

  • 때만 극한이 존재).

lim

v0

lim

vN

q

q


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 계산 : 예제

  • - 함수 q=2+v2일 때, q를 구하라.

  • 왼쪽극한을 구하기 위해 일련의 음의 값들을 v에

  • 대입하고, 오른쪽극한을 구하기 위해 일련의 양의

  • 값들을 v에 대입하면, 모두 (2+v2)이 계속 감소하여

  • (v2이 점차 0에접근할 것이므로) 2에 접근됨.

  • 따라서 두 극한이 같으므로, q의 극한이 존재함.

  • 이를 q=2로씀.

lim

v0

lim

v0


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 계산

  • - 앞에서 구한 극한은 방정식 q=2+v2에 v=0을 대입

  • 시킨결과가 아님.

  • - 즉, 극한 q를계산할 때, v를 N에 접근시키는

  • 것이지 v=N이 아님.

lim

vN


6

(1+v)(1-v)

1-v2

1-v

1-v

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 계산 : 예제

  • - 함수 q=(1-v2)/(1-v)일 때, q를 구하라.

  • 이경우 v1일 때 분모 (1-v)가 0에 접근함.

  • 따라서 v가 분모에 나타나지 않는 형태로 변형함.

  • 이제위 식은 분모에 v를 포함하고 있지 않음.

  • 어느 쪽에서든 v1로 접근하면 (1+v)2가 되므로

  • q=2가 됨.

lim

v1

(v1)

q=

=

=1+v

lim

v1


6

3

2v+5

v+1

v+1

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 계산 : 예제

  • - 함수 q=(2v+5)/(v+1)일 때, q를 구하라.

  • 이경우 v는 분모와 분자에 모두 나타나고 있음.

  • 만약, 분모와 분자에서 v∞로 놓으면, 무한히 큰

  • 두 수간의 비율이 되기 때문에 의미가 없음.

  • 따라서 v가 분자에 나타나지 않는 형태로 변형함.

  • v+∞일때 3/(v+1)0이 되므로 q=2가 됨.

lim

v+∞

q=

=2+

lim

v+∞


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  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한개념의 정식화

  • - 극한개념에 관한정의는 선분상의 한 점의 근방

  • (neighborhood)이라는 개념으로 설명

  • - 어떤 주어진 수 L에 대하여 L보다작은 어떤 수(L-a1),

  • L보다 큰 어떤 수(L+a2)는 항상 존재함(단, a1과 a2는

  • 어떤 임의의 양수)

  • (L-a1)  L  (L+a2)

  • - (L-a1)과 (L+a2) 사이에 있는 모든 수들의 집합을 이

  • 두 수 사이의 구간(interval)이라 함.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한개념의 정식화

  • - 여기서 두 수 (L-a1)과 (L+a2)가 이 집합에 포함되면

  • 그 집합은 폐구간(closed interval)이라함(약부등호).

  • [L-a1, L+a2]{q  L-a1 q  L+a2}

  • - 그리고 그 수를 포함하지 않으면(제외하면) 그 집합은

  • 개구간(open interval)이라 함(강부등호).

  • (L-a1, L+a2){q  L-a1 q  L+a2}

  • - 반개구간(half-open interval) : (3, 5]{x 3  x  5}

  • - 반폐구간(half-closed interval) : [6, ∞){x 6  x  ∞}


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한개념의 정식화

  • - 극한개념을 근방(neighborhood)의 개념을 이용하면,

  • 함수의극한은 다음과 같이 정의됨.

  • v가 수 N에접근함에 따라(vN), 함수 q=g(v)의

  • 극한이수 L이라는 것은 모든 가능한 L 근방에서 그

  • 근방이 아무리 작더라도 함수의 정의역 내에 이에

  • 대응하는 하나의 N의 근방(v=N점은 제외)이 존재

  • 함으로써 이 N 근방 내의 모든 v값의 상(image)이

  • 그 L 근방내에 위치하도록 할 수 있는 조건임.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한개념의 정식화


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한의 개념(the concept of limit)

  • 극한의 정의 : 정리

  • - 극한이란 한 변수(여기서는 v)가 어떤 특정값에

  • 가까워질수록 관심 있는 변수(여기서는 q)가

  • 어떠한 값으로 수렴(converge)하는가를의미함.

  • - 극한값이 존재하기 위해서는 왼쪽극한값과

  • 오른쪽극한값이 모두 존재하며, 서로 같아야 함.

  • q=L-= q=L+=L

lim

v0-

lim

v0+


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한정리(limit theorems)

  • 단일함수에 관한 극한정리 : q=g(v)

  • - q=av+b이면,q=aN+b임. (여기서 a와 b는상수)

  • q=5v+7일때, q=5(2)+7=17, q=5(0)+7=7

  • - q=g(v)=b이면, q=b임. (여기서 b는상수)

  • 즉, 상수함수(상수값)의 극한은 그 상수값과 같음.

  • - q=v이면, q=N, q=vk이면 q=Nk임.

  • q=v3일 때, q=(2)3=8

  • - vN일 때 q의 극한을 구하기 위해 v=N이라 했지만,

  • 이는 특별한 경우이고, vN이 v=N을 의미하지 않음.

lim

vN

lim

v2

lim

v0

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

v2


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한정리(limit theorems)

  • 두 함수가 관련된 극한정리 : q1=g(v) 및 q2=k(v)

  • 두 함수 모두 동일한 독립변수 v를 갖고, 모두 극한이

  • q1=L1 q2=L2 (단, L1과 L2는 유한한 수)

  • - 합과 차의 극한정리

  • (q1q2)=L1L2

  • 2q1= (q1+q1)=L1+L1=2L1

  • kq1=kL1

  • - 곱의극한정리

  • (q1q2)=L1L2

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한정리(limit theorems)

  • 두 함수가 관련된 극한정리 : q1=g(v) 및 q2=k(v)

  • 두 함수 모두 동일한 독립변수 v를 갖고, 모두 극한

  • q1=L1 q2=L2 (단, L1과 L2는 유한한 수)

  • - 몫의 극한정리

  • (q1/q2)=L1/L2 (단, L20)

  • 예 : (1+v)/(2+v)

  • 여기서 (1+v)=1이고, (2+v)=2임.

  • 따라서 극한은 1/2임.

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

v0

lim

v0

lim

vN


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 극한정리(limit theorems)

  • 다항함수의 극한정리

  • 임의의 다항함수가 다음과 같음.

  • q=g(v)=a0+a1v+a2v2+  +anvn

  • - 이때 각항의 극한들은 각각

  • a0=a0 a1v=a1N a2v2=a2N2 (등등)

  • - 따라서다항함수의 극한은 다음과 같음.

  • q=a0+a1N+a2N2+  +anNn

lim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성(continuity)

  • - 함수 q=g(v)는 정의역에서 v가 N에 접근함에 따라

  • 극한을 가지고, 동시에 이 극한이 g(N)과 같을 때

  • (즉, v=N에서의 함수의 값과 같을 때), 그 함수는

  • 연속(continuous)이라 함.

  • - 달리 표현하면, q(=g(v))=g(N)이라면,

  • 함수 g(v)는 v=N에서 연속임.

lim

vN


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성(continuity)의 조건

  • ⑴점 N은함수의 정의역(domain) 내에 있어야 함.

  • 즉, g(N)이 정의되어야 함.

  • ⑵함수는 vN일 때, 극한을 가져야 함.

  • 즉, g(v)가존재함.

  • ⑶ 이때 그 극한은 g(N)과 같아야 함.

  • 즉, g(v)=g(N)이어야 함.

  • - 함수의 불연속(discontinuous) :

  • g(v)가 v=N에서 연속이 아닌 경우

lim

vN

lim

vN


6

f(x0+⊿x)-f(x0)

⊿x

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성과 미분가능성의 조건

  • - 함수 y=f(x)의 연속성조건은

  • ⑴ x=x0가 함수의 정의역 내에 있어야 하고,

  • ⑵ xx0일때 y는 반드시 극한을 가져야 하고,

  • ⑶이때그 극한이 반드시 f(x0)와같아야 함.

  • f(x)=f(x0) [연속성조건]

  • - 위의개념을 차분몫의개념으로 바꾸면,

  • f(x0)=⊿y/⊿x

  •  [미분가능성조건]

lim

xx0

lim

⊿x0

lim

⊿x0


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 연속성과 미분가능성은 서로 밀접하게 관련됨.

  • - 함수의 연속성은 함수가 미분가능하기 위한

  • 필요조건임(충분조건은 아님).

  • - 미분가능성은 연속성을 의미하지만, 그 역은 성립

  • 하지 않음.


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성과 미분가능성


6

  • 비교정태분석과 도함수의 개념

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 함수의 연속성과 미분가능성

  • 미분가능성은 연속성보다 더 제한적인 조건임.

  • - 어떤 점에서의 연속성은 단지 틈(=불연속성; gap)이

  • 존재하는 것을배제하는 반면(뾰족점(첨점)도 가능),

  • - 미분가능성은 뾰족점을 배제함.

  • 그러므로 미분가능성은 함수(곡선)의 연속성뿐만

  • 아니라 매끄러운(smooth) 곡선을 필요로 함.

  • - 그러나 경제학에서 사용되는 대부분의 구체적인

  • 함수는 모든 점에서 미분가능하다는 성질을 가짐.


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