제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념

1. 제6장 비교정태분석과 도함수의 개념

2. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 정태모형, 비교정태모형, 동태모형 • 정태모형(static model) : • 시간의 개념이 명시적으로 포함되지 않는 모형 • - 모든 변수는 시간의 함수가 아님. • - 지금까지 살펴 본 균형모형 등은 정태모형임. • 비교정태모형(comparative-static model) • 시간이 명시적으로 포함되지 않는 체, 단지 모형의 두 • 균형상태를 비교 분석하는 모형 • 동태모형(dynamic model) : • 시간이 명시적으로 포함되는 모형

3. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 비교정태분석의 본질 • 비교정태분석(comparative-static analysis)은 변수들의 • 조정과정을 거치지 않고, 단지 변화 전 초기균형상태와 • 변화 후 최종균형상태인서로 다른 균형상태만을 비교 • - 이러한 균형상태를 비교하기 위해서는 초기균형상태는 • 주어진 것으로 가정(불안정균형의 가능성은 배제) • Main question of comparative-static : • “How would the new equilibrium compare with the old.”

4. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 비교정태분석의 본질 • 비교정태분석(comparative-static analysis)은 정성적 • 분석(qualitative analysis)일 수도 있고, 정량적 분석 • (quantitative analysis)일 수도 있음. • - 정성적 분석 : 변화의방향(direction of change) • - 정량적분석 : 변화의크기(magnitude of change)

5. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 비교정태분석의 본질 • 비교정태분석은본질적으로 변화율(rate of change)을 • 찾는 문제임. • - 즉, 어떤 특정 파라미터나 외생변수의 변화에 대한 • 내생변수의 균형값의 변화율을 찾는 문제 • - 이러한 이유로 변화율의 개념과 관련이 있는 도함수 • (derivative), 미분(differentiable or derivation)의 개념 • 활용 • - 이 개념은 최적화(optimization)의 문제에서도 중요한 • 개념으로 활용됨.

6. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) • 임의의 변수 x의 변화에 대응한 변수 y의 변화율을 고려 • y=f(x) : 원시함수(primitivefunction) • - 이함수를비교정태상황에 적용하면, 여기서 변수 y는 • 내생변수의 균형값, 그리고 x는 파라미터를 의미 • 차분몫(=微分商 :difference quotient) : • 변수 x가 x0에서 x1으로 바뀔 때, 이 변화는 차분(difference) • x1-x0(y값의 차이)로 측정되고 다음과 같이 표기됨. • ⊿x=x1-x0 (⊿ : 차분, difference, 그리스 대문자 Delta)

7. ⊿y f(x0+⊿x)-f(x0) ⊿x ⊿x • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) - 변수 x가 초기값 x0에서 새로운 값 (x0+⊿x)로 변할 때, 함수 y=f(x)의 값은 f(x0)에서 f(x0+⊿x)로변함. f(x0) f(x0+⊿x) - 이때 x의 단위변화에 대한 y의 변화를 차분몫 (difference quotient)이라 함. - 위의 차분몫은 y의 평균변화율을 나타냄. - ⊿y/⊿x는 x0와 ⊿x의 함수임. =

8. ⊿y {3(x0+⊿x)2-4}-(3x02-4) 6x0⊿x+3(⊿x)2 ⊿x ⊿x ⊿x • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) • 예제 : 함수 y=f(x)=3x2-4가 주어졌을 때, 다음과 같이 • 다시쓸 수 있음. • f(x0)=3(x0)2-4 • f(x0+⊿x)=3(x0+⊿x)2-4=3x02+6x0⊿x+3(⊿x)2-4 • - 따라서이때 차분몫은 다음과 같음. • 여기서 x0=3, ⊿x=4라면 y의 평균변화율은 6(3)+3(4)=30 • 즉, x가 3에서 7로 변할 때, y의 평균변화율은 30임을 의미 = =

9. ⊿y ⊿x • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) • 도함수(derivative) : • 앞의 식에서 ⊿x0에 접근(매우 작은 값=無限小)하면, • - 이 경우에는 ⊿x를 포함하는 모든 항을 차분몫에서 • 제거함으로써 ⊿y/⊿x의근사값을 구할 수 있음. • - 이를 기호로 나타내면, ⊿x0일 때 ⊿y/⊿x6x0또는 • - 여기서 기호 를 “⊿x가 0에 접근할 때, 의 극한” • 이라 함. lim ⊿x0 lim ⊿x0 (6x0+3⊿x) = 6x0 = lim ⊿x0

10. ⊿y dy dy dx ⊿x dx • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) • 도함수(derivative) : • 만약 ⊿x0일 때, 차분몫 ⊿y/⊿x의 극한(limit)이 존재 • 한다면, 그극한을함수 y=f(x)의도함수라고 함. • - 여기서 도함수란 순간적 변화율(instantaneous rate • of change)을 의미함. • - 이를도함수로 표시하면, • f(x)=3x2-4, lim ⊿x0  f(x)  =f(x)=6x

11. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 변화율과 도함수(rateof change and derivative) • 도함수에대해서 유의할 점 : • ⑴도함수는 하나의 함수로, 유도된 함수를 의미함. • (derivativemeans a derived function) • ⑵ 도함수는 차분몫의 극한으로 y의 변화율을 측정함. • 따라서 도함수로 측정된 변화율은 순간적 변화율 • (instantaneous rate of change)이라는 성질을 가짐. • ⑶ 도함수의 표기법은 통상두 가지 방법으로 표기함. • - Lagrange : f(x) 또는 f (원시함수에 대한 의미 강조) • - Leibniz : dy/dx (변화율에대한 강조)

12. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 도함수와 곡선의 기울기(derivative and the slope of a curve) • 총비용함수(total cost function) • C=f(Q) (여기서 C는 총비용, Q는 산출량) • - 한계비용(marginal cost : MC) : • 산출량을 1단위 증가함으로써 발생하는 총비용의 변화 • MC=⊿C/⊿Q (여기서 ⊿Q는 매우 작은 변화) • - 여기서 한계비용(MC)은 총비용곡선상의 (한 점에서) • 접선기울기를 나타냄.

13. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 도함수와 곡선의 기울기(derivative and the slope of a curve) • 총비용곡선과 기울기

14. dy ⊿y dx ⊿x • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 도함수 dy/dx는 ⊿x0일 때차분몫 ⊿y/⊿x의 극한으로 • 정의됨. • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit) • - 극한(limit)의개념 : • “한 변수(v)가 어떤 특정한 값(예 : 0)에 접근함에 따라 • 다른 변수(q)가 어떤 값을 갖는가?” 하는 문제와 관련 lim ⊿x0 lim v0 q (여기서 q⊿y/⊿x, v⊿x) = =

15. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit) • - 앞의식은 v0일 때 q의 극한을 구하는 것이지만 • 일반적인 극한으로 확장하면 vN으로 표현됨. • (여기서 N은 유한실수) • - 는 에서 N=0인 특수한 경우에 불과함. • 여기서 q의 존재 여부는 v+∞(plusinfinity) 또는 • v-∞(minusinfinity)일때, q가 유한값에 접근할 • 것인가의 여부에 전적으로 의존함(유한값을 가질 • 때만 극한이 존재). lim v0 lim vN q q

16. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 왼쪽극한과 오른쪽극한(left-side limit and right-side limit) • - q의 왼쪽극한은 (음의 부호는 N보다작은 값에서 • 접근함을 의미)로 표시함. • - q의 오른쪽극한은 (양의 부호는 N보다큰 값에서 • 접근함을 의미)로 표시함. lim vN- lim vN+

17. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 그래프에 의한 극한의 설명 • N지점에서 연속인 경우 : 극한이존재함. • - (a) 매끄러운 곡선을 보여줌(smooth and continuous). • 왼쪽극한=오른쪽극한; 따라서 임. lim vN q=L

18. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 그래프에 의한 극한의 설명 • N지점에서 연속인 경우 : 극한이존재함. • - (b) 매끄럽지못한 곡선을 보여줌(non-smooth and • continuous). 왼쪽극한=오른쪽극한; 임. lim vN q=L

19. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 그래프에 의한 극한의 설명 • N지점에서 불연속인 경우 : 극한이존재하지 않음. • - (c) 계단함수(stepfunction and discrete). 왼쪽극한(L1) • 오른쪽극한(L2); vN에 따른 q의 극한이 존재하지 않음.

20. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 그래프에 의한 극한의 설명 lim vN q • 점근선(asymptote) : 극한이존재하지 않음( ). • - (d) 쌍곡선, 점근선에 접근. 그러나 과 • 은 존재함. lim v+∞ q=M lim v-∞ q=M

21. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 계산 • - 앞의식은 v0일 때 q의 극한을 구하는 것이지만 • 일반적인 극한으로 확장하면 vN으로 표현됨. • (여기서 N은 유한실수) • - 는 에서 N=0인 특수한 경우에 불과함. • 여기서 q의 존재 여부는 v+∞(plusinfinity) 또는 • v-∞(minusinfinity)일때, q가 유한값에 접근할 • 것인가의 여부에 전적으로 의존함(유한값을 가질 • 때만 극한이 존재). lim v0 lim vN q q

22. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 계산 : 예제 • - 함수 q=2+v2일 때, q를 구하라. • 왼쪽극한을 구하기 위해 일련의 음의 값들을 v에 • 대입하고, 오른쪽극한을 구하기 위해 일련의 양의 • 값들을 v에 대입하면, 모두 (2+v2)이 계속 감소하여 • (v2이 점차 0에접근할 것이므로) 2에 접근됨. • 따라서 두 극한이 같으므로, q의 극한이 존재함. • 이를 q=2로씀. lim v0 lim v0

23. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 계산 • - 앞에서 구한 극한은 방정식 q=2+v2에 v=0을 대입 • 시킨결과가 아님. • - 즉, 극한 q를계산할 때, v를 N에 접근시키는 • 것이지 v=N이 아님. lim vN

24. (1+v)(1-v) 1-v2 1-v 1-v • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 계산 : 예제 • - 함수 q=(1-v2)/(1-v)일 때, q를 구하라. • 이경우 v1일 때 분모 (1-v)가 0에 접근함. • 따라서 v가 분모에 나타나지 않는 형태로 변형함. • 이제위 식은 분모에 v를 포함하고 있지 않음. • 어느 쪽에서든 v1로 접근하면 (1+v)2가 되므로 • q=2가 됨. lim v1 (v1) q= = =1+v lim v1

25. 3 2v+5 v+1 v+1 • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 계산 : 예제 • - 함수 q=(2v+5)/(v+1)일 때, q를 구하라. • 이경우 v는 분모와 분자에 모두 나타나고 있음. • 만약, 분모와 분자에서 v∞로 놓으면, 무한히 큰 • 두 수간의 비율이 되기 때문에 의미가 없음. • 따라서 v가 분자에 나타나지 않는 형태로 변형함. • v+∞일때 3/(v+1)0이 되므로 q=2가 됨. lim v+∞ q= =2+ lim v+∞

26. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한개념의 정식화 • - 극한개념에 관한정의는 선분상의 한 점의 근방 • (neighborhood)이라는 개념으로 설명 • - 어떤 주어진 수 L에 대하여 L보다작은 어떤 수(L-a1), • L보다 큰 어떤 수(L+a2)는 항상 존재함(단, a1과 a2는 • 어떤 임의의 양수) • (L-a1)  L  (L+a2) • - (L-a1)과 (L+a2) 사이에 있는 모든 수들의 집합을 이 • 두 수 사이의 구간(interval)이라 함.

27. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한개념의 정식화 • - 여기서 두 수 (L-a1)과 (L+a2)가 이 집합에 포함되면 • 그 집합은 폐구간(closed interval)이라함(약부등호). • [L-a1, L+a2]{q  L-a1 q  L+a2} • - 그리고 그 수를 포함하지 않으면(제외하면) 그 집합은 • 개구간(open interval)이라 함(강부등호). • (L-a1, L+a2){q  L-a1 q  L+a2} • - 반개구간(half-open interval) : (3, 5]{x 3  x  5} • - 반폐구간(half-closed interval) : [6, ∞){x 6  x  ∞}

28. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한개념의 정식화 • - 극한개념을 근방(neighborhood)의 개념을 이용하면, • 함수의극한은 다음과 같이 정의됨. • v가 수 N에접근함에 따라(vN), 함수 q=g(v)의 • 극한이수 L이라는 것은 모든 가능한 L 근방에서 그 • 근방이 아무리 작더라도 함수의 정의역 내에 이에 • 대응하는 하나의 N의 근방(v=N점은 제외)이 존재 • 함으로써 이 N 근방 내의 모든 v값의 상(image)이 • 그 L 근방내에 위치하도록 할 수 있는 조건임.

29. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한개념의 정식화

30. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한의 개념(the concept of limit) • 극한의 정의 : 정리 • - 극한이란 한 변수(여기서는 v)가 어떤 특정값에 • 가까워질수록 관심 있는 변수(여기서는 q)가 • 어떠한 값으로 수렴(converge)하는가를의미함. • - 극한값이 존재하기 위해서는 왼쪽극한값과 • 오른쪽극한값이 모두 존재하며, 서로 같아야 함. • q=L-= q=L+=L lim v0- lim v0+

31. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한정리(limit theorems) • 단일함수에 관한 극한정리 : q=g(v) • - q=av+b이면,q=aN+b임. (여기서 a와 b는상수) • q=5v+7일때, q=5(2)+7=17, q=5(0)+7=7 • - q=g(v)=b이면, q=b임. (여기서 b는상수) • 즉, 상수함수(상수값)의 극한은 그 상수값과 같음. • - q=v이면, q=N, q=vk이면 q=Nk임. • q=v3일 때, q=(2)3=8 • - vN일 때 q의 극한을 구하기 위해 v=N이라 했지만, • 이는 특별한 경우이고, vN이 v=N을 의미하지 않음. lim vN lim v2 lim v0 lim vN lim vN lim vN lim v2

32. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한정리(limit theorems) • 두 함수가 관련된 극한정리 : q1=g(v) 및 q2=k(v) • 두 함수 모두 동일한 독립변수 v를 갖고, 모두 극한이 • q1=L1 q2=L2 (단, L1과 L2는 유한한 수) • - 합과 차의 극한정리 • (q1q2)=L1L2 • 2q1= (q1+q1)=L1+L1=2L1 • kq1=kL1 • - 곱의극한정리 • (q1q2)=L1L2 lim vN lim vN lim vN lim vN lim vN lim vN lim vN

33. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한정리(limit theorems) • 두 함수가 관련된 극한정리 : q1=g(v) 및 q2=k(v) • 두 함수 모두 동일한 독립변수 v를 갖고, 모두 극한 • q1=L1 q2=L2 (단, L1과 L2는 유한한 수) • - 몫의 극한정리 • (q1/q2)=L1/L2 (단, L20) • 예 : (1+v)/(2+v) • 여기서 (1+v)=1이고, (2+v)=2임. • 따라서 극한은 1/2임. lim vN lim vN lim vN lim v0 lim v0 lim vN

34. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 극한정리(limit theorems) • 다항함수의 극한정리 • 임의의 다항함수가 다음과 같음. • q=g(v)=a0+a1v+a2v2+  +anvn • - 이때 각항의 극한들은 각각 • a0=a0 a1v=a1N a2v2=a2N2 (등등) • - 따라서다항함수의 극한은 다음과 같음. • q=a0+a1N+a2N2+  +anNn lim vN lim vN lim vN lim vN

35. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성(continuity) • - 함수 q=g(v)는 정의역에서 v가 N에 접근함에 따라 • 극한을 가지고, 동시에 이 극한이 g(N)과 같을 때 • (즉, v=N에서의 함수의 값과 같을 때), 그 함수는 • 연속(continuous)이라 함. • - 달리 표현하면, q(=g(v))=g(N)이라면, • 함수 g(v)는 v=N에서 연속임. lim vN

36. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성(continuity)의 조건 • ⑴점 N은함수의 정의역(domain) 내에 있어야 함. • 즉, g(N)이 정의되어야 함. • ⑵함수는 vN일 때, 극한을 가져야 함. • 즉, g(v)가존재함. • ⑶ 이때 그 극한은 g(N)과 같아야 함. • 즉, g(v)=g(N)이어야 함. • - 함수의 불연속(discontinuous) : • g(v)가 v=N에서 연속이 아닌 경우 lim vN lim vN

37. f(x0+⊿x)-f(x0) ⊿x • 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성과 미분가능성의 조건 • - 함수 y=f(x)의 연속성조건은 • ⑴ x=x0가 함수의 정의역 내에 있어야 하고, • ⑵ xx0일때 y는 반드시 극한을 가져야 하고, • ⑶이때그 극한이 반드시 f(x0)와같아야 함. • f(x)=f(x0) [연속성조건] • - 위의개념을 차분몫의개념으로 바꾸면, • f(x0)=⊿y/⊿x •  [미분가능성조건] lim xx0 lim ⊿x0 lim ⊿x0

38. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 연속성과 미분가능성은 서로 밀접하게 관련됨. • - 함수의 연속성은 함수가 미분가능하기 위한 • 필요조건임(충분조건은 아님). • - 미분가능성은 연속성을 의미하지만, 그 역은 성립 • 하지 않음.

39. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성과 미분가능성

40. 비교정태분석과 도함수의 개념 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 함수의 연속성과 미분가능성 • 미분가능성은 연속성보다 더 제한적인 조건임. • - 어떤 점에서의 연속성은 단지 틈(=불연속성; gap)이 • 존재하는 것을배제하는 반면(뾰족점(첨점)도 가능), • - 미분가능성은 뾰족점을 배제함. • 그러므로 미분가능성은 함수(곡선)의 연속성뿐만 • 아니라 매끄러운(smooth) 곡선을 필요로 함. • - 그러나 경제학에서 사용되는 대부분의 구체적인 • 함수는 모든 점에서 미분가능하다는 성질을 가짐.